变量之间的关系.docx
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变量之间的关系
变量之间的关系
知识梳理
1．概念
变量：
在某一变化过程中，数值发生变化的量是变量。
自变量、因变量：
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量
和
，其中
随
的变化而变化，我们就说
是自变量，
是因变量。
常量：
在某一个变化过程中，数值始终保持不变的量是常量。
2．自变量与因变量的区别
自变量
因变量
区别
先发生变化或主动发生变化的量
后发生变化或随着自变量的变化而变化的量
联系
（1）两者都是某一变化过程中的变量；
（2）两者因研究的侧重点或无先后顺序不同可以互相转化
3．表示方法：
表格法：
借助表格，可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况。
表格法的基本特征是：
表示两个变量之间的表格，一般第一栏表示自变量，第二栏表示因变量，从表格中可以发现因变量随自变量变化而存在一定的变化规律，从而可以利用变化趋势对结果作出预测。
关系式法：
利用等式表示两个变量之间的关系。
关系式的基本特征是：
（1）等式的左边是因变量，等式的右边是关于自变量的代数式；
（2）等式中只含有自变量和因变量两个变量，其他的量都是常数；（3）自变量可在允许的范围内任意取值。
图像：
将一个变量随着另一个变量的变化而变化的情况绘制成一条曲线，这条曲线称为两个变量之间关系的图像。
图像法：
用图像来表示一个变量与另一个变量之间关系的方法，叫做图像法。
4．变式变量之间关系的方法的优缺点
方法
优点
缺点
列表法
对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把因变量的值找到，查询时很方便，于是一些数学用表应运而生
只能列出部分自变量与因变量的对应值，难以反映变量之间变化的全貌，而且从表中看不出变量间的对应规律
关系式法
简明扼要，规范准确
有些变量之间的关系很难或不能用关系式表示，求对应值也需要逐个计算，比较麻烦。
图像法
形象直观，可以形象地反映出食物变化的全过程、变化的趋势和某些性质（如因变量的增减变化、点的对称、最大或最小值等）
图像是近似的、局部的，由观察图像确定的因变量的值往往不够准确。
例题精讲
考点1．变量、自变量、因变量、常量
例1．甲、乙两城市相距300千米，在甲城市有一列火车以每小时100千米的速度向乙城市行驶，
小时后火车与乙城市的距离为
千米，在这个问题中，是常量，是自变量，是因变量。
变式1.下列各题中，哪些量在发生变化？
其中的自变量与因变量各是什么？
（1）用总长为60m的篱笆围城一个边长为
（m）、面积为S（㎡）的矩形场地；
（2）正方形边长是3，若边长增加x，则面积增加y。
变式2．小明帮妈妈预算家庭4月份电费的开支情况，下表是小明家4月处连续8天每天早上电表显示的读数。
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
电表读数
21
24
28
33
39
42
46
49
（1）表格中反映的变量是，自变量是，因变量是。
（2）估计小明家4月份（按30天计）用电量是，若每度电0.55元，估计他家4月份应交电费元。
小结：
考点2.表格法表示变量之间的关系
例2.下表是一次秋汛期某河流在一天内涨水情况，警戒水位是25米。
时间（时）
0
4
8
12
16
20
24
超警戒水位（米）
+0.2
+0.25
+0.35
+0.5
+0.7
+0.9
+1.0
（1）上表反映了与之间的关系，其中是自变量，是因变量；
（2）估计上午10时的超警戒水位是；
（3）从0时到24时，水位从上升到；
（4）借助表格，从时到时，水位上升最快。
变式1.一辆汽车在公路上行驶，其所走的路程和所用的时间可用下表表示：
路程s（km）
2
5
10
20
40
100
…
时间t（min）
1
2.5
5
10
20
50
…
（1）说出自变量，因变量；
（2）当汽车行驶路程s为20km时所花的时间t是多少分钟？
（3）从表中说出路程s随时间t变化的趋势；
（4）按照这一行驶规律估计当路程s=400km时，所需时间t是多少分钟？
变式2.在一次试验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）的几组对应值。
所挂物体质量x（kg）
0
1
2
3
4
5
弹簧长度y（cm）
18
20
22
24
26
28
（1）上表反映哪两个变量之间的关系？
哪个是自变量？
哪个是因变量？
（2）当所挂重物为3kg时，弹簧多长？
不挂重物时呢？
（3）若所挂重物为7kg时（在允许范围内），你能说出此时的弹簧长度吗？
变式3.心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：
分）之间有如下关系（其中
）：
提出概念所用时间（x）
2
5
7
10
12
13
14
17
20
对概念的接受能力（y）
47.8
53.5
56.3
59
59.8
59.9
59.8
58.3
55
（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？
那个是自变量？
哪个是因变量？
（2）根据表格中的数据，你认为提出概念所用时间为几分钟时，学生的接受能力最强？
（3）从表格中可知，当提出概念所用时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？
当提出概念所用时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
（4）根据表格大致估计当提出概念所用时间为23分钟时，学生对概念的接受能力是多少．
小结：
考点3.关系式法表示变量之间的关系
例3.一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行驶1km，耗油0.6升，如果设剩油量为y（升），行驶路程为x（km）.
（1）上述的哪些量发生变化？
自变量和因变量分别是什么？
（2）写出y与x之间的关系式；
（3）用表格表示汽车从出发地行驶10km、20km、30km、40km、50km时的剩油量；
（4）根据表格中的数据说明剩油量是怎样随着路程的变化而变化的；
（5）这辆汽车行驶35km时，剩油多少升？
汽车剩油12升时，行驶了多少千米？
（6）请你估计这车在中途不加油的情况下最远能运行多少千米？
变式1.有一种粗细均匀的电线，为了确定其长度，从一捆上剪下1米，称得它的质量是60克。
（1）写出这种电线长度与质量之间的关系式；
（2）如果一捆电线剪下1米后的质量是b（千克），请写出每捆电线的总长度。
变式2.某市出租车收费标准如下：
3km以内（含3km）收费8元；超过3km的部分每千米收费1.6元．
（1）写出应收费用y（元）与出租车行驶路程x（km）之间的关系式（其中
）
（2）小亮乘出租车行驶4km，应付多少元？
（3）小波付车费16元，那么出租车行驶了多少千米？
小结：
考点4.图像法表示两个变量之间的关系
例4.如图6—5所示的曲线表示某人骑一辆自行车时离家的距离与时间的关系．骑车者九点离开家，十五点回家．根据这个曲线图，回答下列问题：
（1）到达离家最远的地方是什么时间?
离家多远?
（2）何时开始第一次休息?
休息多长时间?
（3）第一次休息时离家多远?
（4）11:
00到12:
00他骑了多少千米?
（5）他在9:
00到10:
00和10:
00到10:
30的平均速度是多少?
（6）他在何时至何时停止前进并休息用午餐?
（7）他在停止前进后返回，骑了多少千米?
返回时的平均速度是多少?
变式1.某种洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量
（升）与时间
（分钟）之间的关系如折线图所示.根据图象解答下列问题：
（1）洗衣机的进水时间是多少分钟？
清洗时洗衣机中水量的多少升？
（2）已知洗衣机的排水速度为每分钟19升。
①求排水时洗衣机中的水量
（升）与时间
（分钟）与之间的关系式；
②如果排水时间为2分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量。
变式2.如图，表示一骑自行车者与一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的图象，两地间的距离是100千米，请根据图象回答或解决下面的问题.
（1）谁出发的较早？
早多长时间？
谁到达乙地早？
早到多长时间？
（2）两人在途中行驶的速度分别是多少？
（3）指出在什么时间段内两车均行驶在途中；在这段时间内，①自行车行
驶在摩托车前面；②自行车与摩托车相遇；③自行车行驶在摩托车后面？
小结：
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一.填空题
1.在变化过程中，我们把变化着的量叫做变量，其中一个叫________，一个叫________.
2.若某长方体底面积是60
，高为hcm，则体积V
与h的关系式为______________若h从1cm变化到10cm时，长方体的体积由________
变化到________
.
3.小明用40元钱购买5元/件的某商品，则他剩余的钱y（元）与购买这种商品的件数x（件）之间的关系式为________.
4.某文具商店进一批精制的数学练习本，销售数量与销售价格如下表：
数量/本
1
2
3
4
5
6
…
售价/元
1.2
2.4
3.6
4.8
6.0
7.2
…
（1）小明买10本时，商店收入为_______；
（2）若用x表示销售练习本的数量，y表示销售额，则y与x的关系式为______________；（3）在这个变化过程中，自变量是_______，因变量是_______；
（4）小明买10本比小强买5本需多付_______元钱.
5.已知两个变量x、y，满足3x-2y=4，则y=________（用含x的代数式表示），x=________（用含y的代数式表示）.
6.已知关系式y=kx-2，当自变量x=-2时，因变量y=4，则当因变量y=7时，自变量x的值是________.
7.一个小球由静止在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察测得小球滚动的距离s（m）与时间t（s）的数据如下表，则s与t的关系式为______________.
时间t/s
1
2
3
4
…
距离s/m
…
8.“龟兔赛跑”是同学们熟悉的寓言故事，如图表示路程s与时间t
之间的关系，那么知道：
（1）赛跑中，兔子共睡了________min；
（2）乌龟在这次赛跑中的平均速度为________m/min.
二.选择题：
1.一辆汽车以30千米/时的速度行驶，下面有关行驶的
路程s（千米）与行驶的时间t（时）之间的关系（）
A.路程、时间、速度都是变量B.路程s随时间t的增大而减小
C.s=30tD.当行驶的时间为10小时时,行驶的路程为3千米
2.一种豆子的总售价y（元）与所售豆子的质量x（千克）之间有如下关系：
x（千克）
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
…
y（元）
0
1
2
3
4
5
6
7
…
则下列有关叙述中错误的是（）
A.y=2xB.豆子的质量是4.5千克时,豆子的总售价为8元
C.x是自变量,y是因变量D.豆子的总售价随豆子的质量的增大而增大
3.拒报道，某省人均耕地已从1951年的2.93亩减少到1999年的1.02亩，平均每年约减少0.04亩，若不采取措施，继续按此速度减下去，若干年后该省将无地可耕，则该省无地可耕的情况最早发生在（）
A.2022年B.2023年C.2024年D.2025年
4.一游泳池已注满水，现按一定的速度将水排尽，然后进行清洗，再按相同的速度注满清水，使用一段时间后又按相同的速度将水排尽，则游泳池存水量V（米
）与时间t（时）的大致图象为（）
5.小明早上7∶00出发到社区做好事，开始匀速步行，后碰到小亮，小明便停下来和小亮聊了一会儿，为了保证能准时到达，他加快了速度，但仍保持匀速步行，如果能准时到达，以下四个图象，能准确描述小明离家的距离与时间的关系的是（）
6.在物理学中，导线的电阻随温度的变化而变化，有一段导线0
时电阻为5欧姆，温度每增加1
，电阻会增加0.01欧姆，则电阻R与温度t的关系是（）
A.R=5+0.01tB.R=5t+0.01C.R=0.01tD.R=5.01t
7.小红放学后帮助奶奶用电饭锅煮饭，饭熟后拔掉电源，下图可以近似的刻画电饭锅内的温度随时间变化的情况的是（）
8.小红骑车去玩，沿直线先前进了3千米，然后休息一会儿，又原路返回0.5千米，再前进4.5千米后到达目的地，那么小红离起点的路程s（千米）与行驶时间t（时）的关系大致可以是图中的（）
三.解答题：
1.一汽车在公路上行驶，其所走的路程与时间可用下表表示：
路程s（km）
2
5
10
20
40
100
时间t（min）
1
2.5
5
10
20
50
（1）说出自变量，因变量；
（2）当汽车行驶路程S为20km时，所花时间t是多少分钟？
（3）从表中说出路程S随时间t而变化的趋势；
（4）按照这一行程规律，估计当路程S=400km时，所需时间t是多少分钟？
2.某厂现有煤180吨，每天需烧5吨，那么剩余煤量y（吨）与燃烧天数x（天）的关系可用y=180-5x来表示.
（1）在燃烧的过程中，自变量和因变量各是什么？
（2）当燃烧了8天后，剩余煤量是多少吨？
（3）请用表格表示在5，10，15，20，25，30，35天时，相应的剩余煤量y的值
燃烧天数（天）
5
10
15
20
25
30
35
剩余煤量（吨）
3.下列各情境分别可以用图中的哪幅图来近似刻画？
（1）一杯敞口放在桌子上的开水（水温与时间的关系）________；
（2）匀速行驶的火车（速度与时间的关系）________________；
（3）足球守门员用脚踢开的球（高度与时间的关系）________；
（4）一面冉冉上升的旗子（高度于时间的关系）________________.
4.某市广电局与长江证券公司联合推出广电宽带网业务，用户通过宽带网可以享受新闻点播、影视欣赏等服务项目，其上网费用有一种方式是如图所示进行交纳的，其中y（元）表示每月上网费用，x（时）表示每月上网时间.
（1）若某人5月上网48小时，则他应交多少网费？
（2）李华在7月出差没有在家，那么李华就不必交纳上网费了，你认为呢？
（3）请你求出上网时间若超过50小时，超过后的部分平均每小时的上网费用是多少钱？
5.王老师上午9时骑自行车离开家，15时回家，他描绘了离家的距离与时间的变化情况（如图所示）
（1）图象表示了哪两个变量的关系？
哪个是自变量？
哪个是因变量？
（2）10时和13时，他分别离家多远？
（3）他到达离家最远的地方是什么时间？
离家多远？
（4）11时到12时他行驶了多少千米？
（5）他可能在哪段时间内休息，并吃午饭？
（6）他由离家最远的地方返回时的平均速度是多少？
6.如图所示，正方形ABCD的边长为2cm，有一点P在BC上运动，梯形APCD的面积会发生变化.
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
（2）如果BP长为xcm，那么梯形APCD的面积ycm
可以表示为什么？
（3）如果
，试确定P点的位置.
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