七年级数学下册因式分解 提取公因式法练习浙教版.docx
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七年级数学下册因式分解提取公因式法练习浙教版
第4章 因式分解
4.2 提取公因式法
知识点1 多项式的公因式
一般地,一个多项式中每一项都含有的相同的因式,叫做这个多项式各项的公因式.
1.多项式-6m3n-3m2n2+12m2n3的公因式为( )
A.3mnB.-3m2n
C.3mn2D.-3m2n2
知识点2 提取公因式法分解因式
如果一个多项式的各项含有公因式,那么可把该公因式提取出来进行因式分解.这种分解因式的方法,叫做提取公因式法.
[注意]当多项式的某项恰为公因式时,提公因式后,另一个因式中不要漏掉“+1”或“-1”.
2.把下列各式分解因式:
(1)x2-5x;
(2)2x2y2-4y3z;
(3)-5a2+25a;
(4)14x2y-21xy2+7xy.
知识点3 添括号法则
括号前面是“+”号,括到括号里的各项都不变号;括号前面是“-”号,括到括号里的各项都变号.
3.添括号:
1-2a=+(________);-a2+2ab-b2=-(____________).
探究 一 用提取公因式法处理较复杂的因式分解题
教材例2变式题分解因式:
(1)x2(y-2)-x(2-y);
(2)2(a-3)2-a+3.
[归纳总结]提取公因式法分解因式的关键是确定多项式中各项的公因式,尤其需要注意的是公因式可以是数,也可以是单项式和多项式.
探究 二 提取公因式法的简单应用
教材补充题523-521能被120整除吗?
[反思]分解因式:
-6ab2+9a2b-3b.
解:
-6ab2+9a2b-3b=-(6ab2-9a2b+3b)①=-(3b·2ab-3b·3a2+3b)②=-3b(2ab-3a2).③
(1)找错:
从第________步开始出现错误;
(2)纠错:
一、选择题
1.2015·武汉把a2-2a分解因式,正确的是( )
A.a(a-2)B.a(a+2)
C.a(a2-2)D.a(2-a)
2.在把多项式5xy2-25x2y提取公因式时,被提取的公因式为( )
A.5B.5x
C.5xyD.25xy
3.下列多项式中,能用提取公因式法进行因式分解的是( )
A.x2-yB.x2+2x
C.x2+y2D.x2-xy+y2
4.下列各式用提公因式因式分解正确的是( )
A.a2b+7ab-b=b(a2+7a)
B.3x2y-3xy+6y=3y(x2-x+2)
C.4x4-2x3y=x3(4x-2y)
D.-2a2+4ab-6ac=-2a(a-2b-3c)
5.若m-n=-1,则(m-n)2-2m+2n的值是( )
A.3B.2
C.1D.-1
6.
+(-8)2020能被下列数整除的是( )
A.3B.5
C.7D.9
二、填空题
7.2016·丽水分解因式:
am-3a=____________.
8.在括号前面添上“+”或“-”号或在括号内填空.
(1)-a+b=________(a-b);
(2)-m2-2m+5=-(______________);
(3)(x-y)3=________(y-x)3.
9.因式分解:
m(x-y)+n(x-y)=________.
10.已知x+y=6,xy=-3,则x2y+xy2=________.
11.计算22016+(-2)2020的结果为________.
12.已知(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)可分解因式为(3x+a)(x+b),其中a,b均为整数,则a+3b=____________.
三、解答题
13.用提取公因式法将下列各式分解因式:
(1)6xyz-3xz2;
(2)x4y-x3z;
(3)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m).
14.边长分别为a,b的长方形,它的周长为14,面积为10,求a2b+ab2的值.
15.已知2x+y=6,x-3y=1,求7y(x-3y)2-2(3y-x)3的值.
16.试说明:
对于任意自然数n,2n+4-2n都能被5整除.
17.如图4-2-1,长方形的长为a,宽为b,试说明:
长方形中带有阴影的三角形的面积之和等于该长方形面积的一半.
图4-2-1
18.三角形ABC的三边长分别为a,b,c,且a+2ab=c+2bc,请判断三角形ABC的形状,并说明理由.
阅读下列因式分解的过程,解答下列问题:
1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3.
(1)上述分解因式的方法是________,共应用了________次.
(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2020,则需要应用上述方法________次,结果是________.
(3)分解因式:
1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n为正整数).
详解详析
教材的地位
和作用
本节所学的提取公因式法是因式分解最基本、最常用的方法,是因式分解的基础,也为以后学习因式分解的其他方法及利用因式分解解整式方程(如一元二次方程)打下坚实的基础,从而也提高了学生的运算能力
教
学
目
标
知识与技能
1.在具体情境中认识公因式;
2.通过对具体问题的分析及逆用分配律,使学生理解提取公因式法,并能熟练地运用提取公因式法分解因式
过程与方法
1.树立学生“化零为整”“化归”的数学思想,使学生能完整地、辩证地看问题;
2.树立学生全面分析问题、认识问题的思想,提高学生分析问题及逆向思维的能力
情感、态度
与价值观
在数学活动中通过观察、对比、交流和讨论,发掘知识,使学生体验到学习的乐趣和数学的探索性
教学重点难点
重点
用提取公因式法进行因式分解,理解添括号法则
难点
添括号法则及换元思想在因式分解中的应用
易错点
提取公因式时,易漏项或符号改变时出错,求“公因式”和“因式分解”的填空题易错
【预习效果检测】
1.[解析]B 因为首项系数为负,各项系数的最大公约数是3,字母m的最低次幂是2,字母n的最低次幂是1,所以公因式是-3m2n.
2.[解析]在用提取公因式法分解因式时,关键是确定公因式,然后用多项式除以这个公因式,所得的商即为另一个因式.
解:
(1)x2-5x=x(x-5).
(2)2x2y2-4y3z=2y2(x2-2yz).
(3)-5a2+25a=-5a(a-5).
(4)14x2y-21xy2+7xy=7xy(2x-3y+1).
3.1-2a a2-2ab+b2
【重难互动探究】
例1 [解析]
(1)显然只需将2-y变形后,即可提取公因式x(y-2).
(2)首先把2(a-3)2-a+3变为2(a-3)2-(a-3),再将a-3看成整体提取公因式即可.
解:
(1)原式=x2(y-2)+x(y-2)
=x(y-2)(x+1).
(2)原式=2(a-3)2-(a-3)
=(a-3)(2a-7).
例2 解:
∵原式=520×(53-5)=520×120,
∴523-521能被120整除.
【课堂总结反思】
[反思]
(1)③
(2)-6ab2+9a2b-3b=-(6ab2-9a2b+3b)=-(3b·2ab-3b·3a2+3b)=-3b(2ab-3a2+1).
【作业高效训练】
[课堂达标]
1.A 2.C 3.B
4.[解析]B A选项括号内的多项式的项数漏掉了一项.C选项括号内的多项式中仍有公因式.D选项提取负号后括号里有一项没有改变符号.
5.A
6.[解析]C 原式=82020-82020=82020×(8-1)=82020×7.故能被7整除.
7.[答案]a(m-3)
8.[答案]
(1)-
(2)m2+2m-5 (3)-
9.[答案](x-y)(m+n)
10.[答案]-18
11.[答案]-22016
[解析]22016+(-2)2020=22016-2×22016=22016×(1-2)=-22016.
12.[答案]-31
13.[解析]
(1)
(2)题直接提取公因式分解因式即可,(3)题要进行适当地变形后再运用提取公因式法分解因式.
解:
(1)6xyz-3xz2=3xz(2y-z).
(2)x4y-x3z=x3(xy-z).
(3)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m)
=x(m-x)(m-y)-m(m-x)(m-y)
=(m-x)(m-y)(x-m)=-(m-x)2(m-y).
14.[解析]先可得ab和a+b的值,然后将a2b+ab2分解因式即可得到答案.
解:
由题意得ab=10,a+b=7,
所以a2b+ab2=ab(a+b)=10×7=70.
15.[解析]先提取公因式分解因式,然后代入求值.
解:
原式=7y(x-3y)2+2(x-3y)3
=(x-3y)2[7y+2(x-3y)]
=(x-3y)2(2x+y)
=12×6
=6.
16.解:
∵2n+4-2n=2n(24-1)=2n×15=2n×3×5,
∴2n+4-2n一定能被5整除.
17.解:
S阴影=
a1b+
a2b+
a3b+
a4b
=
b(a1+a2+a3+a4)
=
ab=
S长方形.
即长方形中带有阴影的三角形的面积之和等于该长方形面积的一半.
18.解:
三角形ABC是等腰三角形.理由:
∵a+2ab=c+2bc,
∴(a-c)+2b(a-c)=0,∴(a-c)(1+2b)=0.
故a=c或1+2b=0,显然b≠-
,故a=c.
∴三角形ABC为等腰三角形.
[数学活动]
解:
(1)上述分解因式的方法是提公因式法,共应用了2次.
(2)需应用上述方法2020次,结果是(1+x)2020.
(3)原式=(1+x)[1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n-1]
=(1+x)2[1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n-2]
=(1+x)3[1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n-3]
=
…
=(1+x)n(1+x)
=(1+x)n+1.