七年级数学下册因式分解 提取公因式法练习浙教版.docx

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七年级数学下册因式分解提取公因式法练习浙教版

第4章　因式分解

4．2　提取公因式法

知识点1　多项式的公因式

一般地，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式．

1．多项式－6m3n－3m2n2＋12m2n3的公因式为（　　）

A．3mnB．－3m2n

C．3mn2D．－3m2n2

知识点2　提取公因式法分解因式

如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解．这种分解因式的方法，叫做提取公因式法．

[注意]当多项式的某项恰为公因式时，提公因式后，另一个因式中不要漏掉“＋1”或“－1”．

2．把下列各式分解因式：

（1）x2－5x；

（2）2x2y2－4y3z；

（3）－5a2＋25a；

（4）14x2y－21xy2＋7xy.

知识点3　添括号法则

括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“－”号，括到括号里的各项都变号．

3．添括号：

1－2a＝＋（________）；－a2＋2ab－b2＝－（____________）．

探究　　一　用提取公因式法处理较复杂的因式分解题

教材例2变式题分解因式：

（1）x2（y－2）－x（2－y）；

（2）2（a－3）2－a＋3.

[归纳总结]提取公因式法分解因式的关键是确定多项式中各项的公因式，尤其需要注意的是公因式可以是数，也可以是单项式和多项式．

探究　　二　提取公因式法的简单应用

教材补充题523－521能被120整除吗？

[反思]分解因式：

－6ab2＋9a2b－3b.

解：

－6ab2＋9a2b－3b＝－（6ab2－9a2b＋3b）①＝－（3b·2ab－3b·3a2＋3b）②＝－3b（2ab－3a2）．③

（1）找错：

从第________步开始出现错误；

（2）纠错：

一、选择题

1．2015·武汉把a2－2a分解因式，正确的是（　　）

A．a（a－2）B．a（a＋2）

C．a（a2－2）D．a（2－a）

2．在把多项式5xy2－25x2y提取公因式时，被提取的公因式为（　　）

A．5B．5x

C．5xyD．25xy

3．下列多项式中，能用提取公因式法进行因式分解的是（　　）

A．x2－yB．x2＋2x

C．x2＋y2D．x2－xy＋y2

4．下列各式用提公因式因式分解正确的是（　　）

A．a2b＋7ab－b＝b（a2＋7a）

B．3x2y－3xy＋6y＝3y（x2－x＋2）

C．4x4－2x3y＝x3（4x－2y）

D．－2a2＋4ab－6ac＝－2a（a－2b－3c）

5．若m－n＝－1，则（m－n）2－2m＋2n的值是（　　）

A．3B．2

C．1D．－1

6.

＋（－8）2020能被下列数整除的是（　　）

A．3B．5

C．7D．9

二、填空题

7．2016·丽水分解因式：

am－3a＝____________．

8．在括号前面添上“＋”或“－”号或在括号内填空．

（1）－a＋b＝________（a－b）；

（2）－m2－2m＋5＝－（______________）；

（3）（x－y）3＝________（y－x）3.

9．因式分解：

m（x－y）＋n（x－y）＝________．

10．已知x＋y＝6，xy＝－3，则x2y＋xy2＝________．

11．计算22016＋（－2）2020的结果为________．

12．已知（2x－21）（3x－7）－（3x－7）（x－13）可分解因式为（3x＋a）（x＋b），其中a，b均为整数，则a＋3b＝____________．

三、解答题

13．用提取公因式法将下列各式分解因式：

（1）6xyz－3xz2；

（2）x4y－x3z；

（3）x（m－x）（m－y）－m（x－m）（y－m）．

14.边长分别为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，求a2b＋ab2的值．

15.已知2x＋y＝6，x－3y＝1，求7y（x－3y）2－2（3y－x）3的值．

16．试说明：

对于任意自然数n，2n＋4－2n都能被5整除．

17．如图4－2－1，长方形的长为a，宽为b，试说明：

长方形中带有阴影的三角形的面积之和等于该长方形面积的一半．

图4－2－1

18．三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断三角形ABC的形状，并说明理由．

阅读下列因式分解的过程，解答下列问题：

1＋x＋x（x＋1）＋x（x＋1）2＝（1＋x）[1＋x＋x（x＋1）]＝（1＋x）2（1＋x）＝（1＋x）3.

（1）上述分解因式的方法是________，共应用了________次．

（2）若分解1＋x＋x（x＋1）＋x（x＋1）2＋…＋x（x＋1）2020，则需要应用上述方法________次，结果是________．

（3）分解因式：

1＋x＋x（x＋1）＋x（x＋1）2＋…＋x（x＋1）n（n为正整数）．

详解详析

教材的地位

和作用

　　本节所学的提取公因式法是因式分解最基本、最常用的方法，是因式分解的基础，也为以后学习因式分解的其他方法及利用因式分解解整式方程（如一元二次方程）打下坚实的基础，从而也提高了学生的运算能力

教

学

目

标

知识与技能

　1.在具体情境中认识公因式；

　2.通过对具体问题的分析及逆用分配律，使学生理解提取公因式法，并能熟练地运用提取公因式法分解因式

过程与方法

　1.树立学生“化零为整”“化归”的数学思想，使学生能完整地、辩证地看问题；

　2.树立学生全面分析问题、认识问题的思想，提高学生分析问题及逆向思维的能力

情感、态度

与价值观

　在数学活动中通过观察、对比、交流和讨论，发掘知识，使学生体验到学习的乐趣和数学的探索性

教学重点难点

重点

　用提取公因式法进行因式分解，理解添括号法则

难点

　添括号法则及换元思想在因式分解中的应用

易错点

　提取公因式时，易漏项或符号改变时出错，求“公因式”和“因式分解”的填空题易错

【预习效果检测】

1．[解析]B　因为首项系数为负，各项系数的最大公约数是3，字母m的最低次幂是2，字母n的最低次幂是1，所以公因式是－3m2n.

2．[解析]在用提取公因式法分解因式时，关键是确定公因式，然后用多项式除以这个公因式，所得的商即为另一个因式．

解：

（1）x2－5x＝x（x－5）．

（2）2x2y2－4y3z＝2y2（x2－2yz）．

（3）－5a2＋25a＝－5a（a－5）．

（4）14x2y－21xy2＋7xy＝7xy（2x－3y＋1）．

3．1－2a　a2－2ab＋b2

【重难互动探究】

例1　[解析]

（1）显然只需将2－y变形后，即可提取公因式x（y－2）．

（2）首先把2（a－3）2－a＋3变为2（a－3）2－（a－3），再将a－3看成整体提取公因式即可．

解：

（1）原式＝x2（y－2）＋x（y－2）

＝x（y－2）（x＋1）．

（2）原式＝2（a－3）2－（a－3）

＝（a－3）（2a－7）．

例2　解：

∵原式＝520×（53－5）＝520×120，

∴523－521能被120整除．

【课堂总结反思】

[反思]

（1）③

（2）－6ab2＋9a2b－3b＝－（6ab2－9a2b＋3b）＝－（3b·2ab－3b·3a2＋3b）＝－3b（2ab－3a2＋1）．

【作业高效训练】

[课堂达标]

1．A　2.C　3.B

4．[解析]B　A选项括号内的多项式的项数漏掉了一项．C选项括号内的多项式中仍有公因式．D选项提取负号后括号里有一项没有改变符号．

5．A

6．[解析]C　原式＝82020－82020＝82020×（8－1）＝82020×7.故能被7整除．

7．[答案]a（m－3）

8．[答案]

（1）－　

（2）m2＋2m－5　（3）－

9．[答案]（x－y）（m＋n）

10．[答案]－18

11．[答案]－22016

[解析]22016＋（－2）2020＝22016－2×22016＝22016×（1－2）＝－22016.

12．[答案]－31

13．[解析]

（1）

（2）题直接提取公因式分解因式即可，（3）题要进行适当地变形后再运用提取公因式法分解因式．

解：

（1）6xyz－3xz2＝3xz（2y－z）．

（2）x4y－x3z＝x3（xy－z）．

（3）x（m－x）（m－y）－m（x－m）（y－m）

＝x（m－x）（m－y）－m（m－x）（m－y）

＝（m－x）（m－y）（x－m）＝－（m－x）2（m－y）．

14．[解析]先可得ab和a＋b的值，然后将a2b＋ab2分解因式即可得到答案．

解：

由题意得ab＝10，a＋b＝7，

所以a2b＋ab2＝ab（a＋b）＝10×7＝70.

15．[解析]先提取公因式分解因式，然后代入求值．

解：

原式＝7y（x－3y）2＋2（x－3y）3

＝（x－3y）2[7y＋2（x－3y）]

＝（x－3y）2（2x＋y）

＝12×6

＝6.

16．解：

∵2n＋4－2n＝2n（24－1）＝2n×15＝2n×3×5，

∴2n＋4－2n一定能被5整除．

17．解：

S阴影＝

a1b＋

a2b＋

a3b＋

a4b

＝

b（a1＋a2＋a3＋a4）

＝

ab＝

S长方形．

即长方形中带有阴影的三角形的面积之和等于该长方形面积的一半．

18．解：

三角形ABC是等腰三角形．理由：

∵a＋2ab＝c＋2bc，

∴（a－c）＋2b（a－c）＝0，∴（a－c）（1＋2b）＝0.

故a＝c或1＋2b＝0，显然b≠－

，故a＝c.

∴三角形ABC为等腰三角形．

[数学活动]

解：

（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次．

（2）需应用上述方法2020次，结果是（1＋x）2020.

（3）原式＝（1＋x）[1＋x＋x（x＋1）＋x（x＋1）2＋…＋x（x＋1）n－1]

＝（1＋x）2[1＋x＋x（x＋1）＋x（x＋1）2＋…＋x（x＋1）n－2]

＝（1＋x）3[1＋x＋x（x＋1）＋x（x＋1）2＋…＋x（x＋1）n－3]

＝

…

＝（1＋x）n（1＋x）

＝（1＋x）n＋1.