江西省吉安市一中届高三上学期第一次段考数学理试题Word版含答案.docx
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江西省吉安市一中届高三上学期第一次段考数学理试题Word版含答案
江西省吉安市一中2019高三上学期第一次段考
高三数学试卷（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合
，则
（）
A．
B．
C．
D．
2.已知
，则
（）
A．
B．
C．
D．
3.执行如图所示的程序框图，若输入的
，则输出的
属于（）
A．
B．
C．
D．
4.给出下列三个命题：
①“若
，则
”为假命题；
②若
为假命题，则
均为假命题；
③命题
，则
，其中正确的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
5.函数
的图象大致为（）
A．
B．
C．
D．
6.已知变量
满足条件
，若目标函数
仅在点
处取得最大值，则
的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
7.已知圆
，点
若
上存在两点
满足
，则实数
的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
8.已知函数
，集合
，现在从
中任取两个不同的元素
，则
的概率为（）
A．
B．
C．
D．
9.在正三棱锥
中，
是
的中点，且
，底面边长
，则正三棱锥
的外接球的体积为（）
A．
B．
C．
D．
10.已知函数
与
满足：
，且
在区间
上为减函数，令
，则下列不等式正确的是（）
A．
B．
C．
D．
11.已知数列
满足
，则使不等式
成立的所有正整数
的集合为（）
A．
B．
C．
D．
12.在等腰梯形
中，
，且
，其中
，以
为焦点且过点
的双曲线的离心率为
，以
为焦点且过点
的椭圆的离心率为
，若对任意
，不等式
恒成立，则
的最大值是（）
A．
B．
C．2D．
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知
，复数
的实部为
，虚部为1，则
的取值范围是____________．
14.如图，已知双曲线
的右顶点为
，
为坐标原点，以
为圆心的圆与双曲线
的某渐近线交于两点
，若
，且
，则双曲线的离心率为____________．
15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为_____________．
16.对大于1的自然数
的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：
仿此，若
的“分裂”数中有一个是73，则
的值为_____________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
在
中，角
的对边分别为
，
，且
．
（1）求角
的大小；
（2）若等差数列
的公差不为零，且
，且
成等比数列，求
的前
项和
．
18.（本小题满分12分）
四棱锥
中，点
在平面
内的射影
在棱
上，
，底面
是梯形，
，且
．
（1）求证：
平面
平面
；
（2）若直线
与
所成角为60°，求二面角
的余弦值．
19.（本小题满分12分）
某电视台举行一个比赛类型的娱乐节目，
两队各有六名选手参赛，将他们首轮的比赛成绩作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示，为了增加节目的趣味性，主持人故意将
队第六位选手的成绩没有给出，并且告知大家
队的平均分比
队的平均分多4分，同时规定如果某位选手的成绩不少于21分，则获得“晋级”．
（1）根据茎叶图中的数据，求出
队第六位选手的成绩；
（2）主持人从
队所有选手成绩中随机抽取2个，求至少有一个为“晋级”的概率；
（3）主持人从
两队所有选手成绩中分别随机抽取2个，记抽取到“晋级”选手的总人数为
，求
的分布列及数学期望．
20.（本小题满分12分）
如图，已知椭圆
经过点
，且离心率等于
，点
分别为椭圆
的左、右顶点，
是椭圆
上不同于顶点的两点，且
的面积等于
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）过点
作
交椭圆
于点
，求证：
．
21.（本小题满分12分）
设函数
，已知
在
处的切线
相同．
（1）求
的值及切线
的方程；
（2）设函数
，若存在实数
使得关于
的不等式
对
上的任意实数
恒成立，求
的最小值及对应的
的解析式．
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-4：
坐标系与参数方程
设点
的极坐标为
，直线
经过
点，且倾斜角为
．
（1）证明：
的极坐标方程是
；
（2）若
点到
的最短距离
，求
与
间的关系．
23.（本小题满分10分）选修4-5：
不等式选讲
已知适合不等式
的
的最大值为3．
（1）求
的值；
（2）求
的范围．
江西省吉安市一中2019高三上学期第一次段考
数学（理）试题参考答案
一、选择题
DDABBDCABBAB
二、填空题
13.
14.
15.
16.9
三、解答题
17.
（1）由
得
，
所以
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
∴
，由
，得
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）设数列
的公差为
，
由
（1）得
，且
，
∴
，
∵
平面
，
∴
平面
，
又
平面
，∴平面
平面
．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）
以
为原点，如图建立空间直角坐标系
，∵
平面
，
∴
轴
，
则
，设
，
∴
，∴
，
∵
，∴
，
∵
与
所成角为60°，
∴
，
∴
，∴
，
∵
，∴
，∵
，∴
，∴
．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
∴
，设平面
的法向量为
，
由
，得平面
的一个法向量为
．．．．．．．．．．．．．．．9分
设平面
的法向量为
，
由
，得平面
的一个法向量为
．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
∴
，
∵二面角
的平面角为钝角，
∴二面角
的余弦值为
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
19.
（1）
队选手的平均分为
，
设
队第6位选手的成绩为
，
则
，得
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
（2）
队中成绩不少于21分的有2个，从中抽取2个至少有一个为“晋级”的对立事件为两人都没有“晋级”，则概率
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（3）
的可能取值有0，1，2，3，4，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
∴
的分布列为
0
1
2
3
4
∴
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
20.解：
（1）由题意得
，解得
，
故椭圆
的方程为
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）
如图所示，设直线
的方程为
，
联立方程组
，解得
，
同理可得
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
作
轴，
轴，点
是垂足，
，
已知
，化简可得
，
设
，则
，又已知
，
所以要证
，只要证明
，
而
，
所以可得
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
21.解：
（1）
，
由已知
且
，
∴
且
，得
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
又
，∴
，
∴
，
∴切线
的方程为
，即
…………………………4分
（2）由
（1）知，
，又因为
，
可知
，
①由
对
恒成立，
即
对
恒成立，
所以
，解得
①．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分
②由
对
恒成立，即设
，
则
，令
，得
，
当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减，
故
，
则
，故得
，②
由①②得
，③
由存在实数
使得③成立的充要条件是：
不等式
，有解，该不等式可化为
有解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
令
，则有
，设
，
，
可知
在
上递增，在
上递减，
又
，所以
在区间
内存在一个零点
，故不等式
的解为
即
，得
，
因此
的最小值为2，代入③中得
，故
，此时对应的
的解析式为
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
22.
（1）如图，设
为直线
上的任一点，直线
与极轴相交于
点，则
，
在
中，由正弦定理得
，
得直线
的极坐标方程
．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）依题意
，所以
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
23.
（1）∵适合不等式
的
的最大值为3，
∴
，∴
，
若
，
则原不等式为
，其解集不可能为
的子集，∴
，
∴原不等式
，即
，
令
，可得
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分
（2）
，即为
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
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