《万有引力与航天》习题课教案.docx

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《万有引力与航天》习题课教案

万有引力定律与航天复习课

第1课

万有引力定律及其应用

知识简析

一.万有引力定律

（1）内容：

宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比．

（2）公式：

F＝G

其中

，称为为有引力恒量。

（3）适用条件：

严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时r应为两物体重心间的距离．对于均匀的球体,r是两球心间的距离．

注意：

万有引力定律把地面上的运动与天体运动统一起来，是自然界中最普遍的规律之一，式中引力恒量G的物理意义是：

G在数值上等于质量均为1千克的两个质点相距1米时相互作用的万有引力．

二、万有引力和重力

重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力．重力实际上是万有引力的一个分力．另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图所示，由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力F向不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度g随纬度变化而变化，从赤道到两极逐渐增大．通常的计算中因重力和万有引力相差不大，而认为

两者相等，即m2g＝G

g=GM/r2常用来计算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一纬度处，g随物体离地面高度的增大而减小，即gh=GM/（r+h）2，比较得gh=（

）2·g

在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和m2g刚好在一条直线上，则有

F＝F向＋m2g，

所以m2g=F一F向＝G

－m2Rω自2

因地球目转角速度很小G

»m2Rω自2,所以m2g=G

假设地球自转加快，即ω自变大，由m2g＝G

－m2Rω自2知物体的重力将变小，当G

=m2Rω自2时，m2g=0，此时地球上物体无重力，但是它要求地球自转的角速度ω自＝

，比现在地球自转角速度要大得多.

三.天体表面重力加速度问题

设天体表面重力加速度为g,天体半径为R，由mg=

得g=

由此推得两个不同天体表面重力加速度的关系为

四．天体质量和密度的计算

原理：

天体对它的卫星（或行星）的引力就是卫星绕天体做匀速圆周运动的向心力．

G

=m

r，由此可得：

M=

；ρ=

=

=

（R为行星的半径）

由上式可知，只要用实验方法测出卫星做圆周运动的半径r及运行周期T，就可以算出天体的质量M．若知道行星的半径则可得行星的密度

规律方法1、万有引力定律的基本应用

【例1】如图所示，在一个半径为R、质量为M的均匀球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为R/2的球形空穴后，对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距d的质点m的引力是多大？

说明　

（1）有部分同学认为，如果先设法求出挖去球穴后的重心位置，然后把剩余部分的质量集中于这个重心上，应用万有引力公式求解．这是不正确的．万有引力存在于宇宙间任何两个物体之间，但计算万有引力的简单公式

却只能适用于两个质点或均匀球体，挖去球穴后的剩余部分已不再是均匀球了，不能直接使用这个公式计算引力．

（2）如果题中的球穴挖在大球的正中央，根据同样道理可得剩余部分对球外质点m的引力

上式表明，一个均质球壳对球外质点的引力跟把球壳的质量（7M/8）集中于球心时对质点的引力一样．

【例2】某物体在地面上受到的重力为160N，将它放置在卫星中，在卫星以加速度a＝½g随火箭加速上升的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互压力为90N时，求此时卫星距地球表面有多远？

（地球半径R＝6.4×103km,g取10m/s2）

【例3】有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度。

已知该单摆在海平面处的周期是T0。

当气球停在某一高度时，测得该单摆周期为T。

求该气球此时离海平面的高度h。

把地球看作质量均匀分布的半径为R的球体。

【例4】登月火箭关闭发动机在离月球表面112km的空中沿圆形轨道运动，周期是120.5min,月球的半径是1740km,根据这组数据计算月球的质量和平均密度．

【例5】已知火星上大气压是地球的1/200．火星直径约为球直径的一半，地球平均密度ρ地=5.5×103kg/m3，火星平均密度ρ火=4×103kg/m3．试求火星上大气质量与地球大气质量之比．

【例6】一个宇航员在半径为R的星球上以初速度v0竖直上抛一物体，经ts后物体落回宇航员手中．为了使沿星球表面抛出的物体不再落回星球表面，抛出时的速度至少为多少？

【例7】在“勇气”号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来。

假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v0，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计大气阻力。

已知火星的一个卫星的圆轨道半径为r，周期为T。

火星可视为半径为r0的均匀球体。

2、讨论天体运动规律的基本思路

基本方法：

把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。

【例8】2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经980的经线在同一平面内．若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似为东经980和北纬α＝400，已知地球半径R、地球自转周期T,地球表面重力加速度g（视为常数）和光速c，试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）．

【例9】在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星。

它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动。

如果双星间距为L，质量分别为M1和M2，试计算：

（1）双星的轨道半径；

（2）双星的运行周期；（3）双星的线速度。

【例10】兴趣小组成员共同协作，完成了下面的两个实验：

①当飞船停留在距X星球一定高度的P点时，正对着X星球发射一个激光脉冲，经时间t1后收到反射回来的信号，此时观察X星球的视角为θ，如图所示．②当飞船在X星球表面着陆后，把一个弹射器固定在星球表面上，竖直向上弹射一个小球，经测定小球从弹射到落回的时间为t2.

已知用上述弹射器在地球上做同样实验时，小球在空中运动的时间为t，又已知地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G，光速为c，地球和X星球的自转以及它们对物体的大气阻力均可不计，试根据以上信息，求：

（1）X星球的半径R；

（2）X星球的质量M；（3）X星球的第一宇宙速度v；

（4）在X星球发射的卫星的最小周期T.

【例11】天体运动的演变猜想。

在研究宇宙发展演变的理论中，有一种说法叫做“宇宙膨胀说”，认为引力常量在慢慢减小。

根据这种理论，试分析现在太阳系中地球的公转轨道平径、周期、速率与很久很久以前相比变化的情况。

试题展示

第2课

散专题：

人造天体的运动

知识简析一、卫星的绕行角速度、周期与高度的关系

（1）由

，得

，∴当h↑，v↓

（2）由G

=mω2（r+h），得ω=

，∴当h↑，ω↓

（3）由G

，得T=

∴当h↑，T↑

二、三种宇宙速度：

1第一宇宙速度（环绕速度）：

v1=7.9km/s，人造地球卫星的最小发射速度。

也是人造卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度。

2第二宇宙速度（脱离速度）：

v2=11.2km/s，使卫星挣脱地球引力束缚的最小发射速度。

3第三宇宙速度（逃逸速度）：

v3=16.7km/s，使卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。

三、第一宇宙速度的计算．

方法一：

地球对卫星的万有引力就是卫星做圆周运动的向心力．

G

=m

，v=

。

当h↑，v↓，所以在地球表面附近卫星的速度是它运行的最大速度。

其大小为r＞＞h（地面附近）时，

=7．9×103m/s

方法二：

在地面附近物体的重力近似地等于地球对物体的万有引力，重力就是卫星做圆周运动的向心力．

．当r＞＞h时．gh≈g所以v1＝

=7．9×103m/s

第一宇宙速度是在地面附近h＜＜r，卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度．

四、两种最常见的卫星

⑴近地卫星。

近地卫星的轨道半径r可以近似地认为等于地球半径R，由式②可得其线速度大小为v1=7.9×103m/s；由式③可得其周期为T=5.06×103s=84min。

由②、③式可知，它们分别是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的最大线速度和最小周期。

神舟号飞船的运行轨道离地面的高度为340km，线速度约7.6km/s，周期约90min。

⑵同步卫星。

“同步”的含义就是和地球保持相对静止，所以其周期等于地球自转周期，即T=24h。

由式G

=m

=m

（r+h）可得，同步卫星离地面高度为h＝

－r＝3·58×107m即其轨道半径是唯一确定的离地面的高度h=3.6×104km，而且该轨道必须在地球赤道的正上方，运转方向必须跟地球自转方向一致即由西向东。

如果仅与地球自转周期相同而不定点于赤道上空，该卫星就不能与地面保持相对静止。

因为卫星轨道所在平面必然和地球绕日公转轨道平面重合，同步卫星的线速度v=

=3.07×103m/s　　

通讯卫星可以实现全球的电视转播，从图可知，如果能发射三颗相对地面静止的卫星（即同步卫星）并相互联网，即可覆盖全球的每个角落。

由于通讯卫星都必须位于赤道上空3.6×107m处，各卫星之间又不能相距太近，所以，通讯卫星的总数是有限的。

设想在赤道所在平面内，以地球中心为圆心隔50放置一颗通讯卫星，全球通讯卫星的总数应为72个。

五.了解不同高度的卫星飞行速度及周期的数据

卫星飞行速度及周期仅由距地高度决定与质量无关。

设卫星距地面高度为h，地球半径为R，地球质量为M，卫星飞行速度为v，则由万有引力充当向心力可得v=[GM/（R+h）]½。

知道了卫星距离地面的高度，就可确定卫星飞行时的速度大小。

不同高度处人造地球卫星的环绕速度及周期见下表：

高度（km）

0

300

500

1000

3000

5000

35900（同步轨道）

38000（月球轨道）

环绕速度（km/s）

7.91

7.73

7.62

7.36

6.53

5.29

2.77

0.97

周期（分）

84.4

90.5

94.5

105

150

210

23小时56分

28天

六、卫星的超重和失重

（1）卫星进入轨道前加速过程，卫星上物体超重．

（2）卫星进入轨道后正常运转时，卫星上物体完全失重．

七、人造天体在运动过程中的能量关系

当人造天体具有较大的动能时，它将上升到较高的轨道运动，而在较高轨道上运动的人造天体却具有较小的动能。

反之，如果人造天体在运动中动能减小，它的轨道半径将减小，在这一过程中，因引力对其做正功，故导致其动能将增大。

同样质量的卫星在不同高度轨道上的机械能不同。

其中卫星的动能为

，由于重力加速度g随高度增大而减小，所以重力势能不能再用Ek=mgh计算，而要用到公式

（以无穷远处引力势能为零，M为地球质量，m为卫星质量，r为卫星轨道半径。

由于从无穷远向地球移动过程中万有引力做正功，所以系统势能减小，为负。

）因此机械能为

。

同样质量的卫星，轨道半径越大，即离地面越高，卫星具有的机械能越大，发射越困难。

八、相关材料

I．人造卫星做圆轨道和椭圆轨道运行的讨论

当火箭与卫星分离时，设卫星的速度为v（此即为发射速度），卫星距离地心为r,并设此时速度与万有引力垂直（通过地面控制可以实现）如图所示，则

，若卫星以v绕地球做圆周运动，则所需要的向心力为：

F向＝

①当F万=F向时，卫星将做圆周运动．若此时刚好是离地面最近的轨道，则可求出此时的发射速度v＝7.9km/s.

②当F万＜F向时，卫星将做离心运动，做椭圆运动，远离地球时引力做负功，卫星动能转化为引力势能．（神州五号即属于此种情况）

③当F万＞F向时，卫星在引力作用下，向地心做椭圆运动，若此时发生在最近轨道，则v＜7.9km/s，卫星将坠人大气层烧毁。

因此：

星箭分离时的速度是决定卫星运行轨道的主要条件．

2.人造卫星如何变轨

卫星从椭圆轨道变到圆轨道或从圆轨道变到椭圆轨道是卫星技术的一个重要方面，卫星定轨和返回都要用到这个技术．

以卫星从椭圆远点变到圆轨道为例加以分析：

如图所示，在轨道A点，万有引力FA＞

，要使卫星改做圆周运动，必须满足FA＝

和FA⊥v，在远点已满足了FA⊥v的条件，所以只需增大速度，让速度增大到

＝FA，这个任务由卫星自带的推进器完成．

这说明人造卫星要从椭圆轨道变到大圆轨道，只要在椭圆轨道的远点由推进器加速，当速度达到沿圆轨道所需的速度，人造卫星就不再沿椭圆轨道运动而转到大圆轨道．“神州五号”就是通过这种技术变轨的，地球同步卫星也是通过这种技术定点于同步轨道上的．

规律方法1、处理人造天体问题的基本思路

由于运行中的人造天体，万有引力全部提供人造地球卫星绕地球做圆周运动的向心力，因此所有的人造地球卫星的轨道圆心都在地心．解关于人造卫星问题的基本思路：

①视为匀速圆周运动处理；②万有引力充当向心力；③根据已知条件选择向心加速度的表达式便于计算；④利用代换式gR2=GM推导化简运算过程。

注意：

①人造卫星的轨道半径与它的高度不同．②离地面不同高度，重力加速度不同，

【例l】设人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，卫星离地面越高，则卫星的（）

A．速度越大B．角速度越大C．向心加速度越大；D．周期越长

说明：

可以看出，绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的轨道半径r、线速度大小v和周期T是一一对应的，其中一个量确定后，另外两个量也就唯一确定了。

离地面越高的人造卫星，线速度越小而周期越大。

【例2】设地球的半径为R0，质量为m的卫星在距地面R0高处做匀速圆周运动，地面的重力加速度为g0，则以下说法错误的是（）

A.卫星的线速度为

；B.卫星的角速度为

；

C.卫星的加速度为

；D.卫星的周期

；

2、人造天体的发射与变轨

【例3】一组太空人乘坐大空穿梭机，去修理位于离地球表面6．0×105m的圆形轨道上的哈勃太空望远镜H．机组人员使穿梭机S进入与H相同的轨道并关闭推动火箭，而望远镜则在穿梭机前方数公里处，如图所示，设G为引力常数，而ME为地球质量．（已知：

地球半径为6．4×106m）

（1）在穿梭机内，一质量为70kg的太空人的视重是多少？

（2）①计算轨道上的重力加速度的值．

②计算穿梭机在轨道上的速率和周期．

（3）①证明穿梭机的总机械能跟

成正比，r为它的轨道半径．

［注：

若力F与位移r之间有如下的关系：

F=K／r2（其中K为常数），则当r由∞处变为0，F做功的大小可用以下规律进行计算：

W＝K／r（设∞处的势能为0）］．

②穿梭机须首先螺旋进入半径较小的轨道，才有较大的角速度以超前望远镜．用上题的结果判所穿梭机要进入较低轨道时应增加还是减少其原有速率，解释你的答案．

【例4】如图所示，某次发射同步卫星时，先进入一个近地的圆轨道，然后在P点点火加速，进入椭圆形转移轨道（该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P，远地点为同步轨道上的Q），到达远地点时再次自动点火加速，进入同步轨道。

设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v1，在P点短时间加速后的速率为v2，沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为v3，在Q点短时间加速后进入同步轨道后的速率为v4。

试比较v1、v2、v3、v4的大小，并用小于号将它们排列起来______。

卫星的回收实际上是卫星发射过程的逆过程。

【例5】在空中飞行了十多年的“和平号”航天站已失去动力，由于受大气阻力作用其绕地球转动半径将逐渐减小，最后在大气层中坠毁，在此过程中下列说法正确的是（）

A．航天站的速度将加大B．航天站绕地球旋转的周期加大

C．航天站的向心加速度加大D．航天站的角速度将增大

【例6】“神舟三号”顺利发射升空后，在离地面340km的圆轨道上运行了108圈。

运行中需要进行多次“轨道维持”。

所谓“轨道维持”就是通过控制飞船上发动机的点火时间和推力的大小方向，使飞船能保持在预定轨道上稳定运行。

如果不进行轨道维持，由于飞船受轨道上稀薄空气的摩擦阻力，轨道高度会逐渐降低，在这种情况下飞船的动能、重力势能和机械能变化情况将会是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

Ａ.动能、重力势能和机械能都逐渐减小

　　Ｂ.重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能不变

　　Ｃ.重力势能逐渐增大，动能逐渐减小，机械能不变

　　Ｄ.重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能逐渐减小

【例7】飞船发射过程是一个加速过程，在加速过程中，宇航员处于______状态。

人们把这种状态下的重力与静止在地球表面时的重力的比值称为耐受力值，用K表示，则K=_______（设宇航员的质量为m，加速上升加速度为a），选择宇般员时，要求他在此状态的耐受值为4≤K≤12，说明飞船发射时的加速度值的变化范围_________.

【例8】飞船在发射升空时，如果宇航员是站立的，则他的心血管系统受到何种影响？

你认为宇航员采取什么资势为好？

【例9】航天飞船进入距地表3R地的轨道绕地球做圆周运动时，质量为64kg的宇航员处于____状态，他的视重为_____N。

实际所受力_____N。

【例10】若飞船要与轨道空间站对接，飞船为了追上轨道空间站（）

A可以从较低的轨道上加速B可以从较高的轨道上加速

C可以从与空间站同一轨道上加速D无论在什么轨道上，只要加速都行

【例11】我国的国土辽阔，在东西方向上分布在东经70°到东经135°的广大范围内，所以我国发射的同步通信卫星一般定点在赤道上空3.6万公里，东经100°附近。

假设某颗通信卫星计划定点在赤道上空东经104°的位置。

经测量刚进入轨道时它位于赤道上空3.6万公里，东经103°处。

为了把它调整到104°处，可以短时间启动星上的小型发动机，通过适当调整卫星的轨道高度，改变其周期，从而使其自动“漂移”到预定经度。

然后再短时间启动星上的小型发动机调整卫星的高度，实现最终定点。

这两次调整高度的方向应该依次是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

Ａ.向下、向上Ｂ.向上、向下Ｃ.向上、向上Ｄ.向下、向下

【例12】设想宇航员完成了对火星表面的科学考察任务，乘坐返回舱返回围绕火星做圆周运动的轨道舱，如图所示．为了安全，返回舱与轨道舱对接时，必须具有相同的速度．求该宇航员乘坐的返回舱至少需要获得多少能量，才能返回轨道舱？

说明：

这是一道关于天体运动的信息题．题中有多个对象，解题时要分清研究对象，选好规律．

【例13】2003年10月15日上午9时，我国在酒泉卫星发射中心成功发射“神舟五号”载人航天飞船，这是我国首次实现载人航天飞行，也是全世界第三个具有发射载人航天器能力的国家．“神舟五号”飞船长8.86m;质量为7990kg.飞船在达到预定的椭圆轨道后运行的轨道倾角为42.40，近地点高度200km，远地点高度约350km.实行变轨后，进入离地约350km的圆轨道上运行，飞船运动14圈后，于16日凌晨在内蒙古成功着陆．（地球半径Ro=-6.4×106m，地球表面重力加速度g=10m/s2，

·

·

＝5.48，计算结果保留三位有效数字）求：

（1）飞船变轨后在轨道上正常运行时的速度．

（2）飞船在圆轨道上运行的周期．

解析：

设飞船的质量为m，地球质量为M.飞船在圆轨道上运行时：

对于地面上质量为m0的物体有：

由上两式得飞船的运行速度为：

飞船在圆轨道上运行时的周期为：

说明：

天体运动的问题，要紧扣两条主线：

万有引力提供向心力，重力等于万有引力．

【补例】地球赤道上的N城市想实施一个“人造月亮”计划，在地球同步卫星上用一面平面镜将太阳光射到地球上，使这座城市在午夜时分有“日出”时的效果，若此时的N城市正值盛夏季节，地球的半径为R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，太阳在非常遥远的地方．求

（1）地球同步卫星离地心的距离

（2）悬挂平面镜的同步卫星所在经度平面的经度与N城的经度差α。

（3）此时平面镜与卫星所在经度平面的夹角θ

解析：

（1）设地球及同步卫星的质量分别为M,m，则

又：

g＝GM/R2，可得：

（2）过赤道平面的截面图如图所示，水平入射光线MA经反射后的反射光线AN与地球相切，故∠MAN＝900

卫星所在经线在平面内的投影为OA,N城市所在经线在平面内的投影为ON,

所以：

α＝arccos（R/r）

θ＝450＋arcsin（R/r）

说明：

本题的关键是理解“午夜万分有‘日出’时的效果”的含义，并要有一定的空间想象力，且能画出截面图，能力要求较高．

练习：

1、对于万有引力定律的表述式

，下面说法中不正确的是（　　）

A.公式中G为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的

B.当r趋近于零时，万有引力趋于无穷大

C.m1与m2受到的引力总是大小相等的，方向相反，是一对作用力与反作用力

D.m1与m2受到的引力总是大小相等的，而与m1、m2是否相等无关

2、甲、乙两个物体分别放在广州和北京，它们随地球一起转动时，下面说法正确的是（）

A．甲的线速度大，乙的角速度小B．甲的线速度大，乙的角速度大

C．甲和乙的线速度相等D．甲和乙的角速度相等

3、关于行星的运动，以下说法不正确的是（）

A．行星轨道的半长轴越长，自转周期就越小

B．行星轨道的半长轴越长，公转周期就越大

C．水星的半长轴最短，公转周期最大

D．海王星离太阳“最远”，其公转周期最长

4、地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随地球自转，所以有：

（）

A．物体在赤道处受的地球引力等于两极处，而重力小于两极处

B．赤道处的角速度比南纬300大

C．地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处大

D．地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力

5、一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行,要测定该行星的密度,仅仅需要测定（）

A．运行周期TB．环绕半径rC．行星的体积VD．运行速度v

6、人造卫星在太空绕地球运行中，若天线偶然折断，天线将（）

A．继续和卫星一起沿轨道运行B．做平抛运动，落向地球

C．由于惯性，沿轨道切线方向做匀速直线运动D．做自由落体运动，落向地球

7、两颗人造卫星A、B绕地球做圆周运动，周期之比为

，则轨道半径之比和运动速率之比分别为（）

A.

B.

C.

D.

8、某星球的质量约为地球的9倍，半球约为地球的一半，若从地球上高h处平抛一物体，射程为60ｍ，则在该星球上，从同样高度，以同样的初速度平抛同一物体，射程应为（）

A.10ｍB.15ｍC.90ｍD.360ｍ

9、某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如它的轨道半径增加到原来的n倍后，仍能够绕地球做匀速圆周运动，则：

（）

A．根据

，可知卫星运动的线速度将增大到原来的n倍。

　B．根据

，可知卫星受到的向心力将减小到原来的

倍。

　C．根据

，可知地球给卫星提供的向心力将减小到原来的

倍。

　D．根据

，可知卫星运动的线速度将减小到原来的

倍。

10、下列几组数据中能算出地球质量的是（万有引力常量G是已知的）（）

A.地球绕太阳运行的周期T和地球中心离太阳中心的距离r

B.月球绕地球运行的周期T和地球的半径r

C.月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离r

D.月球绕地球运动的周期T