北京市第十三中学分校学年度第二学期期中八年级数 学 试 卷 含答案.docx
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北京市第十三中学分校学年度第二学期期中八年级数学试卷含答案
北京市第十三中学分校2014---2015学年度
第二学期期中八年级数学试卷
第卷（共分）
考
生
须
知
1.本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷共2页，第Ⅱ卷共4页。
2.本试卷满分100分，考试时间100分钟。
3.在试卷（包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷）密封线内准确填写学校、班级、姓名、学号。
4.考试结束，将试卷、机读卡及答题纸一并交回监考老师。
第Ⅰ卷
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（）．
A．1，
，2B．1，2，
C．5，12，13D．1，
，
2.已知关于
的方程
有两个不相等实数根，则
的取值范围是（）．
A．
B．
C．
D．
3.
是关于
的一元二次方程，则
的取值范围是（）．
A．
B．
C．
且
D．一切实数
4.对角线相等且互相平分的四边形一定是（）．
A．等腰梯形B．矩形C．菱形D．平行四边形
5．下列命题中不正确的是（）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．平行四边形的面积等于底乘以这底上的高
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
6．已知，ABCD的周长是44，对角线AC、BD相交于点Ｏ，且△OAB的周
长比△OBC的周长小４，则AB的长为（）
A．4B.9C.10D.12
7．若一个直角三角形的两边长分别是5和12，则第三边长为（）
A.13B.
C.13或
D.无法确定
8.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝
，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（）
A.
B.2C.3D.
9.如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，
则∠FPC=（）
A．35°B．45°C．50°D．55°
10.如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°,AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2,l2，l3之间的距离为3,则AC的长是（）
A．
B．
C．
D．7
第Ⅱ卷
二.填空题（每小题2分，共16分）
11.关于
的一元二次方程
有一个根是零，则
___．
12已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为____________.
13.如图，ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAC=30°，AE=3，则AC的长等于 ______ ．
14．如图，菱形ABCD的周长为40cm，∠ABC=60°，E是AB的中点，点P是BD上的一动点，则PA+PE的最小值为___________.
15.在直线
上摆放着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3正放置的四个正方形的面积依次是
，则
=.
第15题
16.已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）=8，则x2+y2的值为_____________.
17．矩形
中，对角线
，
交于点
，
于
若
则
.
18.如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，
每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右
第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（8，4），阴影三角
形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、Sn，
则S2的值为________,Sn的值为_____ ．
（用含n的代数式表示，n为正整数）
三.计算题（每小题5分，共10分）
19.
20．2（x+2）2－8=0
四.解答题（21----25每小题5分，26---27每小题6分，28题7分，共44分）
21.已知：
如图，在平行四边形ABCD中，
点E、F在AC上，且AE=CF．
求证：
四边形BEDF是平行四边形．
22.已知：
△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AB=2，求BC的长.
23.某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程、已知2013年投资1000万元，预计2015年投资1210万元．若这两年内平均每年投资增长的百分率相同.求平均每年投资增长的百分率.
24.如图，已知△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α
（α＜60°），D是BC边上的一点，连接AD，
线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，过点
E作BC的平行线，交AB于点F，连接
DE，BE，DF．
（1）求证：
BE=CD；
（2）若AD⊥BC，试判断四边形BDFE的形状，并给出证明．
25.勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：
a2+b2=c2
证明：
连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣a．
∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=
b2+
ab．
又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=
c2+
a（b﹣a）
∴
b2+
ab=
c2+
a（b﹣a）
∴a2+b2=c2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：
a2+b2=c2.
26.我们定义：
有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
如图1。
（1）在探究“等对角四边形”性质时：
①小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），
其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现
CB=CD成立．请你证明此结论；
②由此小红猜想：
“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？
若正确，请证明；若不正确，请举出反例．
（2）已知：
在“等对角四边形“ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．
求：
对角线AC的长．
27．已知关于x的一元二次方程
（
）①.
（1）若方程①有一个正实根c，且
.求b的取值范围；
（2）当a=1时，方程①与关于x的方程
②有一个相同的非零实根，
求
的值.
28.△CDE和△AOB是两个等腰直角三角形，∠CDE=∠AOB=90°，DC=DE=1，
OA=OB=a（
）．
将△CDE的顶点D与点O重合，连接AE，BC，取线段BC的中点M，连接OM．
①如图1，若CD，DE分别与OA，OB边重合，则线段OM与AE有怎样的数量关系？
请直接写出你的结果；
②如图2，若CD在△AOB内部，请你在图2中画出完整图形，判断OM与AE之间的数量关系是否有变化？
写出你的猜想，并加以证明；
③将△CDE绕点O任意转动，写出OM的取值范围（用含a式子表示）.
C
图2
2014--2015学年度北京市第十三中学分校
第二学期期中八年级数学答案
第卷（共分）
1.选择题（每小题3分，共30分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
A
C
B
C
B
C
C
D
A
二.填空题（每小题2分，共16分）
11.-212.1`13.
14.
15.416.117.
或418.8,
三.计算题（每小题5分，共10分）
19.
20．2（x+2）2－8=0
解：
△=50-8=42解：
∴
四.解答题（21----25每小题5分，26---27每小题6分，28题7分，共44分）
21.解：
证明：
如图，连接BC，设对角线交于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OD，OB=OC．
∵AE=DF，OA﹣AE=OD﹣DF，
∴OE=OF．
∴四边形BEDF是平行四边形．...........5`
22.解：
过A作AD⊥BC于D
在RT△ADC中，∠ADC=90°，∠ACD=45°
∴设AD=x，则DC=x
在RT△ADB中，∠ADB=90°，∠ABD=30°，AD=x
则BD=
x，AB=2x
∵AB=2∴x=1∴BC=1+
................5`
23解：
设平均每年投资增长的百分率是x．
由题意得1000（1+x）2=1210，
解得x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意舍去）．
答：
平均每年投资增长的百分率为10%；...................................5`
24.证明：
（1）∵△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α＜60°），线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，
∴AB=AC，
∴∠BAE=∠CAD，
在△ACD和△ABE中，
，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴BE=CD；...........................................................3`
（2）∵AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴BE=BD=CD，∠BAD=∠CAD，
∴∠BAE=∠BAD，
在△ABD和△ABE中，
，
∴△ABD≌△ABE（SAS），
∴∠EBF=∠DBF，
∵EF∥BC，
∴∠DBF=∠EFB，
∴∠EBF=∠EFB，
∴EB=EF，
∴BD=BE=EF=FD，∴四边形BDFE为菱形．.....5`
25.证明：
连结 过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，
∵S五边形ACBED= S△ACB+S△ABE+S△ADE=
ab+
b2+
ab，
又∵S五边形ACBED= S△ACB+S△ABD+S△BDE=
ab+
c2+
a（b﹣a），
∴
ab+
b2+
ab=
ab+
c2+
a（b﹣a），
∴a2+b2=c2．.................................................5`
26.解：
（1）①如图2，连接BD，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB，
∴∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD，......................2`
②不正确，反例：
如图3，∠A=∠C=90°，AB=AD，但CB≠CD，..........................3`
（2）（Ⅰ）如图4，当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，
∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，
∴AE=10，
∴DE=AE﹣AD=10﹣4═6，
∵∠EDC=90°，∠E=30°，
∴CD=2
，
∴AC=
=
=2
......................5`
（Ⅱ）如图5，当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，
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