高一上学期数学知识点总结必修14.docx

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高一上学期数学知识点总结必修14

一、集合与元素

1、集合与元素概念

一般，我们把研究对象称为元素，把元素组成的总体叫集合

2、集合的三种特性

（1）确定性。

一个元素a与集合A的关系，要么

，要么

，两者必居其一，并且只居其一；

（2）互异性。

就是指集合中的所有的元素彼此都不相同；

（3）无序性。

集合中的元素可以随意排列顺序。

3、集合的表示方法

（1）语言描述法。

比如集合

用语言描述法表示为“小于10的正奇数组成的集合”

（2）列举法。

例如

、

、

（3）描述法。

将集合中所有元素的共有特性用数学语言表示出来。

例如

或者

4、常用数集的简称

（1）自然数集（非负整数集），记为N；（注意集合N中的元素为0，1，2，3，4，5，...）

（2）正整数集，记为

；（注意集合

中的元素为1，2，3，4，5，...）

（3）整数集，记为Z；

（4）有理数集，记为Q；

（5）实数集，记为R；

5、集合的形式有数的集合、点的集合、集合的集合（其中数的集合、点的集合常用）

6、子集：

对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，那么称集合A为集合B的子集，记为

（或

）

7、空集：

不含任何元素的集合叫空集，记为

。

注意，空集是任何集合的子集

8、子集的性质：

①任何一个集合都是它自身的子集②若

9、真子集：

若集合

，且

，那么集合A是集合B的真子集，记为A

B。

注意空集是任何非空集合的真子集

10、元素与集合的关系有“属于”与“不属于”这两种，用符号

表示

11、集合与集合的关系有“包含”、“不包含”这两种，用符号

、

表示；

其中“包含”有“真包含”和“相等”两种，用符号

、=

13、并集：

由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集，用符号表示

14、交集：

由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集，用符号表示

2、函数概念

一、映射

（一）映射：

设

、

是两个非空集合，如果按照某种对应法则

对

中的任意一个元素

，在

中有一个且仅有一个元素

与

对应，则称

是集合

到集合

的映射．记为：

，

这时称

是

在映射

的作用下的象，记作

，于是

．

称作

的原象．

集合

叫做映射

的定义域（函数定义域的推广），所有象

构成的集合叫做映射

的值域，记作

．

注：

1．一对一、多对一是映射，一对多不是映射

2．集合

中的元素一定有象，集合

中的元素不一定有原象．

（二）一一映射：

如果

是

到

的一个映射，并且对于集合

中的任意一个元素，在集合

中有且只有一个原象．

（三）映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射．函数是数集到数集的映射．

二、分段函数：

在函数的定义域内，对于自变量

的不同取值区间，有着不同的对应法则．

注：

①分段函数是一个函数

②分段函数的定义域是自变量

的取值区间的并集，值域是各个区间对应的值域的并集．

③解决分段函数的重要策略就是分类讨论．

三、函数的单调性

1.增函数：

一般地，设函数

的定义域为

，区间

．如果取区间

中的任意两个

，若

，

，则称函数

在区间

上是增函数．

2.减函数：

一般地，设函数

的定义域为

，区间

．如果取区间

中的任意两个

，若

，

，则称函数

在区间

上是减函数．

3.对勾函数

在区间

上为增函数，在区间

上为减函数；

一般地，对勾函数

在区间

上为增函数，在区间

上为减函数；

4.对于复合函数

，其中

称为外函数，

称为内函数．

当内外函数单调性相同时，

为增函数;

当内外函数单调性相反时，

为减函数．

5.设，那么

当，则在上是

增函数；

当，则在上是减函数

1.奇函数与偶函数的定义:

设y=f（x），x∈A，如果对于任意

∈A，都有

，则称y=f（x）为偶函数。

设y=f（x），x∈A，如果对于任意

∈A，都有

，则称y=f（x）为奇函数。

如果函数

是奇函数或偶函数，则称函数y=

具有奇偶性。

2.性质：

①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称，

②y=f（x）是偶函数

y=f（x）的图象关于

轴对称,　　

y=f（x）是奇函数

y=f（x）的图象关于原点对称,

③偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同，

3.函数对称的性质（课本以外）

（1）针对一个函数的对称性

若

，则函数

的图象关于直线

对称

若

，则函数

的图象关于直线

对称

若

，则函数

的图象关于直线

对称

（2）针对两个函数的对称性

函数

与函数

的图象关于直线

对称

4.函数周期性

若

，则函数

的周期

若

，则函数

的周期

若

，则函数

的周期

若

，则函数

的周期

1、指数函数定义

一般地，函数

叫做指数函数．

2、指数函数图象与性质

图象

定义域

值域

性质

（1）过定点

，即

时，

（2）在

上是减函数

（2）在

上是增函数

（3）

时，

时，

（3）

时，

时，

（4）对于同一个

，

与

的图象关于

轴对称

（5）

接近于

，

越靠近

轴

（5）

越大，

越靠近

轴

3、有关指数运算公式

①

；②

；③

；④

．

我们规定

，

①正分数指数幂可以定义为

；

（

且

为既约分数）

②负整数指数幂可以定义为

（

且

为既约分数）

一、对数的概念

1.对数的概念：

如果

（

，

），那么b叫做以a为底N的对数，记作

（

，

，

）．

2.对数恒等式：

．

3.常用对数：

以

为底的对数叫做常用对数．为了简便，通常把底10略去不写，并把

写成

，即把

记做

4.自然对数：

在科学技术中，常常使用以无理数

为底的对数．以

为底的对数叫做自然对数．

通常记作

．

二、对数的运算

（

，

，

）

，

，

三、对数函数的概念：

一般地，我们把函数

（

，

）叫做对数函数．

图象

定义域

值域

性质

（1）函数图象过定点

，即当

时，

（2）在

上是减函数

（2）在

上是增函数

（3）当

时，

；

当

时，

．

（3）当

时，

；

当

时，

．

（4）

与

关于

轴对称。

（5）

越接近于

，图象越靠近

轴

（5）

越大，图象越靠近

轴

四、指数函数与对数函数的关系

1．反函数的概念：

当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的

函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量．我们称这两个函数互为

反函数．函数

的反函数通常用

表示．

2．指数函数

与对数函数

互为反函数，其图象关于

对称．

一、幂函数的定义

一般地，形如

的函数称为幂函数，其中

是常数．

二、幂函数的图象

函数

；

；

；

；

的图象

定义域

值域

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

非奇非偶函数

奇函数

单调性

单调递增

在

上减

在

上增

单调递增

单调递增

在

和

上单调递减

公共点

图象所在象限

一、三

一、二

一、三

一

一、三

三、幂函数的性质

（1）所有的幂函数在

都有定义，并且图象都通过点

；

（2）

时，幂函数的图象通过原点，并且在

上是增函数；

（3）

时，①幂函数在

上是减函数；

②在第一象限内，图象向上与

轴无限地接近，向右与

轴无限地接近．

（4）任何幂函数图象都不经过第四象限；

（5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点．

（6）任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点；

（7）作幂函数的图象时：

将第一象限的图象作出，如下图所示，遵循8字诀窍“正抛负双，大竖小横”

再根据幂函数的奇偶性，将第二或者第三象限的图象作出

一、函数的零点

1．函数零点的概念

一般地，如果函数

在实数

处的值等于零，即

，则实数

叫做这个函数的零点．

2．函数零点的意义

函数

的零点就是方程

实数根，亦即函数

的图象与

轴交点的横坐标．

即方程

有实数根

函数

的图象与

轴有交点

函数

有零点．

3．零点存在判定定理

如果函数

在区间

上的图象是连续不断的一条曲线，且

，则函数

在区间

内至少有一个零点，即存在

，使得

，这个

就是方程

的根．

二、二分法

1．二分法：

求函数零点的近似值的一种方法．

2．二分法求函数零点的一般步骤：

已知函数

定义在区间

上，求它在

上的一个零点

的近似值

，使它满足给定的精确度．

第一步在

内取一个闭区间

，使

与

异号，即

．

零点位于区间

中．

第二步取区间

的中点，则此中点对应的坐标为

．

计算

和

，并判断：

（1）如果

，则

就是

的零点，计算终止；

（2）如果

，则零点位于区间

中，

令

；

（3）如果

，则零点位于区间

中，

令

．

继续实施上述步骤，直到区间

，函数的零点总位于区间

上，当

和

按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数

的近似零点，计算终止．

2、角

的顶点与原点重合，角的始边与

轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称

为第几象限角．了解象限角和轴线角的表示方法。

3、与角

终边相同的角的集合为

4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做

弧度．

5、半径为

的圆的圆心角

所对弧的长为

，则角

的弧度数的绝对值是

．

6、弧度制与角度制的换算公式：

，

，

．

7、若扇形的圆心角为

，半径为

，弧长为

，周长为

，面积为

，则

，

，

．

8、设

是一个任意大小的角，

的终边上任意一点

的坐标是

，它与原点的距离是

，则

，

，

．

9、三角函数线：

，

，

．

10、同角三角函数的基本关系：

；

．

11、函数的诱导公式：

，

，

．

，

，

．

，

，

．

，

，

．

，

．

，

．

口诀：

奇变偶不变，符号看象限．

二、由

的图象变换到

的图象的方法

方法①：

将

的图象上所有点向左（右）平移

个单位长度，得到函数

的图象；再将函数

的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

倍（纵坐标不变），得到函数

的图象；再将函数

的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的

倍（横坐标不变），得到函数

的图象．

方法②：

将

的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

倍（纵坐标不变），得到函数

的图象；再将函数

的图象上所有点向左（右）平移

个单位长度，得到函数

的图象；再将函数

的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的

倍（横坐标不变），得到函数

的图象．

（一）两角和与差的正弦、余弦和正切公式