离心率专题总动员下.docx
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离心率专题总动员下
离心率专题总动员（下）
1.已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为、，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，双曲线的离心率的取值范围为，则该椭圆的离心率的取值范围是 ．
2.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，双曲线的离心率的取值范围为．则该椭圆的离心率的取值范围是 ．
3.已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，双曲线的离心率的取值范围为．则该椭圆的离心率的取值范围是 ．
4.已知椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于，两点．若的周长最大时，的面积为，则椭圆的离心率为 ．
5.椭圆的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．
6.过双曲线：
的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交于点．若点的横坐标为，则的离心率为 ．
7.设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，．若点满足，则该双曲线的离心率是 ．
8.在平面直角坐标系中，分别为椭圆的左、右、上、下顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 ．
9.设椭圆的左、右焦点分别为，，过作轴的垂线与相交于，两点，与轴相交于点．若，则椭圆的离心率等于 ．
10.平面直角坐标系中，双曲线（，）的渐近线与抛物线交于点，，．若的垂心为的焦点，则的离心率为 ．
11.已知椭圆的两焦点为，，，分别是椭圆的左顶点和上顶点，若线段上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为 ．
12.已知抛物线的焦点为，的准线和对称轴交于点，点是上一点，且满足，当取最大值时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为 ．
13.已知双曲线的左、右焦点分别为，，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．
14.设，分别是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于，两点，并且，，则椭圆离心率 ．
15.如图，双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，．若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为，，，．则
（1）双曲线的离心率 ；
（2）菱形的面积与矩形的面积的比值 ．
16.设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若点满足，则该双曲线的离心率是 ．
17.已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点使，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．
18.已知椭圆的短轴长为，离心率为，设过右焦点的直线与椭圆交于不同的两点，，过，作直线的垂线，，垂足分别为，．记，若直线的斜率，则的取值范围为 ．
19.设双曲线的左焦点为，过点作与轴垂直的直线交两条渐近线于，两点，且与双曲线在第二象限的交点为，设为坐标原点，若，且，则双曲线的离心率为 ．
20.已知椭圆的右焦点为，离心率为．设，为椭圆上关于原点对称的两点，的中点为，的中点为，原点在以线段为直径的圆上．设直线的斜率为，若，则的取值范围为 .
21.分别过椭圆的左、右焦点，所作的两条互相垂直的直线，的交点在此椭圆的内部，则此椭圆的离心率的取值范围是 ．
22.平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于，，．若的垂心为的焦点，则的离心率为 ．
23.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为 ．
24.如图，点，分别为双曲线的左右焦点，点，，分别为双曲线上三个不同的点，且经过坐标原点，并满足，，则双曲线的离心率为 ．
25.已知椭圆上一点关于原点的对称点为，为其右焦点，若，设，且，则椭圆离心率的范围是 ．
26.已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为.若抛物线与该双曲线在第一象限的交点为，当时，该双曲线的离心率为 .
27.已知双曲线的左，右焦点分别为，，若双曲线上存在一点使，则该双曲线离心率的取值范围是 ．
28.过椭圆的左顶点的斜率为的直线交椭圆于另一点，且点在轴上的射影为右焦点，若，则椭圆的离心率的取值范围是 ．
29.设点，分别为椭圆：
的左右顶点，若在椭圆上存在异于点，的点，使得，其中为坐标原点，则椭圆的离心率的取值范围是 ．
30.已知椭圆的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为．若，则该椭圆的离心率为 ．
31.已知椭圆：
的左右焦点分别为，，离心率为，直线：
，为点关于直线对称的点，若为等腰三角形，则的值为 ．
32.以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设、为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为椭圆；
②以定点为焦点，定直线为准线的椭圆（不在上）有无数多个；
③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④过原点任作一直线，若与抛物线，分别交于、两点，则为定值．
其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）．
33.双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，，经过右焦点垂直于的直线分别交，于两点，．已知、、成等差数列，且与同向，则双曲线的离心率为 ．
34.已知椭圆上一点关于原点的对称点为，为其右焦点，若，设，且，则椭圆离心率的取值范围是 ．
35.在平面直角坐标系中，点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴切于椭圆的焦点，圆与轴相交于，两点．若是钝角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是 ．
36.已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，设线段的中点为，若，则该椭圆离心率的取值范围为 ．
37.设是椭圆（，）的右焦点，上的一个动点到的最大距离为，若的右准线上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是 ．
38.已知椭圆的离心率是，过椭圆上一点作直线，交椭圆于，两点，且斜率分别为，，若点，关于原点对称，则的值为 ．
39.在平面直角坐标系中，，分别为椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连接，若，则椭圆的离心率 ．
40.已知椭圆，，是椭圆的左右焦点，是右准线，若椭圆上存在点，使是到直线的距离的倍，则该椭圆离心率的取值范围是 ．
41.已知点是双曲线的左焦点，过且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于另一点，且点在抛物线上，则该双曲线的离心率的平方是 ．
42.椭圆（为定值，且）的左焦点为，直线与椭圆相交于点的周长的最大值是，则该椭圆的离心率是 ．
43.已知椭圆方程，当取得最小值时，则椭圆的离心率 ．
44.已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点，使，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．
45.已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为且过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，与共线，则椭圆的离心率为 ．
46.如图所示，椭圆的四个顶点为、、、，为椭圆右焦点，直线与直线交于点，线段与椭圆的交点恰为的中点，则该椭圆的离心率为 ．
47.已知分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上任意一点，若的最小值为，则该双曲线离心率的取值范围是 ．
48.设平面直角坐标系上的点、点为定点，为定直线，为动点．
（1）若（），则点的轨迹为 ；
（2）若，则点的轨迹为 ；
（3）若到点的距离与到直线的距离之比为（）则点的轨迹为 ；
（4）若，到点与到点的距离之比为（）则点的轨迹为 ；
（5）若，到点与到直线的距离之和为（），则点的轨迹为 ；
（6）若，到点与到直线的距离之差的绝对值为（），则点的轨迹为 ．
答案
1.
【解析】设椭圆方程为，双曲线方程为，焦距为，．
由题意，得解得
因为，所以，解得，从而．
2.
【解析】设椭圆的半长轴长，半焦距分别为，双曲线的半实轴长，半焦距分别为，，，则
解得
由题意，得
解得
双曲线的离心率为
由，即得
3.
【解析】设椭圆方程为，双曲线方程为，焦距为，．由题意，得解得
因为，所以，解得，从而．
4.
【解析】由椭圆的对称性可知的周长为．
因为，故当时，的周长最大，此时直线经过右焦点，从而点，的坐标分别为，．
所以的面积为，由条件得，即，，从而椭圆的离心率为．
5.
【解析】设椭圆左焦点为，连接交直线于点，连接．因为，分别为，中点，所以
在中，
解得，．因为点在椭圆上，所以根据椭圆定义知
整理得，所以，故椭圆的离心率是．
6.
【解析】将点横坐标代入双曲线方程中，求得，不妨设题中过右焦点且与渐近线平行的直线的斜率为，则的方程为．
将代入直线方程可得的关系，求得离心率为．
7.
【解析】双曲线的渐近线方程为．由得，由得，所以的中点坐标为．设直线：
，因为，所以，所以，化简得．在双曲线中，，所以．
8.
【解析】根据题意知，，，，，
直线的方程为①，
直线的方程为②．
由①②可得，
所以．
又因为在椭圆上，
所以，即，
所以，
又因为，
所以．
9.
【解析】由题意可设，，，
则直线的方程为．
令，得，故，
所以，．
因为，
所以，
即，
整理得，
所以．
故椭圆的离心率为．
10.
【解析】抛物线的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，
由于与两条渐近线均关于轴对称，
故交点，关于轴对称．
设，则．
因为直线的斜率为，
所以边上的高所在直线的斜率为．
又设垂心为，则直线的方程为．
令，得．
由于的垂心为，
故，则．
因为，在抛物线上，
所以．
又，在双曲线的渐近线上，
故，
所以，
所以，
所以双曲线的离心率．
11.
【解析】依题意，作图如下：
因为，，，，
所以直线的方程为：
，整理得：
．
设直线上的点，则，
所以．
因为，
所以
令，
所以由得：
，于是．
所以，整理可得：
．
又，，
所以．
所以．
又椭圆的离心率，
所以为最小值．
当点取时，，．
所以椭圆的离心率的取值范围为．
12.
13.
【解析】由题意及正弦定理，得，所以点在双曲线的右支上，又，解得
因为，所以
解得
14.
【解析】设，．
由焦半径公式及得
解得
由，得，
即
由，得，
解得，即．
15.，
【解析】
（1）由题意可得，
所以，
所以，
所以，
所以．
（2）设，
，．
16.
【解析】双曲线的渐近线方程为与，分别与联立方程组，
解得
设的中点为，则
因为，所以，即，
将点的坐标代入，化简得．
17.
18.
【解析】因为椭圆的短轴长为，离心率为，
所以解得，，
所以椭圆，
因为过右焦点的直线与椭圆交于不同的两点，，
所以设直线的方程为，
联立得，
设，，，
则，，
所以
因为，
所以当时，，
当时，，
所以的取值范围是．
19.
【解析】设，不妨设在第二象限，在第三象限，则可得，，由可得点坐标为，由已知可得，所以又
由①②两式可得.因为在双曲线上，所以，从而可求得双曲线的离心率为.
20.
【解析】记线段与轴交点为．
的中点为，的中点为，
所以，，
、为椭圆上关于原点对称的两点，
所以．
因为原点在以线段为直径的圆上，
所以．
．
，
，
所以．
设，
由，
得．
因为直线斜率为，
所以，
，
即为，
又因为，
由于，
所以离心率的取值范围为．
21.
【解析】当两直线的交点在椭圆的内部时，有，所以椭圆的离心率的取值范围是．
22.
【解析】如图，可求得坐标分别为，，而抛物线的焦点为，由可得，进而可得的离心率为．
23.
【解析】由已知得，，
又，由抛物线的定义可知，
当且仅当与抛物线相切时，取到最大值，
故填．
24.
【解析】令，则，．
则有
由及，得四边形为矩形，
在中，，
解得，从而，．
在中，，
解得，即．
25.
【解析】如下图所示：
依题意可知：
，．
又因为，，所以．
因为，所以，所以．
26.
【解析】提示：
根据双曲线定义，因为，得；又点在抛物线上，所以的坐标为，将其代入及，化简得，解得（舍），.（本题还可以利用双曲线第二定义做，计算量很小）
27.
28.（）
29.
30.
31.
【解析】提示：
由已知可得，点到直线的距离等于，所以，解得．
32.②③④
【解析】①只有当时，动点的轨迹才是椭圆，所以①错误；
②以定点为焦点，定直线为准线的椭圆（不在上），其离心率有无数多个，所以椭圆有无数多个，所以②正确；
③方程的两根为和，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，所以③正确；
④设，由三点共线，得
整理，得
于是
所以④正确．
33.
【解析】设，，，如图，
由勾股定理可得
解得．所以
而，所以
解得，故离心率．
34.
【解析】
由图可得，为矩形，所以，所以，．
所以，．
，所以，所以．
35.
【解析】提示：
如图，根据椭圆的对称性，不妨设在第一象限，坐标为．
因为与轴相切于点，所以，．设，则．过点作于，因为是钝角三角形，所以，所以，从而，所以，解得．
36.
【解析】
由，，，所以，根据椭圆方程的基本量得：
，即，，得：
或，所以．
37.
【解析】当的一个动点到距离最大时，此时动点为椭圆的左顶点，即，设，因为，所以，得，所以有，即，解得．
38.
【解析】设点，，，
则，
，
得，即．
又，所以，，．
所以．
39.
【解析】如下图所示：
，，，则直线的方程为，和椭圆的方程联立后可以求出点的坐标为，所以点的坐标为．
因为，所以，整理后得，把代入后整理得，所以．
40.
【解析】根据题意及椭圆的第一第二定义有，设，所以，由题得点在轴的右侧，所以，即，解得．
41.
【解析】如图，
设抛物线的准线为，作于，双曲线的右焦点为．
由题意可知为圆的直径，所以，且，所以．
由抛物线的性质可知，且，所以，即，解得．
42.
【解析】设椭圆的右焦点为，由椭圆的定义，得
的周长为
当且仅当过右焦点时等号成立．
此时，，即，故椭圆的离心率为．
43.
【解析】因为
所以
当且仅当，即时，上式取等号，此时．
45.
【解析】设椭圆方程为，与直线方程联立得，
．
令、，则，．
由与共线，得．
又，，．
，即，，，．
46.
【解析】直线方程为，直线方程为，联立解方程组得．
则中点为，代入椭圆方程整理得，即，解得．
47.
【解析】设，，则，，将其代入得，当且仅当时，取得最小值．
，，即．
48.以原点为圆心，为半径的圆或不存在或线段或以原点为中心，，为焦点，为离心率的椭圆，不存在或线段的垂直平分线或以原点为中心，，为焦点，为离心率的双曲线或分别以，为端点的两条射线，椭圆或双曲线或抛物线，圆，两条部分抛物线组合，两条抛物线
【解析】
（1）若，则为以原点为圆心，为半径的圆；
若，，则不存在．
若，，则为线段；
若，，则为以原点为中心，，为焦点，为离心率的椭圆；
（2）若，则不存在；
若，，则为线段的垂直平分线；
若，，则为以原点为中心，，为焦点，为离心率的双曲线；
若，，则为分别以，为端点的两条射线；
若，，则不存在；
（3）时，椭圆；时，抛物线；时双曲线．
（4）圆．
（5）两条部分抛物线组合；
（6）两条抛物线．
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