高中数学专题定积分的概念教案新人教A版选修2.docx

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高中数学专题定积分的概念教案新人教A版选修2

　　　　　　定积分的概念　　【教学目标】　　1．了解定积分的概念，会用定义求定积分．2．理解定积分的几何意义．3．掌握定积分的基本性质．【教法指导】　　本节学习重点：

掌握定积分的基本性质．本节学习难点：

理解定积分的几何意义．【教学过程】☆复习引入☆　　任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算．如图所示的平面图形，是直线x＝a，x＝b（a≠b），y＝0和曲线y＝f（x）所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？

　　　　解析：

请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.☆探索新知☆探究点一定积分的概念　　思考1分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．　　答两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．思考2怎样正确认识定积分?

af（x）dx?

　　b　　n

（2）定积分就是和的极限lim∑（ξi）·Δx，而?

读作“函数f（x）从a到baf（x）dx只是这种极限的一种记号，n→∞i＝1的定积分”．　　（3）函数f（x）在区间[a，b]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限（定积分）的存在（实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件）．例1利用定积分的定义，计算?

0xdx的值．解令f（x）＝x.　　3　　13　　b

（1）分割　　在区间[0,1]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[0,1]等分成n个小区间[个小区间的长度为Δx＝－

（2）近似代替、求和　　取ξi＝（i＝1,2，?

，n），则　　n130　　i－1i，]（i＝1,2，?

，n），每nnii－11　　＝.　　nnnin?

xdx≈Sn＝∑f（）·Δxi＝1　　ini31　　＝∑（）·i＝1　　nnn11211232＝4i∑i＝4·n（n＋1）＝（1＋）.n＝1n44nn1　　（3）取极限　　112113?

0xdx＝limSn＝lim（1＋）＝.　　n→∞n→∞4n4　　反思与感悟

（1）利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程，需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤

（2），从而省略了解题步骤．

（2）从过程来看，当f（x）≥0时，定积分就是区间对应曲边梯形的面积．跟踪训练1用定义计算?

1（1＋x）dx.　　2　　nni－1i－11n?

2i－1?

2＋，从而得∑f（ξi）Δx＝∑（2＋）·＝∑?

＋n2?

i＝1i＝1nnni＝1?

　　21　　＝·n＋2[0＋1＋2＋?

＋（n－1）]　　nn1n?

n－1?

n－1＝2＋2·＝2＋.n22n（3）取极限：

S＝lim?

2＋n→∞52　　因此?

1（1＋x）dx＝.　　2　　探究点二定积分的几何意义　　思考1从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f（x）连续且恒有f（x）≥0，那么?

af（x）dx表示什么？

　　n－1?

15　　＝2＋＝.?

2n?

22　　答当函数f（x）≥0时，定积分?

af（x）dx在几何上表示直线x＝a，x＝b（a　　思考2当f（x）在区间[a，b]上连续且恒有f（x）≤0时，?

af（x）dx表示的含义是什么？

若f（x）有正有负呢？

　　bb　　答如果在区间[a，b]上，函数f（x）≤0时，那么曲边梯形位于x轴的下方（如图①）．于　　b－a>0，f（ξi）≤0，故nb－abbf（ξi）≤0.从而定积分?

af（x）dx≤0，这时它等于如图①所示曲边梯形面积的相反值，即?

af（x）dx＝－S.　　n　　当f（x）在区间[a，b]上有正有负时，定积分?

函数f（x）的图象及直线x＝a，x＝b（a≠b）af（x）dx表示介于x轴、之间各部分面积的代数和（在x轴上方的取正，在x轴下方的取负）．（如图②），即?

af（x）dx＝－S1＋S2－S3.例2利用几何意义计算下列定积分：

（1）?

9－xdx；

（2）?

－3－1（3x＋1）dx.　　3　　23　　bb　　

（2）直线x＝－1，x＝3，y＝0，以及y＝3x＋1所围成的图形，如图所示：

－1（3x＋1）dx表示直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积，　　11115023∴?

－＝16.－1（3x＋1）dx＝×（3＋）×（3×3＋1）－（－＋1）×2＝232333　　反思与感悟利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积．不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．跟踪训练2根据定积分的几何意义求下列定积分的值：

（1）?

－1xdx；

（2）?

0cosxdx；（3）?

－1|x|dx.解

（1）如图

（1），?

－1xdx＝－A1＋A1＝0.

（2）如图

（2），?

0cosxdx＝A1－A2＋A3＝0.　　2π　　1　　1　　2π　　1　　3　　11　　（3）如图（3），∵A1＝A2，∴?

－1|x|dx＝2A1＝2×＝1.　　2（A1，A2，A3分别表示图中相应各处面积）　　　　探究点三定积分的性质　　思考1定积分的性质可作哪些推广？

答定积分的性质的推广　　①?

a[f1（x）±f2（x）±?

±fn（x）]dx＝?

af1（x）dx±?

af2（x）dx±?

±?

afn（x）dx；②?

c1af（x）dx＋?

c2c1f（x）dx＋?

＋?

cnf（x）dx（其中n∈N）．af（x）dx＝?

思考2如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？

　　bb*　　bbbb　　例3计算?

9－x－x）dx的值．－3（解如图，　　3　　2　　3　　定积分的几何意义得?

　　3　　3　　3　　－3　　2　　　　π×39π　　9－xdx＝＝，　　22　　2　　?

－3xdx＝0，定积分性质得　　9π3233233　　?

9－x－x）dx＝?

9－xdx－?

.　　－3（－3－3xdx＝　　2　　反思与感悟根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算．12315227425613　　跟踪训练3已知?

，?

，求：

0xdx＝，?

1xdx＝1xdx＝，?

2xdx＝4433

（1）?

03xdx；

（2）?

16xdx；（3）?

1（3x－2x）dx.解

（1）?

03xdx＝3?

0xdx＝3（?

0xdx＋?

1xdx）　　2　　3　　23　　13　　23　　2　　3　　4　　2　　2　　2　　3　　115　　＝3×（＋）＝12；　　44　　75642422242　　

（2）?

）＝126；16xdx＝6?

1xdx＝6（?

1xdx＋?

2xdx）＝6×（＋33（3）?

1（3x－2x）dx＝?

13xdx－?

12xdx　　7151512223＝3?

＝7－＝－.1xdx－2?

1xdx＝3×－2×3422☆课堂提高☆1．下列结论中成立的个数是（）　　2　　2　　3　　2　　2　　2　　3　　i31　　①?

xdx＝∑3·；i＝1nnn13　　0　　n②?

xdx＝lim∑n→∞i＝1　　n13　　0　　130　　?

i－1?

　　3　　n3　　1·；　　ni31　　③?

xdx＝lim∑3·.n→∞i＝1nnA．0B．1C．2D．3【答案】C　　　　2．当n很大时，函数f（x）＝x在区间?

（i＝1,2，?

，n）上的值可以用（）近似代替　　　　nn?

A.　　2　　?

1i?

i　　B．n?

　　C．?

　　D．　　n?

【答案】C　　【解析】f（x）＝x在区间?

上的值可以用区间?

上每一点对应的函数值近似代替，故选C.　　nnnn?

3．下列等式不成立的是（）A.B.C.D.　　2　　?

1i?

bab?

mf?

ng?

dx＝m?

af?

dx＋n?

ag?

dx?

dx＝?

af?

dx＋b－a　　bbaabbb?

ab?

dx＝?

dx?

dx　　a?

2π?

2πsinxdx＝?

2πsinxdx?

sinxdx　　02π【答案】C　　【解析】利用定积分的性质进行判断，选项C不成立．

　　　　　　例如　　?

10xdx?

1111111123，?

xdx?

，?

xdx?

，?

x3dx?

xdx?

x2dx.故选C.　　000002346　　6　　4．已知定积分?

0f（x）dx＝8，且f（x）为偶函数，则?

－6f（x）dx等于（）．A．0B．16C．12D．8【答案】B　　【解析】偶函数图象关于y轴对称，故?

－6f（x）dx＝2?

0f（x）dx＝16，故选B.5．已知　　26　　6　　?

edx?

1，?

02x1x21edx?

e，?

x2220228xdx?

，?

dx?

2ln2.求：

　　1x32

（1）　　?

x1?

；

（2）；（3）e?

dx.e?

3xdxedx?

0x?

x2【解析】

（1）

（2）　　?

20exdx?

exdx?

e2?

1.　　012x222x2000012?

e02x?

3x?

dx＝?

edx＋?

3x?

dx＝?

edx＋3?

x2dx＝e2－1＋8＝e2＋7.　　2（3）　　?

212122?

x1?

2xdx＝＋＝e－e＋ln2.e?

dxedx?

112xx?

2　　2　　6．利用定积分的定义计算?

1（－x＋2x）dx的值，并从几何意义上解释这个值表示什么．　　　　

（2）近似代替、求和　　取ξi＝1＋（i＝1,2，?

，n），则　　nii2i1　　Sn＝∑f（1＋）·Δx＝∑[－（1＋）＋2（1＋）]·i＝1i＝1nnnnnin122222　　＝－3[（n＋1）＋（n＋2）＋（n＋3）＋?

＋（2n）]＋2[（n＋1）＋（n＋2）＋（n＋3）＋?

＋2n]　　nn12n?

2n＋1?

4n＋1?

n＋1?

2n＋1?

2n?

n＋1＋2n?

＝－3[－]＋2·　　n66n21111111　　＝－（2＋）（4＋）＋（1＋）（2＋）＋3＋.　　　　3nn6nnn（3）取极限　　1111111222　　?

1（－x＋2x）dx＝limSn＝lim[－（2＋）（4＋）＋（1＋）（2＋）＋3＋]＝，n→∞n→∞3nn6nnn3　　222　　?

x＝2，y＝0与曲线f（x）＝－x2＋2x所围成的曲边梯形的面积．1（－x＋2x）dx＝的几何意义为直线x＝1，　　3

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