直线一般式方程选择性必修一.docx
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直线一般式方程选择性必修一
2.2.3直线的一般式方程
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习直线的一般式方程
直线的一般式方程是直线的点斜式，斜截式，两点式，截距式方程的综合表示形式，与前面学习的其他形式的直线方程的一个不同点是：
直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与x轴垂直的直线.通过研究直线方程的几种形式，指出它们都是关于x，y的二元一次方程，然后从两个方面进一步研究直线和二元一次方程的关系，使学生明确一个重要事实：
在平面直角坐标系中，任何一条直线的方，可以写成关于x，y的一元二次方程；反过来，任何一个关于x，y的一次方程都表示一条直线，为以后继续学习“曲线和方程”打下基础.
本节内容是本章的基础内容，也是本章的重点内容，对前面学习两直线位置关系的判定提供了必要的基础支持，也是后面要学习的两直线的交点、点到直线的距离、两平行线间的距离等知识的必需形式.大纲把教学目标定位在“掌握直线的一般方程”，属于较高层次的要求.本节课注重综合分析归纳，是高中数学教学的重要方面.
课程目标
学科素养
A.了解直线的一般式方程的形式特征，理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系；
2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化；
3.能运用直线的一般式方程解决有关问题.
1.数学抽象：
一般式方程与二元一次方程的关系
2.逻辑推理：
直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化
3.数学运算：
运用直线的一般式方程解决有关问题
4.直观想象：
直线与方程的关系
1.教学重点：
了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般形式
2.教学难点：
能根据所给条件求直线方程，并能在几种形式间相互转化
多媒体
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
一、问题导学
问题：
由下列各条件,写出直线的方程,并画出图形.
（1）斜率是1,经过点A（1,8）;
（2）在x轴和y轴上的截距分别是-7,7;
（3）经过两点P1（-1,6）,P2（2,9）;
（4）在y轴上的截距是7,倾斜角是45°.
（1）y-8=x-1;
（2）
=1;（3）
;（4）y=x+7.如果我们画出这4条
直线的图象,你会惊奇地发现:
这4条直线是重合的.事实上,它们的方程都可以化简为x-y+7=0.这样前几种直线方程就有了统一的形式,这就是本节我们要学习的直线的一般式方程.
同学们,根据前面我们学习的直线方程形式,分别利用点斜式、截距式、两点式和斜截式,可得到四种情况下的直线方程分别为
二、探究新知
1.直线的一般式方程
（1）．在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的_____________；任何关于x，y的二元一次方程都表示________．方程_____________________________________叫做直线方程的一般式．
二元一次方程;一条直线;Ax＋By＋C＝0（其中A、B不同时为0）
（2）．直线一般式方程的结构特征
①方程是关于x，y的二元一次方程．
②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y常数的先后顺序排列．
③x的系数一般不为分数和负数．
④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．
2.直线的一般式方程与其他形式的互化
1.在方程Ax+By+C=0（A,B不同时为零）中,A,B,C为何值时,方程表示的直线
（1）平行于x轴;
（2）平行于y轴;（3）与x轴重合;（4）与y轴重合.
答案:
当A=0时,方程变为y=-
当C≠0时表示的直线平行于x轴,当C=0时与x轴重合;当B=0时,方程变为x=-
当C≠0时表示的直线平行于y轴,当C=0时与y轴重合.
2.直线方程2x+3y+1=0化为斜截式为 ;
化为截距式为 .
解析:
方程化为3y=-2x-1,则y=-
x-
;
方程化为2x+3y=-1,得-2x-3y=1,即
=1.
答案:
y=-
x-
;
=1
3.两条直线的位置关系
3.判断下列两组直线是否平行或垂直:
（1）x+2y-7=0;2x+4y-7=0.
（2）4x-y+3=0,3x+12y-11=0.
解:
（1）∵1×4-2×2=0且2×（-7）-4×（-7）≠0,∴两直线平行.
（2）∵4×3+（-1）×12=0,∴两直线垂直.
三、典例解析
例1根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程.
（1）斜率是
且经过点A（5,3）;
（2）斜率为4,在y轴上的截距为-2;
（3）经过A（-1,5）,B（2,-1）两点;
（4）在x轴、y轴上的截距分别是-3,-1.
思路分析:
先选择合适的形式将直线方程写出来,再化为一般式.
解:
（1）由点斜式方程可知,所求直线方程为y-3=
（x-5）,化为一般式方程为
x-y+3-5
=0.
（2）由斜截式方程可知,所求直线方程为y=4x-2,
化为一般式方程为4x-y-2=0.
（3）由两点式方程可知,
所求直线方程为
化为一般式方程为2x+y-3=0.
（4）由截距式方程可得,所求直线方程为
=1,化为一般式方程为x+3y+3=0.
直线的一般式方程的特征
求直线方程时,要求将方程化为一般式方程,其形式一般作如下设定:
x的系数为正;系数及常数项一般不出现分数;一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列.
跟踪训练1根据下列各条件写出直线的方程,并化成一般式.
（1）斜率是-
经过点A（8,-2）;
（2）经过点B（4,2）,且平行于x轴;
（3）在x轴和y轴上的截距分别是
-3;
（4）经过两点P1（3,-2）,P2（5,-4）.
解:
（1）由点斜式方程,得y-（-2）=-
（x-8）,即x+2y-4=0.
（2）由点斜式方程,得y-2=0.
（3）由截距式方程,得
=1,即2x-y-3=0.
（4）由两点式方程,得
即x+y-1=0.
【例2】
（1）已知直线l1:
2x+（m+1）y+4=0与直线l2:
mx+3y-2=0平行,求实数m的值;
（2）已知直线l1:
（a+2）x+（1-a）y-1=0与直线l2:
（a-1）x+（2a+3）y+2=0垂直,求实数a的值.
思路分析:
利用在一般式方程下,两直线平行或垂直的条件求解.解:
（1）由2×3-m（m+1）=0,得m=-3或m=2.
当m=-3时,l1:
x-y+2=0,l2:
3x-3y+2=0,
显然l1与l2不重合,∴l1∥l2.
同理,当m=2时,l1:
2x+3y+4=0,l2:
2x+3y-2=0,l1与l2不重合,l1∥l2,
故m的值为2或-3.
（2）由直线l1⊥l2,得（a+2）（a-1）+（1-a）（2a+3）=0,解得a=±1.
故当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2.
延伸探究已知点A（2,2）和直线l:
3x+4y-20=0.
求:
（1）过点A和直线l平行的直线方程;
（2）过点A和直线l垂直的直线方程.
解:
（1）将与直线l平行的直线方程设为3x+4y+C1=0,
又过点A（2,2）,所以3×2+4×2+C1=0,所以C1=-14.
所求直线方程为3x+4y-14=0.
（2）将与l垂直的直线方程设为4x-3y+C2=0,
又过点A（2,2）,所以4×2-3×2+C2=0,所以C2=-2,
所以直线方程为4x-3y-2=0.
1．利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略
直线l1：
A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：
A2x＋B2y＋C2＝0，
（1）若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0（或A1C2－A2C1≠0）．
（2）若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
2．与已知直线平行（垂直）的直线方程的求法
（1）与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0（m≠C）．
（2）与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.
跟踪训练2已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求直线l'的方程,l'满足
（1）过点（-1,3）,且与l平行;
（2）过点（-1,3）,且与l垂直.
思路分析:
可先求斜率,再利用点斜式方程求解;也可利用平行、垂直直线系方程,利用待定系数法求解.
解:
（方法1）由题设l的方程可化为y=-
x+3,∴l的斜率为-
.
（1）∵直线l'与l平行,∴l'的斜率为-
.
又∵直线l'过（-1,3）,由点斜式知方程为y-3=-
（x+1）,即3x+4y-9=0.
（2）由l'与l垂直,∴l'的斜率为
又过（-1,3）,由点斜式可得方程为y-3=
（x+1）,即4x-3y+13=0.
（方法2）
（1）由l'与l平行,可设l'方程为3x+4y+m=0.
将点（-1,3）代入上式得m=-9.∴所求直线方程为3x+4y-9=0.
（2）由l'与l垂直,可设其方程为4x-3y+n=0.将（-1,3）代入上式得n=13.
∴所求直线方程为4x-3y+13=0.
金题典例
（1）设直线l的方程为（a－1）x＋y－2－a＝0（a∈R）．若直线l不过第三象限，则a的取值范围为________．
（2）设直线l的方程为2x＋（k－3）y－2k＋6＝0（k≠3），根据下列条件分别确定k的值：
①直线l的斜率为－1；
②直线l在x轴，y轴上的截距之和等于0.
解析：
（1）[1，＋∞）
把直线l化成斜截式，得y＝（1－a）x＋a＋2，因为直线l不过第三象限，该直线的斜率小于等于零，且直线在y轴上的截距大于等于零．
即解得a≥1.所以a的取值范围为[1，＋∞）．
（2）①因为直线l的斜率存在，
所以直线l的方程可化为y＝－x＋2.由题意得－＝－1，解得k＝5.
②直线l的方程可化为＋＝1.由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1.
变式探究：
1.典例
（1）中若将方程改为“x＋（a－1）y－2－a＝0（a∈R）”，其他条件不变，又如何求解？
[解]
（1）当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3，该直线不过第三象限，符合．
（2）当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝x－，因为直线l不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y轴上的截距大于等于零．
即解得a＞1.
由
（1）
（2）可知a≥1.
2．若典例
（1）中的方程不变，当a取何值时，直线不过第二象限？
[解] 把直线l化成斜截式，得y＝（1－a）x＋a＋2，因为直线l不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且直线在y轴上的截距小于等于零．即解得a≤－2.
直线恒过定点的求解策略
（1）将方程化为点斜式，求得定点的坐标.
（2）将方程变形，把x，y作为参数的系数，因为此式子对任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x，y的值，即为直线过的定点.
通过求解4个条件下的直线方程，体会不同直线方程的适用条件，及时提出问题，让学生体会学习直线方程一般式的必要性。
理解直线一般式的方程特点，能进行直线方程间的互化。
发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。
通过典型例题的分析和解决，让学生加深对直线一般式的理解和应用。
发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养。
通过典例解析，进一步灵活运用直线一般式，并能合理选择直线的方程形式，解决相关问题。
四、小结
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。
通过复习回顾已经学习过的四种直线方程的表示形式，找出其其局限性，思考是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？
学生探究“平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x、y的二元一次方程表示吗？
”引导学生分类讨论，使学生对直线方程的一般式有了更深入的理解。
通过小组合作自我探究，以及例题和练习题的讲解，深入理解直线方程几种形式之间的内在联系，能在整体上把握直线方程．本节课以学生为主体，围绕学生展开教学，在教学过程中，自始至终让学生唱主角，使学生变被动学习为主动学习，让学生成为学习的主人，教师成为学习的引路人。
大部分内容都是安排学生讨论，并适当增加练习，使学生能更好地掌握直线方程，而不是仅停留在观念上。
本课通过“创设情境，提出问题，激发兴趣→新知引入→新知探究→当堂反馈→归纳总结→课后作业”的过程从而完成教学目标。
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