条据书信 圆怎么证明垂直.docx
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条据书信圆怎么证明垂直
圆怎么证明垂直
关于圆的几何证明计算题的解题方法
经过圆心的弦是直径;
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧;
圆上任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫做半圆;
大于半圆弧的弧叫优弧,小于半圆弧的弧叫做劣弧;
由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。
(1)当两圆外离时,d>;R_+r;
(2)当两圆相外切时,d=R_+r;
(3)当两圆相交时,R_-rdR_+r(R≥r);
(4)当两圆内切时,d=R_-r(R>;r);
(4)当两圆内含时,dR_-r。
其中,d为圆心距,R、r分别是两圆的半径。
如何判定四点共圆,我们主要有以下几种方法:
(1)到一定点的距离相等的n个点在同一个圆上;
(2)同斜边的直角三角形的各顶点共圆;
(3)同底同侧相等角的三角形的各顶点共圆;
(4)如果一个四边形的一组对角互补,那么它的四个顶点共圆;
(5)如果四边形的一个外角等于它的内对角,那么它的四个顶点共圆;
(6)四边形ABCD的对角线相交于点P,若PA_xPC=PB_xPD,则它的四个顶点共圆;
(7)四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于点P,若
PA_xPB=PC_xPD,则它的四个顶点共圆。
1、作直径上的圆周角
当告诉了一条直径,一般通过作直径上的圆周角,利用直径所对的圆周角是直角这一
条件来证明问题.
2、作弦心距
当告诉圆心和弦,一般通过过圆心作弦的垂线,利用弦心距平分弦这一条件证明问题.
3、过切点作半径
当含有切线这一条件时,一般通过把圆心和切点连起来,利用切线与半径垂直这一性
质来证明问题.
4、作直径
当已知条件含有直角,往往通过过圆上一点作直径,利用直径所对的圆周角为直角这
一性质来证明问题.
5、作公切线
当已知条件中含两圆相切这一条件,往往通过过这个切点作两圆的公切线,通过公切
线找到两圆之间的关系.
6、作公共弦
当含有两圆相交这一条件时,一般通过作两圆的公共弦,由两圆的弦之间的关系,找
出两圆的角之间的关系.
7、作两圆的连心线
若已知中告诉两圆相交或相切,一般通过作两圆的连心线,利用两相交圆的连心线垂直
平分公共弦或;两相切圆的连心线必过切点来证明问题.
8、作圆的切线
若题中告诉了我们半径,往往通过过半径的外端作圆的切线,利用半径与切线垂直或利
用弦切角定理来证明问题.
9、一圆过另一圆的圆心时则作半径
题中告诉两个圆相交,其中一个圆过另一个圆的圆心,往往除了通过作两圆的公共弦外,
还可以通过作圆的半径,利用同圆的半径相等来证明问题.
10、作辅助圆
当题中涉及到圆的切线问题(无论是计算还是证明)时,通常需要作辅助线。
一般地,
有以下几种添加辅助线的作法:
(1)已知一直线是圆的切线时,通常连结圆心和切点,使这条半径垂直于切线.
(2)若已知直线经过圆上的某一点,需要证明某条直线是圆的切线时,往往需要作出经
过这一点的半径,证明直线垂直于这条半径,简记为“连半径,证垂直”;若直线与圆的公
共点没有确定,则需要过圆心作直线的垂线,得到垂线段,再通过证明这条垂线段的长等
于半径,来证明某条直线是圆的切线.简记为“作垂直,证半径”.篇二:
《圆的证明与计算(精编版)》
《圆的证明与计算》专题讲解
圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题,此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响,所以解决好此题比较关键。
圆的有关证明
一、圆中的重要定理:
(1)圆的定义:
主要是用来证明四点共圆.
(2)垂径定理:
主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.
(3)三者之间的关系定理:
主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.
(4)圆周角性质定理及其推轮:
主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.
(5)切线的性质定理:
主要是用来证明——垂直关系.
(6)切线的判定定理:
主要是用来证明直线是圆的切线.
(7)切线长定理:
线段相等、垂直关系、角相等.
2.圆中几个关键元素之间的相互转化:
弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.
二、考题形式分析:
主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线;第2问主要是与圆有关的计算:
①求线段长(或面积);②求线段比;③求角度的三角函数值(实质还是求线段比)。
知识点一:
判定切线的方法:
(1)若切点明确,则“连半径,证垂直”。
常见手法有:
全等转化;平行转化;直径转化;中线转化等;有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直;
(2)若切点不明确,则“作垂直,证半径”。
常见手法:
角平分线定理;等腰三角形三线合一,隐藏角平分线;
总而言之,要完成两个层次的证明:
①直线所垂直的是圆的半径(过圆上一点);②直线与半径的关系是互相垂直。
在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例:
方法一:
若直线l过⊙O上某一点A,证明l是⊙O的切线,只需连OA,证明OA⊥l就行了,简称“连半径,证垂直”,难点在于如何证明两线垂直.
例1如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于D,交AC于E,B为切点的切线交OD延长线于F.
求证:
EF与⊙O相切.
例2如图,AD是∠BAC的平分线,P为BC延长线上一点,且PA=PD.
求证:
PA与⊙O相切.
证明一:
作直径AE,连结EC.
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠DAB=∠DAC.
∵PA=PD,
∴∠2=∠1+∠DAC.
∵∠2=∠B+∠DAB,
∴∠1=∠B.
又∵∠B=∠E,
∴∠1=∠E
∵AE是⊙O的直径,
∴AC⊥EC,∠E+∠EAC=900.
∴∠1+∠EAC=900.
即OA⊥PA.
∴PA与⊙O相切.
证明二:
延长AD交⊙O于E,连结OA,OE.
∵AD是∠BAC的平分线,
⌒,⌒∴BE=CE
∴OE⊥BC.
∴∠E+∠BDE=900.
∵OA=OE,
∴∠E=∠1.
∵PA=PD,
∴∠PAD=∠PDA.
又∵∠PDA=∠BDE,
∴∠1+∠PAD=900
即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切
说明:
此题是通过证明两角互余,证明垂直的,解题中要注意知识的综合运用
.
例3如图,AB=AC,AB是⊙O的直径,⊙O交BC于D,DM⊥AC于M
求证:
DM与⊙O相切.
例4如图,已知:
AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,且∠CAB=300,BD=OB,D在AB的延长线上.
求证:
DC是⊙O的切线
例5如图,AB是⊙O的直径,CD⊥AB,且OA2=OD·OP.
求证:
PC是⊙O的切线.
例6如图,ABCD是正方形,G是BC延长线上一点,AG交BD于E,交CD于F.求证:
CE与△CFG的外接圆相切.
分析:
此题图上没有画出△CFG的外接圆,但△CFG是直角三角形,圆心在斜边FG的中点,为此我们取FG的中点O,连结OC,证明CE⊥OC即可得解.
证明:
取FG中点O,连结OC.
∵ABCD是正方形,
∴BC⊥CD,△CFG是Rt△
∵O是FG的中点,
∴O是Rt△CFG的外心.
∵OC=OG,
∴∠3=∠G,
∵AD∥BC,
∴∠G=∠4.
∵AD=CD,DE=DE,
∠ADE=∠CDE=450,
∴△ADE≌△CDE(SAS)
∵∠2+∠3=900,∴∠1+∠2=900.即CE⊥OC.∴∠4=∠1,∠1=∠3.
∴CE与△CFG的外接圆相切
方法二:
若直线l与⊙O没有已知的公共点,又要证明l是⊙O的切线,只需作OA⊥l,A为垂足,证明OA是⊙O的半径就行了,简称:
“作垂直;证半径”(一般用于函数与几何综合题)
例1:
如图,AB=AC,D为BC中点,⊙D与AB切于E点.
求证:
AC与⊙D相切.
分析:
说明:
证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的,证明二
是利用角平分线的性质证明DF=DE的,这类习题多数与角平分线有
关.{圆怎么证明垂直}.
例2:
已知:
如图,AC,BD与⊙O切于A、B,且AC∥BD,若∠COD=900.求证:
CD是⊙O的切线.
证明一:
连结OA,OB,作OE⊥CD,E为垂足.
∵AC,BD与⊙O相切,∴AC⊥OA,BD⊥OB.∵AC∥BD,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800.
∵∠COD=900,
∴∠2+∠3=900,∠1+∠4=900.∵∠4+∠5=900.∴∠1=∠5.∴Rt△AOC∽Rt△BDO.∴ACOC.OBODACOC.OAOD∵OA=OB,∴
又∵∠CAO=∠COD=900,
∴△AOC∽△ODC,
∴∠1=∠2.又∵OA⊥AC,OE⊥CD,∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线.
证明二:
连结OA,OB,作OE⊥CD于E,延长DO交CA延长线于F.
∵AC,BD与⊙O相切,∴AC⊥OA,BD⊥OB.∵AC∥BD,∴∠F=∠BDO.又∵OA=OB,∴△AOF≌△BOD(AAS)篇三:
《如何证明圆的切线》
圆的切线证明专题
知识梳理:
切线的性质定理:
圆的切线垂直于经过切点的半径;
切线的性质定理的推论1:
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;切线的性质定理的推论2:
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心;
切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
证明直线是圆的切线,通常有的以下几种方法:
一、要证明某直线是圆的切线,如果已知直线过圆上的某一个点,那么作出过这一点的半径,证明直线垂直于半径.
【例1】如图1,已知AB为⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在圆上,∠CAB=30º.求证:
DC是⊙O的切线.
【例2】如图2,已知AB为⊙O的直径,过点B作⊙O的切线BC,连接OC,弦AD∥OC.求证:
CD是⊙O的切线.
图1
图2
二、如果直线与圆的公共点没有确定,则应过圆心作直线的垂线,证明圆心到这条直线的距离等于半径.
例3.如图,已知两个同心圆O中,大圆的弦AB、CD相等,且AB与小圆相切于点E,求证:
CD是小圆的切线。
例4.如图,已知在△ABC中,CD是AB上的高,且CD=1/2AB,E、F分别是AC、BC的中点,求证:
以EF为直径的⊙O与AB相切。
三、已知直线与圆的公共点时只需连接该公共点和圆心,证明该半径垂直于已知直线
【例5】如图1,B、C是⊙O上的点,线段AB经过圆心O,连接AC、BC,过点C作CD⊥AB于D,∠ACD=2∠B.AC是⊙O的切线吗?
为什么?
篇四:
《证明两直线垂直的方法》
证明两直线垂直的方法
1.矩形四个内角
2.三角形中的两角之和为90°,则另一角必为直角
3.证明两直线中的一条是等腰三角形的底边,另一边是顶角平分线或底边上的中线
4.勾股定理逆定理
5.圆直径所对的圆周角
6.垂径定理的判定
7.利用菱形的对角线互相垂直
8.利用正方形的对角线互相垂直
9.圆的切线垂直于过切点的半径
10.证这两直线中的一直线与第三直线平行,另一直线与第三直线垂直;或证明这两直线各与已知的两垂线平行
11.相交两圆的连心线垂直平分公共弦
12.轴对称那类的图形,对应点垂直于轴
13.到线段两边距离相等的点在这个线段的中垂线上
14.如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形
15.与直角三角形相似的三角形对应角是直角
16.与直角三角形全等的三角形对应角是直角
17.利用邻角相等:
两直线相交所成的两个邻角相等,可确定两直线垂直
18.点到直线最短的线段
19.45圆周角所对的圆心角
20.等边三角形中,任一顶点与内心所在直线垂直于底边
21.利用已知的直角或其余角:
证两直线的夹角等于已知的直角,或证明两直线的夹角是两锐角互余的三角形的第三角
22.矩形中位线垂直他所在的两边
23.利用反证法、同一法
24.平面直角坐标系x、y轴垂直篇五:
《已知:
如图是圆的直径,垂直圆所在的平面,是圆上任一点,求证:
平面.》
一、整体解读
试卷紧扣教材和考试说明,从考生熟悉的基础知识入手,多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力,立足基础,先易后难,难易适中,强调应用,不偏不怪,达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。
试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内,几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容,体现了“重点知识重点考查”的原则。
1.回归教材,注重基础
试卷遵循了考查基础知识为主体的原则,尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及,其中应用题与抗战胜利70周年为背景,把爱国主义教育渗透到试题当中,使学生感受到了数学的育才价值,所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际,操作性强。
2.适当设置题目难度与区分度
选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题,都是综合性问题,难度较大,学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力,以及扎实深厚的数学基本功,而且还要掌握必须的数学思想与方法,否则在有限的时间内,很难完成。
3.布局合理,考查全面,着重数学方法和数学思想的考察
在选择题,填空题,解答题和三选一问题中,试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。
包括函数,三角函数,数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。
这些问题都是以知识为载体,立意于能力,让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。
篇六:
《圆的证明和计算》
圆的证明和计算(有切线型)
圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题,一般出现在第22题,此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响,所以解决好此题比较关键。
一、考点聚焦:
主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线;第2问主要是与圆有关的计算:
①求线段长②求面积③求线段比„
二、回顾圆的证明、计算题中常用的几个重要定理(学生提前完成)1.垂径定理定理及其推论:
①垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。
②平分弦()的直径于弦,并且弦所对的两条。
③弦的垂直平分线过,且弦对的两条弧。
④平分一条弦所对的两条弧的直线过,且和此弦。
⑤平行弦夹的弧。
2.切线的判定定理、性质定理、切线长定理:
(1)切线的判定:
①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
②到圆心的距离
等于圆的半径的直线是圆的切线。
(2)切线的性质:
①圆的切线垂直于过切点的半径。
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点。
③经过切点作切线的垂线经过圆心。
(3)切线长:
从圆外一点作圆的切线,这一点和切点之间的线段的长度叫做切线。
(4)切线长定理:
从圆外一点作圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
三、基础练习:
1、如图,直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,求证:
直线AB是⊙O的切线。
1AB
2、如图,直线AB是⊙O的直径,C是AB延长线上的一点,且BC=2,∠PCA=30°,
试判断⊙O与直线CP的位置关系,并证明你的结论。
方法总结:
(1)若切点明确,则“连半径,证垂直”。
(2)若切点不明确,则“作垂直,证半径”。
四、典型基本图型例析:
已知:
AB是⊙O的直径,点E、C是⊙O上的两点,AC平分∠BAE;AD⊥CD;基本结论有:
(1)如图1,证明:
DC是⊙O的切线。
(2)如图2,证明DC=OF;如图3,证明DE=CF。
(3)如图4:
若CK⊥AB于K,证明:
①CK=CD=
A
1
BE;②BK=DE;③AE+AB=2AK=2AD。
2D
A
A
A
图3图4图1图2
总结:
计算圆中的线段长或线段比,通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等
等知识的结合,形式复杂,无规律性。
分析时要重点注意观察已知线段间的关系,选择定理进行线段或者角度的转化。
特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化,找出所求线段与已知线段的关系,从而化未知为已知,解决问题。
其中重要而常见的数学思想方法有:
(1)构造思想:
如:
①构建矩形转化线段;②构造垂径定理模型:
弦长一半、弦心距、半径;③构造勾股定理模型。
(
2)方程思想:
设出未知数表示关键线段,通过线段之间的关系,特别是发现其中的相等关系建立方程,解决问题。
五、典型例题讲解:
如图,已知Rt△ABC,∠BCA=90°,以AB边上一点O为圆心,以OB为半径作⊙O交BC
于
点E;交AB于点F,弧EF的中点D在AC上,
(1)证明:
AC与⊙O相切;
(2)若CE=1,CD=2,求⊙O的半径;
BE3BC
,求的值。
(改编自xx年中考题);BF5DO
BE
(4)延长FD交BC的延长线于G点,若DG=6,BF=10,求的值。
(改编自xx年中
DE
(3)若
考题);
(5)过点D作DG垂直平分OF,G为垂足,作直径DK,连接KE,若EC=2,求⊿EBK的面
积。
题1、2题3题5
题
4
作业:
以下问题都是由基本图型变形而来,请同学们好好体会。
图形变式1:
如图5:
AB是⊙O的直径,点E、C是⊙O上的两点,AC平分∠BAE;AD⊥CD;BG⊥CD于E时(如图5),基本结论有:
证明:
①DE=GB;
A②DC=CG;③AD+BG=AB;图5
图形变式2:
如图6已知,AB是⊙O的直径,C是BGCD⊥AB于D,BG交CD、AC于E、F。
基本结论有:
证明:
①CD=
1
BG;BE=EF=CE;GF=2DE2
1
②OE=AF,OE∥AC;即OE是△ABF的中位线
2
③若D是OB的中点,则:
⊿CEF是等边三角形
图6
图形变式3:
如图7:
Rt⊿ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC于D,
DE切⊙O于点D交CB于点E。
基本结论有:
证明:
①DE=BE=CE;即E是CB中点。
A②∠CED=2∠A
图形变式4:
如图8,⊿ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O,交BC于点D,交AC于点F,DE⊥AC基本结论有:
证明:
①DE切⊙O;{圆怎么证明垂直}.
②⊿DFC是等腰三角形;③EF=EC;
A
③D是BF的中点,得AD是∠BAC的角平分线。
图
B篇七:
《圆的证明与计算》
圆的证明与计算
1.如图,等腰三角形ABC中,AB=AC=15,BC=12,以顶点A为圆心,
AB、AC于点D、E,求弦DE的弦心距。
1AB的长为半径的圆A分别交2
2.如图,圆O过正方形的四个顶点,AB=10,则弦AB与AmB组成的图形的面积是{圆怎么证明垂直}.
________
m
3.如图,在三角形ABC中,C90,A30,O为AB上一点,BOm,圆O的半径r=
当m在什么范围变化时,BC边所在的直线与圆O相离,相切,相交?
1m,问2
4.如图,已知sinABC=1,圆O的半径为2,圆O与射线AB相交于E、F两点,
EF=3
(1)求BO的长;
(2)点P在直线BC上,以P为圆心作圆,使得圆P同时与圆O和射线AB相切,求所有满足条
件的圆P的半径。
第1页共4页AO
C
5.如图,线段MN交圆O于A、B两点,OM=ON,求证:
MA=NB。
ON
6.如图,AB是圆O的直径,CD是弦,AECD于E,BFCD于F,AB=26,CD=24,则AE-BF=____
E
D
7.如图,延长圆内接四边形ABCD的边AB、DC相交于点E,AD、BC的延长线交于点F,若
E=50,F30,则A=________
O
EF
8.如图,四边形ABCD中,A=90
,,BC=8,CD=6
内容仅供参考