条据书信 圆怎么证明垂直.docx
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条据书信圆怎么证明垂直
圆怎么证明垂直
关于圆的几何证明计算题的解题方法
经过圆心的弦是直径；
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；
圆上任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆；
大于半圆弧的弧叫优弧，小于半圆弧的弧叫做劣弧；
由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。
（1）当两圆外离时，d>;R_+r；
（2）当两圆相外切时，d=R_+r；
（3）当两圆相交时，R_-rdR_+r（R≥r）；
（4）当两圆内切时，d=R_-r（R>;r）；
（4）当两圆内含时，dR_-r。
其中，d为圆心距，R、r分别是两圆的半径。
如何判定四点共圆，我们主要有以下几种方法：
（1）到一定点的距离相等的n个点在同一个圆上；
（2）同斜边的直角三角形的各顶点共圆；
（3）同底同侧相等角的三角形的各顶点共圆；
（4）如果一个四边形的一组对角互补，那么它的四个顶点共圆；
（5）如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆；
（6）四边形ABCD的对角线相交于点P，若PA_xPC=PB_xPD，则它的四个顶点共圆；
（7）四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于点P，若
PA_xPB=PC_xPD，则它的四个顶点共圆。
1、作直径上的圆周角
当告诉了一条直径，一般通过作直径上的圆周角，利用直径所对的圆周角是直角这一
条件来证明问题.
2、作弦心距
当告诉圆心和弦，一般通过过圆心作弦的垂线，利用弦心距平分弦这一条件证明问题.
3、过切点作半径
当含有切线这一条件时，一般通过把圆心和切点连起来，利用切线与半径垂直这一性
质来证明问题.
4、作直径
当已知条件含有直角，往往通过过圆上一点作直径，利用直径所对的圆周角为直角这
一性质来证明问题.
5、作公切线
当已知条件中含两圆相切这一条件，往往通过过这个切点作两圆的公切线，通过公切
线找到两圆之间的关系.
6、作公共弦
当含有两圆相交这一条件时，一般通过作两圆的公共弦，由两圆的弦之间的关系，找
出两圆的角之间的关系.
7、作两圆的连心线
若已知中告诉两圆相交或相切，一般通过作两圆的连心线，利用两相交圆的连心线垂直
平分公共弦或；两相切圆的连心线必过切点来证明问题.
8、作圆的切线
若题中告诉了我们半径，往往通过过半径的外端作圆的切线，利用半径与切线垂直或利
用弦切角定理来证明问题.
9、一圆过另一圆的圆心时则作半径
题中告诉两个圆相交，其中一个圆过另一个圆的圆心，往往除了通过作两圆的公共弦外，
还可以通过作圆的半径，利用同圆的半径相等来证明问题.
10、作辅助圆
当题中涉及到圆的切线问题（无论是计算还是证明）时，通常需要作辅助线。
一般地，
有以下几种添加辅助线的作法：
（1）已知一直线是圆的切线时，通常连结圆心和切点，使这条半径垂直于切线.
（2）若已知直线经过圆上的某一点，需要证明某条直线是圆的切线时，往往需要作出经
过这一点的半径，证明直线垂直于这条半径，简记为“连半径，证垂直”；若直线与圆的公
共点没有确定，则需要过圆心作直线的垂线，得到垂线段，再通过证明这条垂线段的长等
于半径，来证明某条直线是圆的切线.简记为“作垂直，证半径”.篇二:
《圆的证明与计算（精编版）》
《圆的证明与计算》专题讲解
圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。
圆的有关证明
一、圆中的重要定理:
（1）圆的定义:
主要是用来证明四点共圆.
（2）垂径定理:
主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.
（3）三者之间的关系定理:
主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.
（4）圆周角性质定理及其推轮:
主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.
（5）切线的性质定理:
主要是用来证明——垂直关系.
（6）切线的判定定理:
主要是用来证明直线是圆的切线.
（7）切线长定理:
线段相等、垂直关系、角相等.
2.圆中几个关键元素之间的相互转化:
弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.
二、考题形式分析：
主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：
①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。
知识点一：
判定切线的方法：
（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。
常见手法有：
全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；
（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。
常见手法：
角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；
总而言之，要完成两个层次的证明：
①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。
在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：
方法一：
若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.
例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.
求证：
EF与⊙O相切.
例2如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.
求证：
PA与⊙O相切.
证明一：
作直径AE，连结EC.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB=∠DAC.
∵PA=PD，
∴∠2=∠1+∠DAC.
∵∠2=∠B+∠DAB，
∴∠1=∠B.
又∵∠B=∠E，
∴∠1=∠E
∵AE是⊙O的直径，
∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.
∴∠1+∠EAC=900.
即OA⊥PA.
∴PA与⊙O相切.
证明二：
延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.
∵AD是∠BAC的平分线，
⌒，⌒∴BE=CE
∴OE⊥BC.
∴∠E+∠BDE=900.
∵OA=OE，
∴∠E=∠1.
∵PA=PD，
∴∠PAD=∠PDA.
又∵∠PDA=∠BDE,
∴∠1+∠PAD=900
即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切
说明：
此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用
.
例3如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M
求证：
DM与⊙O相切.
例4如图，已知：
AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.
求证：
DC是⊙O的切线
例5如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.
求证：
PC是⊙O的切线.
例6如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：
CE与△CFG的外接圆相切.
分析：
此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CE⊥OC即可得解.
证明：
取FG中点O，连结OC.
∵ABCD是正方形，
∴BC⊥CD，△CFG是Rt△
∵O是FG的中点，
∴O是Rt△CFG的外心.
∵OC=OG，
∴∠3=∠G，
∵AD∥BC，
∴∠G=∠4.
∵AD=CD，DE=DE，
∠ADE=∠CDE=450，
∴△ADE≌△CDE（SAS）
∵∠2+∠3=900,∴∠1+∠2=900.即CE⊥OC.∴∠4=∠1，∠1=∠3.
∴CE与△CFG的外接圆相切
方法二：
若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：
“作垂直；证半径”（一般用于函数与几何综合题）
例1：
如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.
求证：
AC与⊙D相切.
分析：
说明：
证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二
是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有
关.{圆怎么证明垂直}.
例2：
已知：
如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900.求证：
CD是⊙O的切线.
证明一：
连结OA，OB，作OE⊥CD，E为垂足.
∵AC，BD与⊙O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB.∵AC∥BD，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800.
∵∠COD=900，
∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900.∵∠4+∠5=900.∴∠1=∠5.∴Rt△AOC∽Rt△BDO.∴ACOC.OBODACOC.OAOD∵OA=OB，∴
又∵∠CAO=∠COD=900，
∴△AOC∽△ODC，
∴∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD,∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线.
证明二：
连结OA，OB，作OE⊥CD于E，延长DO交CA延长线于F.
∵AC，BD与⊙O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB.∵AC∥BD，∴∠F=∠BDO.又∵OA=OB，∴△AOF≌△BOD（AAS）篇三:
《如何证明圆的切线》
圆的切线证明专题
知识梳理：
切线的性质定理：
圆的切线垂直于经过切点的半径；
切线的性质定理的推论１:
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；切线的性质定理的推论２:
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；
切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
证明直线是圆的切线，通常有的以下几种方法：
一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．
【例1】如图1，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30º．求证：
DC是⊙O的切线．
【例2】如图2，已知AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，连接OC，弦AD∥OC．求证：
CD是⊙O的切线．
图1
图2
二、如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径．
例3.如图，已知两个同心圆O中，大圆的弦AB、CD相等，且AB与小圆相切于点E，求证：
CD是小圆的切线。
例4.如图，已知在△ABC中，CD是AB上的高，且CD=1/2AB，E、F分别是AC、BC的中点，求证：
以EF为直径的⊙O与AB相切。
三、已知直线与圆的公共点时只需连接该公共点和圆心，证明该半径垂直于已知直线
【例5】如图1，B、C是⊙O上的点，线段AB经过圆心O，连接AC、BC，过点C作CD⊥AB于D，∠ACD=2∠B．AC是⊙O的切线吗？
为什么？
篇四:
《证明两直线垂直的方法》
证明两直线垂直的方法
1.矩形四个内角
2.三角形中的两角之和为90°，则另一角必为直角
3.证明两直线中的一条是等腰三角形的底边，另一边是顶角平分线或底边上的中线
4.勾股定理逆定理
5.圆直径所对的圆周角
6.垂径定理的判定
7.利用菱形的对角线互相垂直
8.利用正方形的对角线互相垂直
9.圆的切线垂直于过切点的半径
10.证这两直线中的一直线与第三直线平行，另一直线与第三直线垂直；或证明这两直线各与已知的两垂线平行
11.相交两圆的连心线垂直平分公共弦
12.轴对称那类的图形，对应点垂直于轴
13.到线段两边距离相等的点在这个线段的中垂线上
14.如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
15.与直角三角形相似的三角形对应角是直角
16.与直角三角形全等的三角形对应角是直角
17.利用邻角相等：
两直线相交所成的两个邻角相等，可确定两直线垂直
18.点到直线最短的线段
19.45圆周角所对的圆心角
20.等边三角形中，任一顶点与内心所在直线垂直于底边
21.利用已知的直角或其余角：
证两直线的夹角等于已知的直角，或证明两直线的夹角是两锐角互余的三角形的第三角
22.矩形中位线垂直他所在的两边
23.利用反证法、同一法
24.平面直角坐标系x、y轴垂直篇五:
《已知：
如图是圆的直径,垂直圆所在的平面,是圆上任一点,求证：
平面.》
一、整体解读
试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。
试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。
1．回归教材，注重基础
试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。
2．适当设置题目难度与区分度
选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。
3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察
在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。
包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。
这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。
篇六:
《圆的证明和计算》
圆的证明和计算（有切线型）
圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，一般出现在第22题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。
一、考点聚焦：
主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：
①求线段长②求面积③求线段比„
二、回顾圆的证明、计算题中常用的几个重要定理（学生提前完成）1.垂径定理定理及其推论：
①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
②平分弦（）的直径于弦，并且弦所对的两条。
③弦的垂直平分线过，且弦对的两条弧。
④平分一条弦所对的两条弧的直线过，且和此弦。
⑤平行弦夹的弧。
2.切线的判定定理、性质定理、切线长定理：
（1）切线的判定：
①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
②到圆心的距离
等于圆的半径的直线是圆的切线。
（2）切线的性质：
①圆的切线垂直于过切点的半径。
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点。
③经过切点作切线的垂线经过圆心。
（3）切线长：
从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线。
（4）切线长定理：
从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
三、基础练习：
1、如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，求证：
直线AB是⊙O的切线。
1AB
2、如图，直线AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，且BC=2，∠PCA=30°，
试判断⊙O与直线CP的位置关系，并证明你的结论。
方法总结：
（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。
（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。
四、典型基本图型例析：
已知：
AB是⊙O的直径，点E、C是⊙O上的两点，AC平分∠BAE；AD⊥CD；基本结论有：
（1）如图1，证明：
DC是⊙O的切线。
（2）如图2，证明DC=OF；如图3，证明DE=CF。
（3）如图4：
若CK⊥AB于K，证明：
①CK=CD=
A
1
BE；②BK=DE；③AE+AB=2AK=2AD。
2D
A
A
A
图3图4图1图2
总结：
计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等
等知识的结合，形式复杂，无规律性。
分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。
特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。
其中重要而常见的数学思想方法有：
（1）构造思想：
如：
①构建矩形转化线段；②构造垂径定理模型：
弦长一半、弦心距、半径；③构造勾股定理模型。
（
2）方程思想：
设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。
五、典型例题讲解：
如图，已知Rt△ABC，∠BCA=90°，以AB边上一点O为圆心，以OB为半径作⊙O交BC
于
点E；交AB于点F，弧EF的中点D在AC上，
（1）证明：
AC与⊙O相切；
（2）若CE=1，CD=2，求⊙O的半径；
BE3BC
，求的值。
（改编自xx年中考题）；BF5DO
BE
（4）延长FD交BC的延长线于G点，若DG=6，BF=10，求的值。
（改编自xx年中
DE
（3）若
考题）；
（5）过点D作DG垂直平分OF，G为垂足，作直径DK，连接KE，若EC=2，求⊿EBK的面
积。
题1、2题3题5
题
4
作业：
以下问题都是由基本图型变形而来，请同学们好好体会。
图形变式1：
如图5：
AB是⊙O的直径，点E、C是⊙O上的两点，AC平分∠BAE；AD⊥CD；BG⊥CD于E时（如图5），基本结论有：
证明：
①DE=GB；
A②DC=CG；③AD+BG=AB；图5
图形变式2：
如图6已知，AB是⊙O的直径，C是BGCD⊥AB于D，BG交CD、AC于E、F。
基本结论有：
证明：
①CD=
1
BG；BE=EF=CE；GF=2DE2
1
②OE=AF，OE∥AC；即OE是△ABF的中位线
2
③若D是OB的中点，则：
⊿CEF是等边三角形
图6
图形变式3：
如图7：
Rt⊿ABC中，∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC于D，
DE切⊙O于点D交CB于点E。
基本结论有：
证明：
①DE=BE=CE；即E是CB中点。
A②∠CED=2∠A
图形变式4：
如图8，⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点F，DE⊥AC基本结论有：
证明：
①DE切⊙O；{圆怎么证明垂直}.
②⊿DFC是等腰三角形；③EF=EC；
A
③D是BF的中点，得AD是∠BAC的角平分线。
图
B篇七:
《圆的证明与计算》
圆的证明与计算
1.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC=15，BC=12，以顶点A为圆心，
AB、AC于点D、E，求弦DE的弦心距。
1AB的长为半径的圆A分别交2
2.如图，圆O过正方形的四个顶点，AB=10，则弦AB与AmB组成的图形的面积是{圆怎么证明垂直}.
________
m
3.如图，在三角形ABC中，C90,A30,O为AB上一点，BOm，圆O的半径r=
当m在什么范围变化时，BC边所在的直线与圆O相离，相切，相交？
1m，问2
4.如图，已知sinABC=1，圆O的半径为2，圆O与射线AB相交于E、F两点，
EF=3
（1）求BO的长；
（2）点P在直线BC上，以P为圆心作圆，使得圆P同时与圆O和射线AB相切，求所有满足条
件的圆P的半径。
第1页共4页AO
C
5.如图，线段MN交圆O于A、B两点，OM=ON，求证：
MA=NB。
ON
6.如图，AB是圆O的直径，CD是弦，AECD于E，BFCD于F，AB=26，CD=24，则AE－BF=____
E
D
7.如图，延长圆内接四边形ABCD的边AB、DC相交于点E，AD、BC的延长线交于点F，若
E=50，F30,则A=________
O
EF
8.如图，四边形ABCD中，A=90
，,BC=8，CD=6
内容仅供参考
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