数学人教版九年级上册2222 图象法求一元二次方程的近似根 同步训练解析版.docx
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数学人教版九年级上册2222图象法求一元二次方程的近似根同步训练解析版
2019-2019学年数学人教版九年级上册22.2.2图象法求一元二次方程的近似根同步训练
一、选择题
1.（2分）根据下列表格对应值：
x
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
-0.02
0.01
0.03
判断关于x的方程ax2+bx+c=0
的一个解x的范围是（ ）
A. x＜3.24
B. 3.24＜x＜3.25
C. 3.25＜x＜3.26
D. 3.25＜x＜3.28
【答案】B
【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】由图表可知||，ax2+bx+c=0时||，3.24＜x＜3.25．故答案为：
B．
【分析】根据表中数据得到x=3.24时||，ax2+bx+c=-0.02＜0||；x=3.25时||，ax2+bx+c=0.01＞0||，于是可判断x在3.24和3.25之间取某一值时||，ax2+bx+c=0||，由此得到方程ax2+bx+c=0（x≠0）的一个解x的范围。
2.（2分）已知二次函数
的对称轴是直线x=﹣1及部分图像（如图所示）||，由图像可知关于x的一元二次方程
的两个根分别是
和
（ ）
A.﹣1.3
B.﹣2.3
C.﹣3.3
D.﹣4.3
【答案】C
【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】根据二次函数的图象和性质进行求解.
由于函数关于对称轴对称||，方程一根为1.3可知另一根－1－x2＝1.3－（－1）||，∴x2＝－3.3.
故答案为：
C．
【分析】根据二次函数的图象和性质||，结合对称轴x=
||，代入进行求解。
3.（2分）二次函数
的图象如图所示．当y＜0时||，自变量x的取值范围是（ ）．
A. －1＜x＜3
B. x＜－1
C. x＞3
D. x＜－1或x＞3
【答案】A
【考点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】由图可知图象与x轴的交点是（-1||，0）、（3||，0）||，当y＜0时||，函数图像位于x轴的下方||，此时自变量x的取值范围是:
－1＜x＜3.故答案为：
A
【分析】观察图像可以得出：
当y＜0时||，函数图像位于x轴的下方||，就可写出此时自变量x的取值范围。
4.（2分）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象||，由图象可知不等式ax2+bx+c>0的解集是（ ）.
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【考点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】由图象得：
对称轴是x=2||，其中一个点的坐标为（5||，0）||，
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（-1||，0）.
利用图象可知：
ax2+bx+c＞0的解集即是y＞0是x的取值范围||，
∴-1＜x＜5.
故答案为：
A.
【分析】观察函数图像||，可得出对称轴是x=2||，其中一个点的坐标为（5||，0）||，利用二次函数的对称轴可出抛物线与x轴的另一个交点坐标||，要使y＞0||，就是观察x轴上方部分的图像||，可得出答案。
5.（2分）小明利用二次函数的图象估计方程x2－2x－2＝0的近似解||，如表是小明探究过程中的一些计算数据．根据表中数据可知||，方程x2－2x－2＝0必有一个实数根在（ ）
x
1.5
2
2.5
3
3.5
x2－2x－2
－2.75
－2
－0.75
1
3.25
A.1.5和2之间
B.2和2.5之间
C.2.5和3之间
D.3和3.5之间
【答案】C
【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】由表格得：
2.5＜x＜3时||，-0.75＜y＜1||，二次函数y=x2－2x－2与x轴必有一个交点在2.5到3之间||，所以x2－2x－2＝0必有一个实数根在2.5到3之间.故答案为：
C
【分析】观察表中的x、y的对应值||，主要观察0在相对应的哪两个y的值之间||，那么就可得出近似根就在这两个y对应的x值之间。
6.（2分）根据抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标||，可以求出下列方程中哪个方程的近似解（）
A.x2＋3x－1＝0
B.x2＋3x＋1＝0
C.3x2＋x－1＝0
D.x2－3x＋1＝（ ）
【答案】A
【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】要求y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标||，令y=0||，x2＋3x－1=0||，解出x写出坐标即可||，一元二次方程的解与二次函数和x轴的交点坐标相对应||，所以根据抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标||，可以求出x2＋3x－1=0的近似解故答案为：
A.
【分析】要求y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标||，设y=0||，x2＋3x－1=0||，求出x的值||，可得出抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点坐标||，就可以求出x2＋3x－1=0的近似解。
7.（2分）已知二次函数y＝x2－2x＋m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（－1||，0）||，则关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0的两个实数根是（ ）
A.x1＝1||，x2＝2
B.x1＝1||，x2＝3
C.x1＝－1||，x2＝2
D.x1＝－1||，x2＝3
【答案】D
【考点】二次函数图像与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】将（－1||，0）代入y＝x2－2x＋m得||，
||，
解得
||，
则得方程为:
x2－2x-3=0||，
解得
||，
||，
.
所以D选项是正确的.
故答案为：
D.
【分析】将已知点的坐标代入函数解析式||，就可求出抛物线的解析式||，再根据y=0求出对应的自变量的值||，再根据二次函数y＝x2－2x＋m（m为常数）的图象与x轴的两个交点的横坐标就是关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0的两个实数根。
8.（2分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示||，顶点坐标为（﹣2||，﹣9a）||，下列结论：
①4a+2b+c＞0||；②5a﹣b+c=0||；③若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2||，且x1＜x2||，则﹣5＜x1＜x2＜1||；④若方程|ax2+bx+c|=1有四个根||，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【答案】B
【考点】二次函数图象与系数的关系||，利用二次函数图像求一元二次方程的近似根||，二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】∵抛物线的开口向上||，
∴a>0||，
∵抛物线的顶点坐标（﹣2||，﹣9a）||，
∴﹣
=﹣2||，
=﹣9a||，
∴b=4a||，c=-5a||，
∴抛物线的解析式为y=ax2+4ax﹣5a||，
∴4a+2b+c=4a+8a﹣5a=7a＞0||，故①正确||，
5a﹣b+c=5a﹣4a﹣5a=﹣4a＜0||，故②错误||，
∵抛物线y=ax2+4ax﹣5a交x轴于（﹣5||，0）||，（1||，0）||，
∴若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2||，且x1＜x2||，则﹣5＜x1＜x2＜1||，正确||，故③正确||，
若方程|ax2+bx+c|=1有四个根||，则这四个根的和为﹣8||，故④错误||，
故答案为：
B．
【分析】利用抛物线的顶点坐标||，代入可得出b=4a||，c=-5a||，因此函数解析式转化为y=ax2+4ax﹣5a||，分别将b=4a||，c=-5a代入①②||，结合a>0||，可对①②作出判断||；再由y=0||，就可求出抛物线与x轴的两个交点坐标||，结合函数图像及x1＜x2||，可对③作出判断||；若方程|ax2+bx+c|=1有四个根||，则这四个根的和为﹣8||，可对④作出判断||，综上所述||，可得出答案。
二、填空题
9.（1分）二次函数y＝x2＋ax＋a与x轴的交点分别是A（x1||，0）、B（x2||，0）||，且x1＋x2－x1x2＝－10||，则抛物线的顶点坐标是________．
【答案】（-
||，-
）
【考点】二次函数图象与系数的关系||，利用二次函数图像求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】∵二次函数y=x2+ax+a与x轴的交点分别是A（x1||，0）、B（x2||，0）||，
∴x1+x2=-a||，x1x2=a||，
∴由x1+x2-x1x2=-10||，得
-a-a=-10||，
解得a=5||，
则二次函数的解析式为：
y=x2+5x+5=（x+
）2-
||，
∴抛物线的顶点坐标是（-
||，-
）．
故答案为：
（-
||，-
）
【分析】利用根与系数的关系求出x1+x2、x1x2||，再代入建立关于a的方程||，求出a的值||，然后将a的值代入抛物线的解析式||，就可求出其顶点坐标。
10.（1分）如图||，抛物线
与直线
的两个交点坐标分别为
||，
||，则方程
的解是________．
【答案】
||，
【考点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：
∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（-2||，4）||，B（1||，1）||，
∴方程组
的解为
||，
||，
即关于x的方程ax2-bx-c=0的解为x1=-2||，x2=1．
所以方程ax2=bx+c的解是x1=-2||，x2=1
故答案为x1=-2||，x2=1．
【分析】方程ax2=bx+c的解就是抛物线y=ax2与直线y=bx+c交点横坐标。
11.（1分）已知：
二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示||，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是________．
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
3
4
3
…
【答案】（3||，0）
【考点】二次函数的性质
【解析】【解答】解：
∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0||，3）、（2||，3）两点||，
∴对称轴x=
=1||；
点（﹣1||，0）关于对称轴对称点为（3||，0）||，
因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3||，0）．
故答案为：
（3||，0）．
【分析】观察表格发现抛物线y=ax2+bx+c经过（0||，3）、（2||，3）两点||，根据抛物线的对称性得出其对称轴直线||，进而得出点（﹣1||，0）关于对称轴对称点为（3||，0）。
12.（1分）若二次函数y＝x2＋3x－c（c为整数）的图象与x轴没有交点||，则c的最大值是________.
【答案】－3
【考点】二次函数图像与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】因为抛物线y＝x2＋3x－c（c为整数）的图象与x轴没有交点||，
所以
||，
所以
||，
因为c为整数||，
所以c的最大值是-3.
故答案为:
-3.
【分析】利用抛物线与x轴没有交点||，可得出b2-4ac＜0||，求出c的取值范围||，再根据c为整数||，可求出c的最大值。
13.（1分）
的顶点坐标（-1||，-3.2）及部分图象（如图所示）||，由图象可知关于x的一元二次方程
的两个根分别是x1=1.3和x2=________．
【答案】-3.3
【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标（-1||，-3.2）
∴-
=-1则-
=-2
∵x1x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根
∴x1+x2=-
又∵x1=1.3
∴x1+x2=1.3+x2=-2
解得x2=-3.3．
【分析】利用顶点坐标公式及两根之和的公式||，可求出方程的另一个根。
或利用抛物线的对称性解答。
14.（1分）已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2||，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是________
【答案】8
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2||，
∴x1+x2=﹣2k||，x1•x2=k2+k+3||，
∵△=4k2﹣4（k2+k+3）=﹣4k﹣12≥0||，解得k≤﹣3||，
∴（x1﹣1）2+（x2﹣1）2
=x12﹣2x1+1+x22﹣2x2+1
=（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2（x1+x2）+2
=（﹣2k）2﹣2（k2+k+3）﹣2（﹣2k）+2
=2k2+2k﹣4
=2（k+
）2﹣
当k=-3时||，（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的值最小||，最小为8.
故（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是8．
故答案为：
8．
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得||，两根之和=
=-2k||，两根之积=
=
||，再将所求代数式转化为两根之和与两根之积的形式||，代入即可得关于k的代数式||，根据非负数的性质即可求解。
15.（1分）若关于x的一元二次方程a（x＋m）2－3＝0的两个实数根分别为x1＝－1||，x2＝3||，则抛物线y＝a（x＋m－2）2－3与x轴的交点坐标为________．
【答案】（1||，0）||，（5||，0）
【考点】二次函数图象的几何变换||，二次函数图像与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】已知一元二次方程a（x＋m）2－3＝0的两个实数根分别为x1＝－1||，x2＝3||，
即抛物线y＝a（x＋m）2－3与x轴的交点坐标为（-1||，0）||，（3||，0）||，
∵抛物线y＝a（x＋m）2－3向右平移两个单位可得抛物线y＝a（x＋m－2）2－3||，
∴抛物线y＝a（x＋m－2）2－3与x轴的交点坐标为（-1+2||，0）||，（3+2||，0）||，即（1||，0）||，（5||，0）.【分析】由一元二次方程a（x＋m）2－3＝0的两个实数根分别为x1＝－1||，x2＝3||，可得出抛物线y＝a（x＋m）2－3与x轴的两个交点坐标||，再观察两函数解析式||，可得出抛物线y＝a（x＋m）2－3向右平移两个单位可得抛物线y＝a（x＋m－2）2－3||，就可求出抛物线y＝a（x＋m－2）2－3与x轴的交点坐标。
三、解答题
16.（10分）已知抛物线
的对称轴是直线
||，
（1）求证：
||；
（2）若关于x的方程
||，有一个根为4||，求方程的另一个根．
【答案】
（1）解：
∵抛物线的对称轴为直线x=1||，
∴-
=1||，
∴2a+b=0||；
（2）解：
∵关于x的方程ax2+bx-8=0||，有一个根为4||，
∴抛物线与x轴的一个交点为（4||，0）||，
∵抛物线的对称轴为x=1||，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（-2||，0）||，
∴方程的另一个根为x=-2．
【考点】二次函数图像与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】
（1）利用抛物线的对称轴为直线x=
=1||，即可得证。
（2）由题意可知抛物线y=ax2+bx-8与x轴的一个交点坐标为（4||，0）||，对称轴为x=1||，可求出抛物线与x轴的另一个交点坐标||，从而可得出方程的另一个根。
17.（15分）抛物线
与y轴交于点
．
（1）求抛物线的解析式||；
（2）求抛物线与坐标轴的交点坐标||；
（3）①当x取什么值时||，
？
当x取什么值时||，y的值随x的增大而减小？
【答案】
（1）解：
将点（0||，3）代入抛物线y=-x2+（m-1）x+m||，
m=3||，
∴抛物线的解析式y=-x2+2x+3||；
（2）解：
令y=0||，-x2+2x+3=0||，
解得x1=3||，x2=-1||；
x轴：
A（3||，0）、B（-1||，0）||；
y轴：
C（0||，3）
（3）解：
抛物线开口向下||，对称轴x=1||；
所以①当-1＜x＜3时||，y＞0||；
②当x≥1时||，y的值随x的增大而减小．
【考点】二次函数图像与坐标轴的交点问题||，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】
（1）将点（0||，3）代入函数解析式求出m的值||，就可解答。
（2）要求抛物线与坐标轴的交点坐标||，就是求当y-0时或x=0时的自变量的值和对应的函数值||，就可得出答案。
（3）①根据抛物线与x轴的交点坐标||，可得出y＞0时的x的取值范围||；②根据抛物线的对称轴及二次函数的性质可解答。
18.（10分）抛物线
经过点
、
两点．
（1）求抛物线顶点D的坐标||；
（2）抛物线与x轴的另一交点为A||，求
的面积．
【答案】
（1）解：
由题意||，得
||，
解得
||，
则y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4||，
则D（1||，4）||；
（2）解：
如图||，
由题意||，得-x2+2x+3=0||，
解得x1=-1||，x2=3||；
则A（-1||，0）||，
又∵B（3||，0）、C（0||，3）||，
∴S△ABC＝
×4×3＝6
【考点】待定系数法求二次函数解析式||，二次函数图像与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】
（1）利用待定系数法将点B、C的坐标分别代入函数解析式||，建立关于a、c的二元一次方程组||，解方程组||，就可求得抛物线的解析式||，再将抛物线的解析式转化为顶点式||，即可解答。
（2）先由y=0||，求出抛物线与x轴的交点A的坐标||，再根据点A、B、C的坐标||，利用三角形的面积公式求出△ABC的面积。
19.（10分）已知二次函数y=﹣
x2+bx+c的图象经过A（0||，3）||，B（﹣4||，﹣
）两点．
（1）求b||，c的值．
（2）二次函数y=﹣
x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点||，求公共点的坐标||；若没有||，请说明情况．
【答案】
（1）解:
把A（0||，3）||，B（﹣4||，﹣
）分别代入y=﹣
x2+bx+c||，
得
||，
解得
（2）解:
由
（1）可得||，该抛物线解析式为：
y=﹣
x2+
x+3||，
△=（
）2﹣4×（﹣
）×3=
＞0||，
所以二次函数y=﹣
x2+bx+c的图象与x轴有公共点||，
∵﹣
x2+
x+3=0的解为：
x1=﹣2||，x2=8||，
∴公共点的坐标是（﹣2||，0）或（8||，0）
【考点】待定系数法求二次函数解析式||，二次函数图像与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】
（1）将A||，B两点的坐标分别代入二次函数y=﹣
x2+bx+c||，得出关于b||，c的二元一次方程组||，求解得出b||，c的值||，从而得出抛物线的解析式||；
（2）首先算出∆的值||，然后判断出其值大于0||，||，从而判断出二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点||；根据抛物线与坐标轴交点的坐标特点就可求出两交点的坐标。
20.（20分）二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示||，根据图象解答下列问题．
（1）写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根||；
（2）写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集||；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围||；
（4）若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根||，求k的取值范围．
【答案】
（1）解：
图中可以看出抛物线与x轴交于（1||，0）和（3||，0）||，
∴方程ax2+bx+c=0的两个根为x=1或x=3||；
（2）解：
不等式ax2+bx+c>0时||，通过图中可以看出：
当10||，
∴不等式ax2+bx+c>0的解集为1（3）解：
图中可以看出对称轴为x=2||，
∴当x>2时||，y随x的增大而减小||；
（4）解：
∵抛物线y=ax2+bx+c经过（1||，0）||，（2||，2）||，（3||，0）||，
∴
||，
解得：
a=−2||，b=8||，c=−6||，
∴−2x2+8x−6=k||，移项得−2x2+8x−6−k=0||，
△=64−4（−2）（−6−k）>0||，
整理得：
16−8k>0||，
∴k<2时||，方程ax2+bx+c=k有2个相等的实数根。
【考点】待定系数法求二次函数解析式||，利用二次函数图像求一元二次方程的近似根||，二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】【分析】
（1）观察函数图像||，可知抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴的两交点坐标为（1||，0）和（3||，0）||，就可得出方程ax2+bx+c=0的两个根就是抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴的两交点的横坐标。
（2）观察函数图像||，要使ax2＋bx＋c＞0||，即y＞0||，观察x轴上方的图像||，可解答。
（3）利用二次函数的性质||，结合对称轴||，可得出答案。
（4）利用待定系数法求出抛物线的解析式||，就可得出−2x2+8x−6−k=0||，再由b2-4ac＞0||，求出k的取值范围。
21.（10分）根据下列要求||，解答相关问题．
（1）请补全以下求不等式
的解集的过程：
①构造函数||，画出图象：
根据不等式特征构造二次函数y=
||；并在下面的坐标系中（图1）画出二次函数y=
的图象（只画出大致图象即可）||；
②求得界点||，标示所需：
当
时||，求得方程
的解为||；并用虚线标示出函数y=
图象中
＜0的部分||；
③借助图象||，写出解集：
由所标示图象||，可得不等式
＜0的解集为．
（2）请你利用上面求不等式解集的过程||，求不等式
-3≥0的解集．
【答案】
（1）解：
二次函数y=x2-2x的图象如图1所示||，
∵二次函数y=x2-2x与x轴交于O（0||，0）||，A（2||，0）||，
∴方程x2-2x=0的解为x=0或2．
由图象可知x2-2x＜0的解集为0＜x＜2．
故答案为x=0或2||，0＜x＜2．
（2）解：
函数y=x2-2x-3的图象如图2所示||，
∵A（-1||，0）||，B（3||，0）||，
∴不等式x2-2x-3≥0的解集||，由图象可知||，x≥3或x≤-1．
【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根||，二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】
（1）先利用描点法画出二次函数y=x2-2x的图像||，再求出抛物线y=x2-2x与x轴的两交点坐标
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