初升高数学衔接辅导之圆含答案.docx

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初升高数学衔接辅导之圆含答案

10圆

高中必备知识点1：

直线与圆的位置关系

设有直线

和圆心为

且半径为

的圆，怎样判断直线

和圆

的位置关系？

观察图3.3-1，不难发现直线与圆的位置关系为：

当圆心到直线的距离

时，直线和圆相离，如圆

与直线

；当圆心到直线的距离

时，直线和圆相切，如圆

与直线

；当圆心到直线的距离

时，直线和圆相交，如圆

与直线

.

在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B.若直线经过圆心，则AB为直径；若直线不经过圆心，如图3.3-2，连结圆心

和弦

的中点

的线段

垂直于这条弦

.且在

中，

为圆的半径

，

为圆心到直线的距离

，

为弦长

的一半，根据勾股定理，有

.

当直线与圆相切时，如图3.3-3，

为圆

的切线，可得

，

，且在

中，

.

如图3.3-4，

为圆

的切线，

为圆

的割线，我们可以证得

，因而

.

典型考题

【典型例题】

在同一平面直角坐标系中有5个点：

A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），D（﹣2．﹣2）．

（1）画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P相的位置关系；

（2）E点是y轴上的一点，若直线DE与⊙P相切，求点E的坐标．

【变式训练】

在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：

若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P、Q两点为“等距点”，如图中的P、Q两点即为“等距点”．

（1）已知点A的坐标为（﹣3，1）

①在点E（0，3）、F（3，﹣3）、G（2，﹣5）中，点A的“等距点”是　　；

②若点B在直线y＝x+6上，且A、B两点为“等距点”，则点B的坐标为　　；

（2）直线l：

y＝kx﹣3（k＞0）与x轴交于点C，与y轴交于点D．

①若T1（﹣1，t1）、T2（4，t2）是直线l上的两点，且T1、T2为“等距点”，求k的值；

②当k＝1时，半径为r的⊙O上存在一点M，线段CD上存在一点N，使得M、N两点为“等距点”，直接写出r的取值范围．

【能力提升】

如图，在平面直角坐标系中，已知点

．

请在图中作出经过点A、B、C三点的

，并写出圆心M的坐标；

，试判断直线BD与

的位置关系，并说明理由．

高中必备知识点2：

点的轨迹

在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为

的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于

；同时，到定点的距离等于

的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长

的点的轨迹.

我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：

（1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；

（2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上.

下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹.

从上面对圆的讨论，可以得出：

到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.

我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹：

和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线.

由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹：

到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.

典型考题

【典型例题】

如图，点

，将

绕点

旋转

得到

.

（1）请在图中画出

，并写出点

的坐标；

（2）求旋转过程中

点的轨迹长.

【变式训练】

阅读理解：

在平面直角坐标系中，若两点P、Q的坐标分别是P（x1，y1）、

Q（x2，y2），则P、Q这两点间的距离为|PQ|=

．如P（1，2），Q（3，4），则|PQ|=

=2

．

对于某种几何图形给出如下定义：

符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线．

解决问题：

如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+

交y轴于点A，点A关于x轴的对称点为点B，过点B作直线l平行于x轴．

（1）到点A的距离等于线段AB长度的点的轨迹是　　；

（2）若动点C（x，y）满足到直线l的距离等于线段CA的长度，求动点C轨迹的函数表达式；

问题拓展：

（3）若

（2）中的动点C的轨迹与直线y=kx+

交于E、F两点，分别过E、F作直线l的垂线，垂足分别是M、N，求证：

①EF是△AMN外接圆的切线；②

为定值．

【能力提升】

在数学上，我们把符合一定条件的动点所形成的图形叫做满足该条件的点的轨迹．例如：

动点P的坐标满足（m，m﹣1），所有符合该条件的点组成的图象在平面直角坐标系xOy中就是一次函数y=x﹣1的图象．即点P的轨迹就是直线y=x﹣1．

（1）若m、n满足等式mn﹣m=6，则（m，n﹣1）在平面直角坐标系xOy中的轨迹是　　；

（2）若点P（x，y）到点A（0，1）的距离与到直线y=﹣1的距离相等，求点P的轨迹；

（3）若抛物线y=

上有两动点M、N满足MN=a（a为常数，且a≥4），设线段MN的中点为Q，求点Q到x轴的最短距离．

专题验收测试题

1．四边形ABCD内接于圆，∠A、∠B、∠C、∠D的度数比可能是（　　）

A．1：

3：

2：

4B．7：

5：

10：

8C．13：

1：

5：

17D．1：

2：

3：

4

2．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a），半径为2，直线y＝﹣x与⊙P相交于A、B两点，若弦AB的长为2

，则a的值是（　　）

A．﹣2

B．﹣2+

C．﹣2﹣

D．﹣2﹣

3．如图，在边长为2的正方形ABCD中，以点D为圆心，AD为半径画

，再以BC为直径画半圆，若阴影部分①的面积为S1，阴影部分②的面积为S2，则图中S2﹣S1的值为（　　）

A．

﹣4B．

+4C．

﹣2D．

+2

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（﹣3

，0），B（0，3

），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（　　）

A．

B．2

C．3D．

5．以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P的读数为35°，则∠CBD的度数是（　　）

A．55°B．45°C．35°D．25

6．如图，⊙O与直线l1相离，圆心O到直线l1的距离OB＝2

，OA＝4，将直线l1绕点A逆时针旋转30°后得到的直线l2刚好与⊙O相切于点C，则OC＝（）

A．1B．2C．3D．4

7．在平面直角坐标系xOy中，点O（0，0），A（2，0），B（0，2

），C（﹣2，0）．将△OAB绕点O顺时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△OA′B′（（其中点A旋转到点A′的位置），设直线AA′与直线BB′相交于点P，则线段CP长的最小值是（　　）

A．2

B．2

C．2D．2

8．如图，在平面直角坐标系中，点P是以C（﹣

，

）为圆心，1为半径的⊙C上的一个动点，已知A（﹣1，0），B（1，0），连接PA，PB，则PA2+PB2的最小值是（　　）

A．6B．8C．10D．12

9．如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA＝4，OB＝3，点C在边OA上，AC＝1，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y＝

（k≠0）的图象经过圆心P，则k的值是（　　）

A．

B．

C．

D．﹣2

10．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标（0，2

），∠AOC＝45°，∠ACO＝30°，则OC的长为（　　）

A．

+

B．

﹣

C．2

+

D．2

+

11．和平中学自行车停车棚顶部的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，高度CD为____m．

12．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为18cm，BD的长为9cm，则

的长为_____cm．

13．阅读以下作图过程：

第一步：

在数轴上，点O表示数0，点A表示数1，点B表示数5，以AB为直径作半圆（如图）；

第二步：

以B点为圆心，1为半径作弧交半圆于点C（如图）；

第三步：

以A点为圆心，AC为半径作弧交数轴的正半轴于点M．

请你在下面的数轴中完成第三步的画图（保留作图痕迹，不写画法），并写出点M表示的数为________．

14．圆内接正六边形的一条边所对的圆心角的度数为________．

15．整数m满足

，若以m值为直角三角形的斜边长，则该直角三角形外接圆半径为_____．

16．如图，⊙O的半径为2，点A的坐标为（2，2

），直线AB为⊙O的切线，B为切点．则B点的坐标为_______．

17．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且对角线AC为直径，AD＝BC，过点D作DG⊥AC，垂足为E，DG分别与AB，⊙O及CB延长线交于点F、G、M．

（1）求证：

四边形ABCD为矩形；

（2）若N为MF中点，求证：

NB是⊙O的切线；

（3）若F为GE中点，且DE＝6，求⊙O的半径．

18．如图，A、B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合）、我们称∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角．

（1）已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角，

①若AB是⊙O的直径，则∠APB＝　　°；

②若⊙O的半径是1，AB＝

，求∠APB的度数；

（2）已知O2是⊙O1外一点，以O2为圆心作一个圆与⊙O1相交于A、B两点，∠APB是⊙O1上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交⊙O2于M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．

19．如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C，

（1）若∠ADE＝28°，求∠C的度数；

（2）若AC＝6，CE＝3，求⊙O半径的长．

20．如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径作半圆，分别交BC、AC于点D、E，连结DE．

（1）求证：

BD＝DE；

（2）若AB＝13，BC＝10，求CE的长．

21．对于平面直角坐标系xOy中的任意两点M

，N

，给出如下定义：

点M与点N的“折线距离”为：

．

例如：

若点M（-1，1），点N（2，-2），则点M与点N的“折线距离”为：

．根据以上定义，解决下列问题：

（1）已知点P（3，-2）．

①若点A（-2，-1），则d（P，A）=；

②若点B（b，2），且d（P，B）=5，则b=；

③已知点C（m,n）是直线

上的一个动点，且d（P，C）<3，求m的取值范围．

（2）⊙F的半径为1，圆心F的坐标为（0，t），若⊙F上存在点E，使d（E，O）=2，直接写出t的取值范围．

22．如图所示，△ABC中，点D是AB上一点，且AD＝CD，以CD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，且点F是半圆CD的中点．

（1）求证：

AB与⊙O相切．

（2）若tanB＝2，AB＝6，求CE的长度．

专题10圆

高中必备知识点1：

直线与圆的位置关系

设有直线

和圆心为

且半径为

的圆，怎样判断直线

和圆

的位置关系？

观察图3.3-1，不难发现