安徽省无为县开城中学届高三上学期第二次月考数学理试题.docx
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安徽省无为县开城中学届高三上学期第二次月考数学理试题
安徽省无为县开城中学2015届高三上学期第二次月考数学（理）试题
第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合M={x|
}，N={x|1≤x≤3},则M∩N=（）
A．[1,2）B．[1,2]C．（2,3]D．[2,3]
2．求函数
零点的个数为（）
A．
B．
C．
D．
3.三个数
的大小关系为（）
A.
B.
C．
D.
4.设
则
的值为（）
A．
B．
C．
D．
5.已知直线
与曲线
相切于点
，则
（）
A．
B．
C．
D．
6.已知△ABC的面积为
，且
，则∠A等于（）
A．30°B．60°C．60°或120°D．30°或150°
7.若
，则
等于（）
A．
B．
C．
D．
8.函数
的图象是由函数
的图象（）
A.向左平移
个单位而得到B.向左平移
个单位而得到
C.向右平移
个单位而得到D.向右平移
个单位而得到
9．在
中，若
，则
的值为（）
A．
B．
C．
D．
10.现有四个函数：
①
；②
；③
；④
的图象（部分）如下：
则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（）
A．①④③②B．③④②①
C．④①②③ D．①④②③
开城中学2015届高三第二次月考数学答题卷
班级：
姓名：
第Ⅰ卷（选择题共50分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.将答案填写在题中的横线上.）
11.（理科）设函数
是偶函数，则实数
=______。
（文科）已知函数
是奇函数，则实数
=________.
12.已知
，则
的值是______
13.设
一元二次方程
有正整数根的充要条件是
=_____
14.（理科）由直线
与曲线
所围成的封闭图形的面积为_________。
（文科）计算：
＝________.
15.如图是函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，－π＜φ＜π），x∈R的部分图象，则下列命题中，正确命题的序号为________．
①函数f（x）的最小正周期为
；
②函数f（x）的振幅为2
；
③函数f（x）的一条对称轴方程为x＝
；
④函数f（x）的单调递增区间为[
，
]；
⑤函数的解析式为f（x）＝
sin（2x－
）．
三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（本小题满分12分）已知
，
，其中
．
（1）求
；
（2）求
的值．
17.（本小题满分12分）已知函数
．
（1）求
的最小正周期；
（2）求出函数
在区间
上的单调递减区间。
18.（本小题满分12分）已知函数
（m为常数，且m>0）有极大值9.
（1）求m的值；
（2）若斜率为-5的直线是曲线
的切线，求此直线方程.
19.（本小题满分12分）设
，其中
为正实数.
（Ⅰ）当
时，求f（x）的极值点；
（Ⅱ）若
为
上的单调函数，求
的取值范围。
20.（本小题满分13分）已知函数f（x）＝2cosxsin（x＋
）－
.
（1）求函数f（x）的最小正周期T；
（2）若△ABC的三边a，b，c满足b2＝ac，且边b所对角为B，试求cosB的取值范围，并确定此时f（B）的最大值．
21.（本小题满分14分）如图所示，甲船由A岛出发向北偏东
45°的方向做匀速直线航行，速度为15
海里/小时，在甲
船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40海里处的B岛
出发，朝北偏东θ（tanθ＝
）的方向作匀速直线航行，速度
为10
海里/小时．
（1）求出发后3小时两船相距多少海里？
（2）求两船出发后多长时间距离最近？
最近距离为多少海里？
答案：
选择题：
11.
=___-1_（理科）
=___0_____.（文科）12.
13.3或414.
（理科）
（文科）15：
③⑤
17.解
（1）
∴
（2）
18.（Ⅰ）f’（x）＝3x2+2mx－m2=（x+m）（3x－m）=0,则x=－m或x=
m,
当x变化时，f’（x）与f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞,－m）
－m
（－m,
）
（
+∞）
f’（x）
+
0
－
0
+
f（x）
极大值
极小值
从而可知，当x=－m时，函数f（x）取得极大值9，
即f（－m）＝－m3+m3+m3+1=9,∴m＝2.
（Ⅰ）f’（x）＝3x2+2mx－m2=（x+m）（3x－m）=0,则x=－m或x=
m,
当x变化时，f’（x）与f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞,－m）
－m
（－m,
）
（
+∞）
f’（x）
+
0
－
0
+
f（x）
极大值
极小值
从而可知，当x=－m时，函数f（x）取得极大值9，
即f（－m）＝－m3+m3+m3+1=9,∴m＝2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x3+2x2－4x+1,
依题意知f’（x）＝3x2＋4x－4＝－5，∴x＝－1或x＝－
.
又f（－1）＝6，f（－
）＝
，
所以切线方程为y－6＝－5（x＋1）,或y－
＝－5（x＋
），
即5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0.
19.本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力.
解：
对
求导得
①
（I）当
，若
综合①,可知
+
0
－
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以,
是极小值点,
是极大值点.
（II）若
为R上的单调函数，则
在R上不变号，结合①与条件a>0，知
在R上恒成立，因此
由此并结合
，知
20.解：
（1）f（x）＝2cosx·sin（x＋
）－
＝2cosx（sinxcos
＋cosxsin
）－
＝2cosx（
sinx＋
cosx）－
＝sinxcosx＋
·cos2x－
＝
sin2x＋
·
－
＝
sin2x＋
cos2x
＝sin（2x＋
）．
∴T＝
＝
＝π.
21.解：
以A为原点，BA所在直线为y轴建立如图所示
的平面直角坐标系．
设在t时刻甲、乙两船分别在P（x1，y1），Q（x2，y2）．
则
，
由tanθ＝
可得，cosθ＝
，
sinθ＝
，
故
（1）令t＝3，P、Q两点的坐标分别为（45,45），（30,20），
|PQ|＝
＝
＝5
.
即出发后3小时两船相距5
海里．
（2）由
（1）的解法过程易知：
|PQ|＝
＝
＝
＝
≥20
，
∴当且仅当t＝4时，|PQ|取得最小值20
.
即两船出发后4小时时，相距20
海里为两船的最近距离．
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