第十五章整式的乘除与因式分解.docx
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第十五章整式的乘除与因式分解
第十五章整式的乘除与因式分解
15.1整式的乘法
知识点2幂的乘方
例4下列运算正确的是()
A.(a3)3=a3B.a3.a3=a9
C.(a3)3=a9D.a3+a6=a9
点睛:
由幂的乘方运算可知:
A错误,错误的原因是把指数相加了;B错误,错误的原因是把同底数幂相乘当作幂的乘方来计算了;C正确;D错误,这两个式子无法进行计算.故选C.
答案:
C
知识点3积的乘方
例6下列计算正确的是()
A.(ab3)2=ab6B.(3xy)2=6x2y2
C.(-2a3)2=-4a6D.(-x2yz)3=-x6y3z3
点睛:
对于选项A,只把因式b3平方,而因式口没有平方,∴A是错误的;对于选项B,因式32应为9,故B是错误的;对于选项C,(-2)2应为4,故C错误;选项D是正确的.
答案:
D
典型题解
例1已知an+1·am+2=a7,且m-2n=1,求mn的值.
点睛:
欲求mn的值,须求出m、n的值,由同底数幂的乘法法则可知n+1+m+2=7,再加上条件m-2n=1可得二元一次方程组,从而求出m、n的值,进而求出mn的值.
答案:
解∵an+1·am+2=a7,
∴an+1+m+2=a7,得n+1+m+2=7即n+m=4
又∵m-2n=1,解得,m=3,n=1,
∴mn=31=3.
例2解方程:
4x3x-1·16=64×4.
点睛:
观察式子,可知左、右两边都可化成以4为底的幂的形式.
答案:
解4x3x-1·16=64×4.
∴4x3x-1·42=43×4.
∴4x3x-1+2=43+1,
∴3x-1=4,解得x=1.
例3如果22n+1+4n=48,求n的值.
点睛:
关键是将48分解为24×3,而22n+1+4n也想办法分成22n×3,这样就可以得到指数方程.
答案:
解∵22n+1+4n=2×22n+(22)n=2×22n+22n=22n×3,
又∵48=16×3=24×3,
∴22n=24.
∴2n=4,即n=2.
例5求证:
对于任意自然数n,代数式n(n+7)-(n-3)(n-2)的值能被6整除.
点睛:
首先应对代数式n(n+7)-(n-3)(n-2)进行化简,从中寻找有没有约数6.
答案:
证明n(n+7)-(n-3)(n-2)=n2+7n-(n2-5n+6)=12n-6=6(2n-1).
∵n为自然数,∴2n-1为整数,
∴6(2n-1)为6的倍数,原命题得证.
例6若a=2555,b=3444,c=5333,试比较a、b、c的大小.
点睛:
本题要比较a、b、c的大小,显然直接比较相当困难,由指数的特征可知它们都是111的倍数,故可运用幂的乘方运算性质把a、b、c化为底数可以比较大小而指数相同的形式.
答案:
解∵a=2555=(25)111=32111,b=3444=(34)111=81111,c=5333=(53)111=125111,
而125>81>32,
∴125111>81111>32111.
∴c>b>a
例7已知am=2,an=5,求am+n的值.
点睛:
本题逆用同底数幂的乘法法则,将幂am+n分成两个同底数幂的积,即am+n=am·an,然后把已知条件代入求值即可。
答案:
解am+n=am+n=am·an=2×5=10.
例8计算:
(-2)2005+(-2)2006.
点睛:
本题若直接计算,则相当繁琐,巧妙地利用同底数幂的逆运算,则化繁为简.
答案:
解(-2)2005+(-2)2006
=(-2)2005+(-2)2005×(-2)
=(-2)2005×(1-2)=-(-2)2005=22005.
例9已知a2n=3,求a4n-a6n的值.
点睛:
本题逆用幂的乘方法则,将a4n-a6n化为(a2n)2-(a2n)3,从而顺利求解。
答案:
解a4n-a6n=(a2n)2-(a2n)3=32-33=-18.
例10计算:
(-7)5×(-
)5.
点睛:
由于两个幂的底数之积是1,可以逆用积的乘方法则求解.
答案:
解(-7)5×(-
)5=[(-7)×(-
)]5=15=1.
例11计算:
(0.04)2009×[(-5)2009]2.
点睛:
观察题中特点,发现各因式的指数可以经过变形化成相同,根据积的乘方(ab)n=anbn的逆向运算anbn=(ab)n即可简便地求出结果。
答案:
解(0.04)2009×[(-5)2009]2=[(0.2)2]2009×52009×2
=0.24018×54018=(0.2×5)4018=1.
例12计算:
(-0.25)2005×42006.
点睛:
逆用幂的三个运算性质简化计算.
解(-0.25)2005×42006=(-0.25)2005×42005×4
=(-0.25×4)2005×4
=(-1)2005×4=-4.
例13若2x+5y-3=0,则4x·32y=____.
点睛:
已知的条件是2x+5y-3=0,无法求出x、y的值,因此可以先把4x·32y化简,把2x+5y看作一个整体来解.
∵2x+5y-3=0,∴2x+5=3,
∴4x·32y=22x·25y=22x+5y=23=8.
答案:
8
例14计算:
(
+
+…+
)·(1+
+
+…+
)-(1+
+
+…+
)·(
+
+…+
).
点睛:
本题若要直接乘开运算,过程是相当繁杂的,也是不现实的,但运用整体的思想,结合题目的特点,设a=
+
+…+
,b=
+
+…+
,则原式可转化为a(1+b)-(1+a)b,则问题变得十分容易.
答案:
解设a=
+
+…+
,b=
+
+…+
,
原式=a(1+b)-(1+a)b=a+ab-b-ab=a-b=
例15已知25x=2000,80y=2000,则x+y-xy=__________.
点睛:
本题有点难度,根据条件中的两个式子没有办法直接求出x、y的值.因此可以把结论中的x+y和xy看作一个整体,想办法求出x+y和xy整体的值.
∵25x=2000,80y=2000,
∴25xy=2000y.80y=2000x
两式相乘得25xy·80xy=2000y·2000x,
∴(25×80)xy=2000y+x,即2000xy=2000y+x.
∴y+x=xy,∴x+y-xy=0.
答案:
0
例16小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学.一天,他在解方程时,突然产生了这样的想法:
x2=-1这个方程在实数范围内无解,如果存在一个数i,使i2=-1,那么方程x2=-1可以变成x2=i2,则x=±i,从而x=±i是方程x2=-1的两个根,小明还发现i具有如下性质:
i1=i,12=-1,i3=i2·i=(-1)i=-i,i4=(i2)2=(-1)2=1;
I5=i4·i=i;
i6=(i2)3=i;
i6=(i2)3=(-1)3=-1;
i7=i6·i=-i;
i8=(i4)2=1;…
请你观察上述等式,根据你发现的规律填空:
i4n+1=___________,i4n+2=___________,i4n+3=___________.
点睛:
本题是一道学习新概念、新知识、考查数学能力的阅读理解题,应根据题目提供的条件认真观察规律,从而得出结论.
答案:
i-1-i
例17现规定一种运算a*b=ab+a-b,其中a、b为有理数,则a*b+(b-a)*(b+a)应等于多少?
请写出求解过程.
点睛:
本题要理解运算a*b,根据新的运算规定的计算办法来解题.还要注意(b
-a)与(b+a)作为一个整体来代入计算.
答案:
解a*b+(b-a)*(b+a)=ab+a-b+(b-a)(b+a)+(b-a)-(b+a)
=ab+a-b+b2-ab++ab-a2+b-a-b-a=a2+ab-a-b-a2.
例18计算:
(-x)2n+1·(-x)n+1(n为正整数).
点睛:
(-x)2n+1·(-x)n+1=(-x)3n+2,底数中所含的符号要去掉,为此要判断3n+2是奇数,还是偶数.事实上3n+2的奇偶性是不确定的,应加以讨论.
答案:
解(-x)2n+1·(-x)n+1=(-x)2n+1+n+1=(-x)3n+2.
当n为奇数时,原式=-x3n+2;
当n为偶数时,原式=x3n+2.
例19观察下列等式:
13=1;
13+23=32;
13+23+33=62;
13+23+33+43=102;
…
想一想,等式的左边各项的底数与右边的底数有什么关系?
猜一猜,可以引出什么规律?
点睛:
根据题目所给等式的特点,从特殊情形入手,观察、分析、归纳、总结出一般结论;从幂的底数入手,对左右两边幂的底数的特点逐行观察.
答案:
解第一行,左边1=右边1;第二行,左边1、2,1+2=右边3;第三行,左边1、2、3,1+2+3=右边6;…;可以看出每一行左边的数字之和等于右边的数字.因此,我们可以猜测规律:
13+23+33+4+…+n3=(1+2+3+4+…+n)2,而1+2+3+4+…+n=
n(n+1).
左边右边
第1行:
1;1=1;
第2行:
1,2;3=1+2;
第3行:
1,2,3;6=1+2+3;
第4行:
1,2,3,4;10=1+2+3+4;
……
第n行:
1,2,3,4,…,n=
n(n+1)=1+2+3+4+…+n.
∴13+23+33+…+n3=[
n(n+1)]2.
例20甲、乙二人共同计算一道整式乘法:
(2x+a)·(3x+b),由于甲抄错了第一个多项式中a的符号,得到的结果为6x2+11x-10;由于乙漏抄了第二个多项式中x的系数,得到的结果为2x2-9x+10.
(1)你能知道式子中a、b的值各是多少吗?
(2)请你计算出这道整式乘法的正确结果.
点睛:
甲抄错了a的符号,即甲的计算式为(2x-a)(3x+b)=6x2-(3a-2b)x-ab.对比得到的结果可得-(3a-2b)=11;乙漏抄了第二个多项式中x的系数,即乙的计算式为(2x+a)(x+b)=2x2+(a+2b)x+ab.对比得到的结果可得出a、b的值.
答案:
解
(1)(2x-a)(3x+b)=6x2-(3a-2b)x-ab=6x2+11x-10,
(2x+a)(x+b)=2x2+(a+2b)x+ab=2x2-9x+10,
∴
解得
(2)原式=(2x-5)(3x-2)=6x2-19x+10.
15.2乘法公式
知识点1平方差公式
例2下列多项式乘法中,可以用平方差公式计算的是()
A.(-a-b)(a+b)B.(-a-b)(a-b)
C.(a+b-c)(-a-b+c)D.(-a+b)(a-b)
点睛:
A、C、D都是一个数与它的相反数的乘积,不能用平方差公式,B中是-b与a这两个数的和与这两个数的差的积,符合平方差公式.故选B.
答案:
B
知识点2完全平方公式
例4下列各式能称为完全平方式的有()
①x2-
x+
;②25x2+1;③y2-2y+1;④
x2-
xy+
y2;⑤a2-2a+4.
A.5个B.4个C.3个D.2个
点睛:
①中的不是平方项;②中只有两项;⑤中两数积的2倍应该是4a;③、④均符合要求,故选D.
答案:
D
例6运用乘法公式计算:
(a-b+c)2.
点睛:
本题中的字母不是两数和(或差)形式,但可以把其中任何两项看成一个数,然后运用两数和(或差)的完全平方公式进行计算.
答案:
解(a-b+c)2=[(a-b)+c]2=(a-b)2+2(a-b)c+c2
=a2-2ab+b2+2ac-2bc+c2=a2+b2+c2-2ab+2ac-2bc.
典型题解
例1计算:
(1)99×101;
(2)59.7×60.3.
点睛:
(1)将99写成100-1,101写成100+1,便能用平方差公式计算;
(2)将59.7写成60-0.3,60.3写成60+0.3也可用平方差公式计算.
答案:
解
(1)99×101=(100-1)(100+1)=1002-1=9999.
(2)59.7×60.3=(60-0.3)(60+0.3)=602-(0.3)2=3600-0.09=3599.91.
例2计算:
(1)20022-20002;
(2)(a+b-c)2-(a-b+c)2.
点睛:
由于2002与2000的差是一个很小的数,(a+b-c)与(a-b+c)的和为一个单项式,因此此类问题可逆用平方差公式.
答案:
解
(1)20022-20002=(2002+2000)(2002-2000)=4002×2=8004.
(2)(a+b-c)2-(a-b+c)2=[(a+b-c)+(a-b+c)][(a+b-c)-(a-b+c)]=2a·(2b-2c)=4ab-4ac.
例3S=12-22+32-42+…+992-1002,求S的值.
点睛:
若按有理数乘方方法计算,计算量相当大,仔细观察算式,不难发现,可以逆用平方差公式.
答案:
解S=(1+2)(1-2)+(3+4)(3-4)+…+(99+100)(99-100)
=-(3+7+11+…+199)=-(3+199)×25=-5050.
例4计算:
(a+b)(a-b)(a2+b2)(a4+b4).
点睛:
本题可反复运用平方差公式,得出结果.
答案:
解(a+b)(a-b)(a2+b2)(a4+b4)=(a2-b2)(a2+b2)(a4+b4)
=(a4-b4)(a4+b4)=a8-b8.
例5算:
(1)1012;
(2)972.
点睛:
把1012化为(100+1)2,972化为(100-3)2,然后用完全平方公式计算.
答案:
解
(1)1012=(100+1)2=1002+2×100×1+12=10201.
(2)972=(100-3)2=1002-2×100×3+32=9409.
例6已知a+b=5,ab=-6.求下列各式的值.
(1)a2+b2;
(2)a2-ab+b2.
点睛:
要得到a2+b2的值,可由(a+b)2得到,即(a+b)2=a2+2ab+b2,可变形为a2+b2=(a+b)2-2ab,则a2-ab+b2=(a+b)2-3ab.
答案:
解
(1)∵(a+b)2=a2+2ab+b2,
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×(-6)=25+12=37.
(2)a2-ab+b2=(a+b)2-3ab=25+18=43.
例7如果x2+ax+25是一个完全平方式,那么a的值是()
A.10B.5C.±10D.±5
点睛:
找出式子中的平方项,一项是x的平方,另一项是5的平方,中间一项是两数积的2倍,同时中间一项前面的符号可正可负,故应有两个答案.即ax=(±2)×x×5,∴a=±10.
答案:
C
篊
例8求证:
无论a、b为何值,多项式a2+b2-2a-6b+10的值恒为非负数.
点睛:
本题就是要证明a2+b2-2a-6b+10≥0,把式子变形,用完全平方公式便可达到目的.
答案:
证明∵a2+b2-2a-6b+10
=a2-2a+1+b2-6b+9
=(a-1)2+(b-3)2,
∵(a-1)2≥0,(b-3)2≥0,
∴a2+b2-2a-6b+10≥0.
即a、b无论为何值,多项式a2+b2-2a-6b+10的值恒为非负数。
例10计算:
(2x-3y-1)(-2x-3y+5).
点睛:
初看两个因式不符合平方差公式的结构特征,难以运用公式求解.但若把“-1”拆成“-3+2”,把“5”拆成“3+2”,则运用公式的前景清晰可见.
答案:
解(2x-3y-1)(-2x-3y+5)=[(2-3y)+(2x-3)][(2-3y)-(2x-3)]
=(2-3y)2-(2x-3)2=9y2-4x2-12y+12x-5.
例11如图所示的长方形ABCD被分成六个大小不一的正方形,已知中间一个小
正方形的面积为4,求长方形ABCD中最大正方形与最小正方形的面积之差.
点睛:
小正方形的面积为4,则它的边长为2,观察图形便知其余正方形的边长分别为a,b=a+2,c=b+2=a+4,d=c+2=a+6.可见,边长为d的正方形在长方形ABCD中最大,从而可写出最大正方形与最小正方形的面积之差的代数式(含a),再设法列方程求a(利用AB=CD列方程,或利用AD=BC列方程)。
答案:
解图中最大的正方形边长为d=a+6,最小的正方形边长为2,
∴它们的面积之差为(a+6)2-4=a2+12a+36-4=a2+12a+32,
在长方形ABCD中,AB=CD,
又AB=c+d=a+4+a+6=2a+10,CD=b+2a=a+2+2a=3a+2,
∴2a+10=3a+2,解得a=8,
故面积之差为a2+12a+32=82+12×8+32=192.
例12观察下面各式:
12+(1×2)2+22=(1×2+1)2;
22+(2×3)2+32=(2×3+1)2;
32+(3×4)2+42=(3×4+1)2;
(1)写出第2006个式子;
(2)写出第n个式子,并证明你的结论.
点睛:
通过观察找出规律。
答案:
解
(1)第2006个式子为:
20062+(2006×2007)2+20072
=(2006×2007+1)2.
(2)第n个式子为n2+[n(n+1)]2+(n+1)2=[n(n+1)+1]2.
证明如下:
左边=n2+(n2+n)2+(n+1)2=n2+n4+2n3+n2+n2+2n+1
=n4+2n3+3n2+2n+1.
右边=(n2+n+1)2=[n2+(n+1)]2=(n2)2+2n2(n+1)+(n+1)2
=n4+2n3+2n2+n2+2n+1=n4+2n3+3n2+2n+1.
∴左边=右边,即以上结论成立.
15.3整式的除法
典型题解
例2先化简,再求值:
[(-
x3y4)3+(-
xy2)2·3xy2]÷(-
xy2)3,其中x=-2,y=
.
点睛:
先按各自的法则和运算顺序化简,再代入求值.
答案:
解[(-
x3y4)3+(-
xy2)2·3xy2]÷(-
xy2)3
=(-
x9y12+
x2y4·3xy2]÷(-
x3y6)
=(-
x9y12+
x3y6)÷(-
x3y6)=x6y6-
.
当x=-2,y=
时,原式=(xy)6-
=(-2×
)6-
=
.
例3已知a2m+nbn÷(a2b2·anb=a4b,求,m、n的值.
点睛:
观察条件,等式的左边是整式的除法与乘法运算,因此首先应将左边化简,然后可根据等式得出方程.
答案:
解∵a2m+nbn÷(a2b2·anb=a4b,
∴a2m+n-2+nbn-2+1=a4b,即a2m+2n-2bn-1=a4b.
∴
解得
例4当细菌繁殖时,一个细菌分裂成两个,一个细菌在分裂n次后,数量变为2n个,有一种分裂速度很快的细菌,它每15分钟分裂一次,如果现在有1000个这样的细菌,那么1h后有多少个细菌?
2h后的数量是1h后的多少倍?
点睛:
这种细菌每15分钟分裂一次,30min就分裂两次,1h后就会分裂4次.从1h到2h之间的1h内又分裂了4次,也就是2h后共分裂了8次.
答案:
解1h后细菌的个数为1000×24=1.6×104(个).
2h后细菌的个数为1000×28=2.56×105(个),
∴2.56×105÷(1.6×104)=16(倍),2h后的数量是1h后的16倍.
例5当m、n为何值时,多项式x3+mx-2能被x2+nx+1整除?
点睛:
由于x3+mx-2能被x2+nx+1整除,故可设商式为x+a,利用待定系数法列方程组求解.
答案:
解设x3+mx-2=(x2+nx+1)(x+a),
即x3+mx-2=x3+(a+n)x2+(an+1)x+a,
比较两边同次项的系数得
解得
∴当m=-3,n=2时,多项式x3+mx-2能被x2+nx+1整除.
例6已知x3-16x2+mx-n除以x2-2x+3,所得余式为-18x+15,试求m、n的值.
点睛:
依据被除式=除式×商式+余式,然后设出商式为x+a,用待定系数法求解.
解设商式为x+a,则由题意可得
x3-16x2+mx-n=(x2-2x+3)(x+a)-18x+15,
即x3-16x2+mx-n=x3-(a-2)x2-(2a+15)x+3a+15,
比较两边同次项的系数得
解得
∴m=13.n=27.
例7计算:
(a-b)3n(b-a)2n÷(b-a)5n(a≠b).
点睛:
由于当n为奇数或偶数时,(b-a)5n变为-(a-b)5n或(a-b)5n两种不同情况,故应对n的奇偶性进行分类讨论.
答案:
解当n为奇数时,
原式=(a-b)3n·(a-b)2n÷[-(a-b)5n]
=(a-b)5n÷[-(a-b)5n]
=-(a-b)5n-5n=-(a-b)0=-1;
当n为偶数时,
原式==(a-b)3n·(a-b)2n÷(a-b)5n
=(a-b)5n÷(a-b)5n
=(a-b)0=1.
例8已知ax=3,ay=9,求a2x-y的值.
点睛:
对两个已知等式均无法进行变换、化简,故应从要求的幂入手.这个幂的指数为2x-y,是两数差的形式.应该联想到只有同底数幂相除时才有,即所要求的代数式为a2x÷ay,又a2x=(ax)2这样就可以利用已知条件了.
答案:
解∵ax=3,∴(ax)2=a2x=9,
∵ay=9,∴a2x÷ay=a2x-y=1.
例9已知3m=6,9n=2,求32m-4n+1的值.
点睛:
运用幂的有关性质建立已知与未知的联系,将结论中的代数式转化为含有已知条件的代数式,即可求值.
答案:
解∵3m=6,9n=32n=2,
∴32m-4n+1=32m÷34n×3=(3m)2÷(32n)2×3=62÷22×3=27.
例10已知am·an=a4,am÷an=a6,求m、n的值.
点睛:
利用幂的运算法则可得到有关的方程组,从而求解.
答案:
解∵am·an=a4,am÷an=a6,
∴am+n=a4,am-n=a6,∴
解得
15.4因式分解
知识点1因式分解的意义
例1下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是()
A.x2-x-2=x(x-1)-2B.(a+b)(a-b)=a2-b2
C.x2-4=(x+2)(x-2)D.x-1=x(1-
)
点睛:
A中的结果是积与和的混合形式;B属于整式的乘法运算;C满足因式分解的定义;D中的右边不是整式的积的形式.故选C.
答案:
C
知识点2公因式的概念
例2多项式6x3y2-3x2y2+12x2y3的公因式为()
A.3xyB.-3x2yC.3xy2D.3x2y2
点睛:
从系数来看,6,-3,12的最大公约数是3;从字母来看各项都含有的字母是x、y,从指数来看,x的最低次数是2,y的最低次数是2,故公因式为3x2y2.∴选D。
答案:
D
例3多项式2(