动态规划作业完整.docx
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动态规划作业完整
动态规划作业
1、1、设某工厂自国外进口一部精密机器，由机器制造厂至出口港有三个港口可供选择，而进口港又有三个可供选择，进口后可经由两个城市到达目的地，其间的运输成本如图中所标的数字，试求运费最低的路线?
把A看作终点，该问题可分为4个阶段。
fk（Sk）表示从第K阶段点Sk到终点A的最短距离。
f4（B1）=20，f4（B2）=40，f4（B3）=30
f3（C1）=min[d3（C1,B1）+f4（B1）,d3（C1,B2）+f4（B2）,d3（C1,B3）+f4（B3）]=70，U3（C1）=B2或B3
f3（C2）=40，U3（C2）=B3
f3（C3）=80，U3（C3）=B1或B2或B3
f2（D1）=80，U2（D1）=C1
f2（D2）=70，U2（D2）=C2
f1（E）=110，U1（E）=D1或D2
所以可以得到以下最短路线，
E→D1→C1→B2/B3→A
E→D2→C2→B3→A
2、习题4－2
解：
1）将问题按地区分为三个阶段，三个地区的编号分别为1、2、3；
2）设Sk表示为分配给第k个地区到第n个地区的销售点数，
Xk表示为分配给第k个地区的销售点数，Sk＋1＝Sk－Xk
Pk（Xk）表示为Xk个销售点分到第k个地区所得的利润值
fk（Sk）表示为Sk个销售点分配给第k个地区到第n个地区的最大利润值
3）递推关系式：
fk（Sk）＝max[Pk（Xk）+fk+1（Sk－Xk）]k=3,2,1
f4（S4）＝0
4）从最后一个阶段开始向前逆推计算
第三阶段：
设将S3个销售点（S3＝0,1,2,3,4）全部分配给第三个地区时，最大利润值为：
f3（S3）＝max[P3（X3）]其中X3＝S3＝0,1,2,3,4
表1
X3
S3
P3（X3）
f3（S3）
X3*
0
1
2
3
4
0
0
0
0
1
12
12
1
2
22
22
2
3
36
36
3
4
47
47
4
第二阶段：
设将S2个销售点（S2＝0,1,2,3,4）分配给乙丙两个地区时，对每一个S2值，都有一种最优分配方案，使得最大盈利值为：
f2（S2）＝max[P2（X2）+f3（S2－X2）]
其中，X2＝0,1,2,3,4
表2
X2
S2
P2（X2）＋f3（S2－X2）
f2（S2）
X2*
0
1
2
3
4
0
0
0
0
1
0＋12
13＋0
13
1
2
0＋22
13＋12
24＋0
25
1
3
0＋36
13＋22
24＋12
34＋0
36
0,2
4
0＋47
13＋36
24＋22
34＋12
42＋0
49
1
第一阶段：
设将S1个销售点（S1＝4）分配给三个地区时，则最大利润值为：
f1（S1）＝max[P1（X1）+f2（4－X1）]
其中，X1＝0,1,2,3,4
表3
X1
S1
P1（X1）＋f2（4－X1）
f1（4）
X1*
0
1
2
3
4
4
0＋49
16＋36
28＋25
40＋13
50＋0
53
2,3
然后按计算表格的顺序反推，可知最优分配方案有两个：
最大总利润为53
1）由X1*＝2，X2*＝1，X3*＝1。
即得第一个地区分得2个销售点，第二个地区分得1个销售点，第三个地区分得1个销售点。
2）由X1*＝3，X2*＝1，X3*＝0。
即得第一个地区分得3个销售点，第二个地区分得1个销售点，第三个地区分得0个销售点。
3、某施工单位有500台挖掘设备，在超负荷施工情况下，年产值为20万元/台，但其完好率仅为0.4，在正常负荷下，年产值为15万元/台，完好率为0.8。
在四年内合理安排两种不同负荷下施工的挖掘设备数量，使第四年年末仍有160台设备保持完好，并使产值最高。
试求出四年内使得产值最高的施工方案和产值数。
解：
1）该问题分成四个阶段，k表示年度，k＝1,2,3,4
2）设Sk表示为分配给第k年初拥有的完好挖掘设备数量，
Uk表示为第k年初分配在超负荷下施工的挖掘设备数量，
Dk（Sk）={Uk|0≤Uk≤Sk}
Sk－Uk表示为第k年初分配在正常负荷下施工的挖掘设备数量。
状态转移方程：
Sk＋1＝0.4Uk+0.8（Sk－Uk），S1＝500台
3）设vk（sk,uk）为第k年度的产量，则
vk＝20Uk+15（Sk－Uk）
故指标函数为V1,4=
fk（Sk）表示由资源量Sk出发，从第k年开始到第4年结束时所生产的产量最大。
4）递推关系式：
fk（Sk）＝MAX{20Uk+15（Sk－Uk）+fk+1[0.4Uk+0.8（Sk－Uk）]}k=1,2,3,4
5）从第4阶段开始，向前逆推计算
当k＝4时，
S5=160,0.4U4+0.8（S4－U4）=1602S4-U4=400U4=2S4-400
f4（S4）＝MAX{20U4+15（S4－U4）+f5[0.4U4+0.8（S4－U4）]}
＝MAX{5U4+15S4}
=25S4-2000
当k＝3时，
f3（S3）＝MAX{20U3+15（S3－U3）+f4[0.4U3+0.8（S3－U3）]}
=MAX{5U3+15S3+25（0.8S3-0.4U3）-2000}
＝MAX{-5U3+35S3-2000}
故得最大解U3*＝0
所以f3（S3）＝35S3-2000
依次类推，可求得：
U2*＝0，f2（S2）＝43S2-2000
U1*＝0，f1（S1）＝49.4S1-2000
因为S1＝500台，故f1（S1）＝22700台
最优策略为U1*＝0，U2*＝0，U3*＝0，U4*＝112
已知S1＝500，
S2＝0.4U1*+0.8（S1－U1*）＝0.8S1＝400
S3＝0.4U2*+0.8（S2－U2*）＝0.8S2＝320
S4＝0.4U3*+0.8（S3－U3*）＝0.8S3＝256
U4=2S4-400=112S4-U4=256-112=144
即前三年应把年初全部完好的挖掘设备投入正常负荷下施工，第四年应把年初112台全部完好的挖掘设备投入超负荷下施工，144台投入正常负荷下施工。
这样最高产量为22700台。
4、某电视机厂为生产电视机而需生产喇叭，生产以万只为单位。
根据以往记录，一年的四个季度需要喇叭分别是3万、2万、3万、2万只。
设每万只存放在仓库内一个季度的存储费为0.2万元，每生产一批的装配费为2万元，每万只的生产成本费为1万元。
问应该怎样安排四个季度的生产，才能使总的费用最小？
再生产点性质，
C（1,1）=C（3）+h（0）=5C（1,2）=C（5）+h
（2）=7.4
C（1,3）=C（8）+h（5）+h（3）=11.6
C（1,4）=C（10）+h（7）+h（5）+h
（2）=14.8
C（2,2）=C
（2）+h（0）=4C（2,3）=C（5）+h（3）=7.6
C（2,4）=C（7）+h（5）+h
（2）=10.4
C（3,3）=C（3）+h（0）=5C（3,4）=C（5）+h
（2）=7.4
C（4,4）=C
（2）+h（0）=4
f0=0f1=f0+C（1,1）=5j
（1）=1
f2=min{f0+C（1,2）,f1+C（2,2）}=min{0+7.4,5+4}=7.4j
（2）=1
f3=min{f0+C（1,3）,f1+C（2,3）,f2+C（3,3）}
=min{0+11.6,5+7.6,7.4+5}=11.6j（3）=1
F4=min{f0+C（1,4）,f1+C（2,4）,f2+C（3,4）,f3+C（4,4）}
=min{0+14.8,5+10.4,7.4+7.4,11.6+4}=14.8j（4）=1,3
当j（4）=1，X1=d1+d2+d3+d4=10,X2=0,X3=0,X4=0
当j（4）=3,X3=d3+d4=5,X4=0,X1=d1+d2=5,X2=0。
5、某工厂生产三种产品，各产品重量与利润关系如下表所示，现将此三种产品运往市场出售，运输能力总重量不超过6吨。
问如何安排运输使总利润最大。
种类
1
2
3
重量
2
3
4
利润
80
130
180
解：
6、某工厂在一年进行了A、B、C三种新产品试制，由于资金不足，估计在年内这三种新产品研制不成功的概率分别为0.40、0.60、0.80，因而都研制不成功的概率为0.4×0.6×0.8=0.l92。
为了促进三种新产品的研制，决定增援2万元的研制费，并要资金集中使用，以万元为单位进行分配。
其增援研制费与新产品不成功的概率如下表所示。
试问如何分配费用，使这三秤新产品都研制不成功的概率为最小。
解:
1）（1分）将问题按产品A、B、C分为三个阶段，k=1、2、3；
2）（6分）设Sk表示第k阶段可分配给第k个产品到第n个产品的研制费，S1＝2
Xk设为决策变量，表示第k阶段分配给第k个产品的研制费。
状态转移方程为Sk＋1＝Sk－Xk
允许决策集合：
Dk（Sk）＝{Xk∣0≤Xk≤Sk，Xk为整数}
Pk（Xk）表示为第k个产品失败的概率
fk（Sk）表示为Sk万元研制费分配给第k个产品到第n个产品的最小的失败概率
3）（4分）递推关系式：
fk（Sk）＝min[Pk（Xk）×fk+1（Sk－Xk）]k=3,2,1
边界条件：
f4（S4）＝1
4）（11分）从最后一个阶段开始向前逆推计算
第三阶段：
设将S3万元研制费（S3＝0,1,2）全部分配给C产品时，最小的失败概率为：
f3（S3）＝min[P3（X3）]其中X3＝S3＝0,1,2
X3
S3
P3（X3）
f3（S3）
X3*
0
1
2
0
0.80
0.80
0
1
0.50
0.50
1
2
0.30
0.30
2
X3*表示使得f3（S3）为最大值时的最优决策。
第二阶段：
设将S2万元研制费（S2＝0,1,2）分配给B、C产品时，最小的失败概率为：
f2（S2）＝min[P2（X2）×f3（S2－X2）]
其中，X2＝0,1,2
X2
S2
P2（X2）×f3（S2－X2）
f2（S2）
X2*
0
1
2
0
0.60×0.80
0.48
0.48
0
1
0.60×0.50
0.30
0.40×0.80
0.32
0.30
0
2
0.60×0.30
0.18
0.40×0.50
0.20
0.20×0.80
0.16
0.16
2
第一阶段：
设将S1万元研制费（S1＝2）分配给三个产品时，最小的失败概率为：
f1（S1）＝min[P1（X1）×f2（S1－X1）]
其中，X1＝0,1,2
X1
S1
P1（X1）×f2（S1－X1）
f1
（2）
X1*
0
1
2
2
0.40×0.16
0.064
0.20×0.30
0.060
0.15×0.48
0.072
0.060
1
5）即分配给A产品1万元，B产品0万元，C产品1万元，可使三个小组都失败的概率减小到0.060。
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