中考数学一轮复习训练10分式方程及其应用解析版.docx
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中考数学一轮复习训练10分式方程及其应用解析版
专题10分式方程及其应用
专题知识点概述
1.分式方程的宦义：
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
2.解分式方程的一般方法:
解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。
（1）去分母（方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程）;
（2）按解整式方程的步骤求岀未知数的值；
原分式方程无解：
若不等于零，就是原方
（3）验根：
将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根,
程的根。
例题解析与对点练习
【例题1]（2020•哈尔滨）方程三=三的解为（）
B.*=5
C.x=l
D.
x=9
【答案】D
【分析】根据解分式方程的步骤解答即可.
【解析】方程的两边同乘（•计5）（—2）得:
解得尸9,经检验，・丫=9是原方程的解.
【对点练习】（2019黑龙江哈尔滨）方程:
^牛二色的解为（
Jx-1x
D.
A.x=±
【答案】C
【解析】：
iwm化为/严/誓一三,即可求解尸刍同时要进行验根即可求解。
x（3x-l）x（3x-l）7
2_3
3x-lx
2*_3（3x-1）
x（3x-l）"x（3x-l）
：
.2x=9x-3,
•_3
••X~—:
7
将检验-Y=|-是方程的根，
・•・方程的解为尸寻
【点拨】本题考査解分式方程：
熟练掌握分式方程的解法及验根是解题的关键.
【例题2】（2020-齐齐哈尔）若关于x的分式方程二=*+5的解为正数，则也的取值范围为（
x-22-x
A.-10B・mW-10
C・・10且m工-6D・m>・10且mH-6
【答案】D
【分析】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求岀加的范闱即可.
【解析】去分母得：
3^=-血5（.y-2）,
解得：
戸畔，
由方程的解为正数，得到硏10>0,且加40H4,
则m的范|T；I为m>■10且加工-6»
【对点练习】（2019>江苏宿迁）关于x的分式方程一L今纟=1的解为正数，则&的取值范国是_
x-22-x
【解析】去分母得：
护2=龙・2,
解得：
天
5•a>0.
解得：
&V5,
当y=5・a=2时.a=3不合题意,
故a<5且aH3・
【点拨】直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得岀a的取值范I乩进而结合分式方程有意义的条件分析得出答案.
【例题3]（2020-长沙）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5。
产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同.设更新技术前每天生产x万件产品，依题意得（）
500
工+30
400_500
x-30x
500
x-30
400_500
”+30—x
【答案】B
【分析】设更新技术前每天生产X万件产品，则更新技术后每天生产（时30）万件产品，根据工作时间=工作总量三工作效率结合现在生产500万件产品所需时间-与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，即可得岀关于x的分式方程，此题得解.
【解析】设更新技术前每天生产”万件产品，则更新技术后每天生产（対30）万件产品，
500
x+30
【对点练习】（2019吉林长春）为建国70周年献礼，某灯具厂il•划加工9000套彩灯，为尽快完成任务，实
际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务。
求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数昼
【答案】300套.
【解析】该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x套，则实际每天加工彩灯的数虽:
为1.2.丫套,
解得：
W300,
经检验，2300是原方程的解，且符合题意。
【点拨】这样考虑理解容易一些：
原计划m天完成，有mx二9000,实际（m-5）天完成，有（m-5）2x=9000.
【例题4]（2020贵州黔西南）“节能环保，绿色岀行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车岀行，也给自行车商家带来商机.某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元.今年该型自行车每辆售价预讣比去年降低200元.若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%,求：
（1）A型自行车去年每辆售价多少元：
（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数疑的两倍.已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多.
【答案】
（1）2000元：
（2）A型车20俩，B型车40辆.
【解析】
（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x-200）元，由卖出的数虽:
相同列出方程求解即可：
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60-a）辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范用就可以求岀y的最大值.
【详解】解：
（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x-200）元，由题总:
，得
80000_80000（1—10%）
xx-200
解得：
x=2000.经检验，X二2000是原方程的根.
答：
去年A型车每辆售价为2000元：
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60・a）辆，获利y元，由题意，得
y=a+（60-a）»
y=~300a-36000・
IB型车进货数量不超过A型车数星的两倍，
.*.60・
•"220.
Vy=-300a+36000・
.\k=-300<0,
・・・y随a的增大而减小.
/.a=20时，y爪尸30000元.
•••B型车的数量为:
60-20=40辆.
•••当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大.
【点拨】本题考査分式方程的应用；一元一次不等式的应用.
【对点练习】（2020•广东）某社区拟建月，万两类摊位以搞活“地摊经济”，每个川类摊位的占地面积比每个万类摊位的占地而积多2平方米.建川类摊位每平方米的费用为40元，建万类摊位每平方米的费用为30元.用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样而积建万类摊位个数的右
（1）求每个月，万类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社区拟建月，万两类摊位共90个，且万类摊位的数量不少于月类摊位数屋的3倍.求建造这90个摊位的最大费用.
【答案】见解析。
【分析】
（1）设每个万类摊位的占地而积为平方米，则每个兔类摊位占地而枳为（対2）平方米，根据用60平方米建月类摊位的个数恰好是用同样而积建〃类摊位个数的?
这个等量关系列岀方程即町・
（2）设建夹摊位a个，则建乃摊位（90-a）个，结合“万类摊位的数虽:
不少于川类摊位数量的3倍”列出不等式并解答.
【解析】
（1）设每个万类摊位的占地而积为『平方米，则每个月类摊位占地面枳为（卅2）平方米，
根据题意得:
弓=竺卡，
x+2x5
解得：
x=3,
经检验x=3是原方程的解，
所以3+2=5,
答：
每个力类摊位占地而枳为5平方米，每个尸类摊位的占地而积为3平方米：
（2）设建月摊位a个，则建万摊位（90-a）个，
由题意得：
90■
解得&W22.5,
V建A类摊位每平方米的费用为40元，建乃类摊位每平方米的费用为30元，
・••要想使建造这90个摊位有最大费用，所以要多建造乩类摊位，即占取最大值22时，费用最大，
此时最大费用为:
22X40X5+30X（90-22）X3=10520,
答：
建适这90个摊位的最大费用是10520元.
1・（2020-黑龙江）已知关于龙的分式方程三-4=刍的解为正数，则&的取值范帀是（）
【答案】B
【分析】表示岀分式方程的解，根据解为正数确定出R的范用即可.
【解析】分式方程三一4=亠，
x-22-x
去分母得：
jv-4（—2）=・応
去括号得：
X-4a^8=-k,
解得：
尸竽，
由分式方程的解为正数，得到乎X）,且竽工2,
解得：
k>■8且kf•2.
2.（2020-泸州）已知关于x的分式方程禽+2=-总的解为非负数，则正整数也的所有个数为（）
A.3B.4C.5D.6
【答案】B
【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，可得答
案.
【解析】去分母，得：
硏2（jv-1）=3,
移项、合并，得：
尸宁，
•・•分式方程的解为非负数，
5-011.———工1,
2
解得：
mW5且也工3,
・•・正整数解有1，2,4,5共4个.
3・（2020・成都）已知x=2是分式方程夕+斗=1的解，那么实数&的值为（）
【答案】B
【分析】把龙=2代入分式方程讣算即町求出k的值.
【解析】把尸2代入分式方程得：
—1=1，
解得：
k=4・
4.（2019•广东省广州市）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时
间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（）
120-150
120-150
TPs
120150
120-150
■~T
【答案】
【解析】设甲每小时做匸个零件，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等得出方程解答
即可.
设甲毎小时做M冬件，可得:
号塢
【答案】A
【解析】知识点是分式方程的增根。
•••方程的解是非正数,
当x-3二0即x=3时，3二m-3,m=6>
Vm=6不在mW3内>•••mW3.故选A.
6.（2019山东淄博）解分式方程与=亠-2时，去分母变形正确的是（）
x-22-x
A.-l+x=-1-2（af-2）B・x=l-2（at-2）
C・-1+jv=1+2（2-x）D・1-jv=-1-22）
【答案】D
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，即可得到结果.
去分母得：
1-.Y=-1-2（-Y-2）
x2_l
7.（2019•广西贵港）若分式J丄的值等于0,则w的值为（）
x+1
A.±1B・0C・・ID.1
【答案】D
【解析】化简灯上字-31）（—1）—i=oHP可求解。
x+1x+1
x—1；
经检验:
-Y=1是原分式方程的解。
8.（2019-湖北十堰）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成•现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务.设原计划每天铺设钢轨》米，则根拯题意所列的方程是（）
【答案】A
【解析】考查由实际问题抽象出分式方程，关键是设出未知数以时间为等量关系列出方程.
设原il•划每天铺设钢轨x米，根据如果实际施工时每天比原汁划多铺设20米，就能提前15天完成任务可列方程.
设原计划每天铺设钢轨从恠警鶴机
9.（2019-山东省济宁市）世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G基站布设，“孔夫子家”自此有了5G网络.5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快45秒，求这两种网络的雌值速率•设4G网络的峰值速率为每秒传输w兆数据，依题意，可列方程是（）
C.»_500=45D.型.匹也=45
XXXX
【答案】A
【解析】由实际问题抽象出分式方程直接利用5G网络比4G网络快45秒得出等式进而得出答案.
设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题总，可列方程是：
500_500=45
X10x
10.
（2019*江苏苏州）小明5元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬而笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软而笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为X元，根据题意可列出的方程为（）
【答案】A
【解析】考察分式方程的应用，简单题型匚找到等量关系为两人买的笔记本数量
二、填空题
11.（2020-徐州）方程?
=±的解为.
【答案】x=9.
【分析】根据解分式方程的过程进行求解即可.
【解析】去分母得：
9（x-1）=8x
9x-9=8.y
x=9
检验：
把x=9代入x（x-l）HO,
所以x=9是原方程的解.
12・（2020*盐城）分式方程二=0的解为*=
X
【答案】1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到X的值，经检验即可得到分式方程的解.
【解析】分式方=0,
X
去分母得：
—1=0,
解得：
x=l,
经检验是分式方程的解.
13.（2020＜元）关于x的分式方程启+2=0的解为正数，则也的取值范用是•
【分析】首先解方程求得方程的解，根据方程的解是正数，即可得到一个关于山的不等式，从而求得皿的范a.
【解析】去分母得：
z^4.y-2=0,
解得：
4
•••关于x的分式方程宀+2=0的解是正数,
2x-l
4
m<2、
V2x-1H0,
•I加的取值范国是m<2且zzrHO.
14.（2019-甘肃）分式方程一^-=二的解为—・
x+1x+2
【答案】尸吉
2
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到X的值，经检验即可得到分式方程的解.
去分母得：
3a+6=5对5,
解得：
尸丄
2
经检验-v=i是分式方程的解.
15.（2019・山东省滨州市）方程空+1=的解是_・
x-22-x
【解析】本题考査了解分式方程.
（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，
（2）解分式方程一定注意要验根.
去分母，得jv-3+.y-2=-3,
移项、合并，得2x=2,
解得-r=l.
检验：
当x=l时，2H0,
所以，原方程的解为x=l
16.（2019湖北黄石）分式方程：
——厶=1的解为_.
x-4xZ——
【答案】x=-1
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到X的值，经检验即可得到分式方程的解.
去分母得：
4-.y=Y-4x,即V-3.V-4=0,
解得：
y=4或.y=-1,
经检验x=4是增根，分式方程的解为a=-1
17.（2019四川巴中）若关于％的分式方程一竺L=2加有增根，则山的值为_・
x-22-x
【答案】1
【解析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根.所以应先确上增根的可能值，让最简公分母X
-2=0,得到x=2,然后代入化为整式方程的方程算出加的值.
方程两边都乘x-2、得*■2m=2m（,y-2）
•・•原方程有增根，
•••最简公分母•厂2=0,
当x=2时，m=l
故皿的值是1
18.（2019-江苏宿迁）关于％的分式方程一「今2=1的解为正数，则a的取值范用是_・
x-22-x
a<5且aH3.
【解析】直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得岀a的取值范国，进而结合分式方程有意义的条件分析得出答案.
去分母得：
1-廿2=*-2,
解得：
x=5~a,
5-a>0,
解得：
a<5,
当y=5-a=2时，a=3不合题意，
故a<5且aH3.
19.（2019-贵州省安顺市）某生态示范囲计划种植一批蜂糖李，原汁划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决泄改良蜂糖李品种，改良后平均每亩产疑是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？
设原计划平均亩产量为*万千克,则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为_.
36_36+9_c°
［答案］x!
-5x_•
【解析】设原讣划平均亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5.v万千克，
依题总，得：
坐-西坦=20.
K1.5x
故0系为：
些-聲2=20.
x1.5x
结果乙车比甲车早30分钟到达B地,则甲车速度为km/h.
【答案】80
【解析】分式方程的应用。
设甲车速度为4x,乙车速度为5x,根据题意得：
—=1,
4x5x2
解之，得x=20,甲车速度为4x=80.
三、解答题
21.（2020-湘潭）解分式方程：
丄+2=三.
x-1x-1
【答案】见解析。
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到*的值，经检验即可得到分式方程的解.
去分母得，3+2（-Y-1）f
经检验Y=-1是原方程的解.
所以，原方程的解为：
龙=・1・
22・（2020•陕西）解分式方程:
乎-三=1・
【答案】见解析。
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求岀整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.
【解析】方程乎-三"去分母得：
％--4x+4-3-y=az-2x、
经检验是分式方程的解.
24.（2020-牡丹江）某商场准备购进儿万两种书包，每个月种书包比万种书包的进价少20元，用700元购进川种书包的个数是用450元购进万种书包个数的2倍，£种书包每个标价是90元，万种书包每个标价是130元.请解答下列问题：
（1）A,万两种书包每个进价各是多少元？
（2）若该商场购进万种书包的个数比月种书包的2倍还多5个，且川种书包不少于18个，购进月，万两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？
（3）该商场按
（2）中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出5个书包赠送给某希望小学，剩余的书包全部售出，英中两种书包共有4个样品，每种样品都打五折，商场仍获利1370元.请直接写出赠送的书包和样品中，方种书包各•有几个？
【答案】见解析。
【分析】
（1）设每个月种书包的进价为x元，则每个万种书包的进价为（时20）元，根据数量=总价十单价结合用700元购进A种书包的个数是用450元购进尸种书包个数的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设该商场购进皿个月种书包，贝9购进（2硏5）个3种书包，根据购进4巧两种书包的总费用不超过5450元且川种书包不少于18个，即可得出关于血的一元一次不等式组，解之即可得出血的取值范用，再结合m为正整数即可得出各进货方案：
（3）设销售利润为*•元，根据总利润=销售每个书包的利润X销售数虽:
，即可得出w关于血的函数关系式，利用一次函数的性质可得岀获得利润最大的进货方案，设赠送的书包中万种书包有a个，样品中万种书包有b个，则赠送的书包中A种书包有（5-a）个，样品中月种书包有（4-b）个，根据利润=销售收入-成本，即可得岀关于a，&的二元一次方程，结合d,b,（5・a）,（4・b）均为正整数，即可求出结论.
【解析】
（1）设每个E种书包的进价为x元，则每个尸种书包的进价为（*20）元，
解得:
-Y=70,
经检验，<=70是原方程的解，且符合题意.
220=90・
答：
每个月种书包的进价为70元，每个万种书包的进价为90元.
（2）设该商场购进m个/种书包,则购进（2血5）个万种书包,
依题总,
m>18
70m+90（2m+S）<5450’
解得：
18WmW20・又Tm为正整数,
•••m可以为18,19,20,
・••该商场有3种进货方案，方案1：
购买18个川种书包，41个万种书包：
方案2：
购买19个月种书包，43个万种书包；方案3：
购买20个力种书包，45个万种书包.
（3）设销售利润为炉元，则萨=（90-70）zzr（130-90）（2矿5）=100/^200.
VA=100>0>
•••附随加的增大而增大，
•••当血=20时，弊取得最大值，此时2/5=45・
设赠送的书包中万种书包有日个，样品中万种书包有&个，则赠送的书包中川种书包有（5-a）个，样品
中力种书包有（4-6）个，
依题意，得：
90X[20-（5・a）-（4-Z>）J+0.5X90（4-Z>）+130（45-a-b）+0.5X130^-70X20-90
X45=1370,
•••b=10-2z
Va,b,（5・d（47均为正整数,
答：
赠送的书包中万种书包有4个，样品中万种书包有2个.
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