三角函数对称轴与对称中心.docx
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三角函数对称轴与对称中心
三角函数对称轴与对称中心
y=sinx对称轴：
x=kπ+π/2（k∈z）对称中心：
（kπ，0）（k∈z）
y=cosx对称轴：
x=kπ（k∈z）对称中心：
（kπ+π/2，0）（k∈z）
y=tanx对称轴：
无对称中心：
（kπ，0）（k∈z）
两角和与差的三角函数
cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin（α±β）=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）
tan（α-β）=（tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）
和差化积公式
sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]
sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]
cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]
cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]
积化和差公式
sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]
cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]
cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]
sinα·sinβ=-（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]
倍角公式
sin（2α）=2sinα·cosα=2/（tanα+cotα）
cos（2α）=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α
tan（2α）=2tanα/（1-tan²α）
cot（2α）=（cot²α-1）/（2cotα）
sec（2α）=sec²α/（1-tan²α）
csc（2α）=1/2*secα·cscα
三倍角公式
sin（3α）=3sinα-4sin³α=4sinα·sin（60°+α）sin（60°-α）
cos（3α）=4cos³α-3cosα=4cosα·cos（60°+α）cos（60°-α）
tan（3α）=（3tanα-tan³α）/（1-3tan²α）=tanαtan（π/3+α）tan（π/3-α）
cot（3α）=（cot³α-3cotα）/（3cotα-1）
n倍角公式
sin（nα）=ncos^（n-1）α·sinα-C（n,3）cos^（n-3）α·sin^3α+C（n,5）cos^（n-5）α·sin^5α-…
cos（nα）=cos^nα-C（n,2）cos^（n-2）α·sin^2α+C（n,4）cos^（n-4）α·sin^4α-…
半角公式
sin（α/2）=±√（（1-cosα）/2）
cos（α/2）=±√（（1+cosα）/2）
tan（α/2）=±√（（1-cosα）/（1+cosα））=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα
cot（α/2）=±√（（1+cosα）/（1-cosα））=（1+cosα）/sinα=sinα/（1-cosα）
sec（α/2）=±√（（2secα/（secα+1））
csc（α/2）=±√（（2secα/（secα-1））
辅助角公式
Asinα+Bcosα=√（A²+B²）sin（α+arctan（B/A））
Asinα+Bcosα=√（A²+B²）cos（α-arctan（A/B））
万能公式
sin（a）=（2tan（a/2））/（1+tan²（a/2））
cos（a）=（1-tan²（a/2））/（1+tan²（a/2））
tan（a）=（2tan（a/2））/（1-tan²（a/2））
降幂公式
sin²α=（1-cos（2α））/2=versin（2α）/2
cos²α=（1+cos（2α））/2=covers（2α）/2
tan²α=（1-cos（2α））/（1+cos（2α））
三角和的三角函数
sin（α+β+γ）=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos（α+β+γ）=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan（α+β+γ）=（tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ）÷（1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·t
角的三角函数值
正弦
余弦
正切
余切
0
0
1
0
不存在
π/6
1/2
√3/2
√3/3
√3
π/4
√2/2
√2/2
1
1
π/3
√3/2
1/2
√3
√3
π/2
1
0
不存在
0
幂级数
c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn（n=0..∞）
c0+c1（x-a）+c2（x-a）2+...+cn（x-a）n+...=∑cn（x-a）n（n=0..∞）
它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中c0,c1,c2,...及a都是常数,这种级数称为幂级数.
泰勒展开式
泰勒展开式又叫幂级数展开法
f（x）=f（a）+f'（a）/1!
*（x-a）+f''（a）/2!
*（x-a）2+...+f（n）（a）/n!
*（x-a）n+……
实用幂级数：
e^x=1+x+x^2/2!
+x^3/3!
+……+x^n/n!
+……
ln（1+x）=x-x^2/2+x^3/3-……+（-1）^（k-1）*（x^k）/k（|x|<1）
sinx=x-x^3/3!
+x^5/5!
-……+（-1）^（k-1）*（x^（2k-1））/（2k-1）!
+…….（-∞ cosx=1-x^2/2!
+x^4/4!
-……+（-1）k*（x^（2k））/（2k）!
+……（-∞ arcsinx=x+1/2*x^3/3+1*3/（2*4）*x^5/5+……（|x|<1）
arccosx=π-（x+1/2*x^3/3+1*3/（2*4）*x^5/5+……）（|x|<1）
arctanx=x-x^3/3+x^5/5-……（x≤1）
sinhx=x+x^3/3!
+x^5/5!
+……+（-1）^（k-1）*（x^2k-1）/（2k-1）!
+……（-∞ coshx=1+x^2/2!
+x^4/4!
+……+（-1）k*（x^2k）/（2k）!
+……（-∞ arcsinhx=x-1/2*x^3/3+1*3/（2*4）*x^5/5-……（|x|<1）
arctanhx=x+x^3/3+x^5/5+……（|x|<1）
在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。
傅立叶级数
傅里叶级数又称三角级数
f（x）=a0/2+∑（n=0..∞）（ancosnx+bnsinnx）
a0=1/π∫（π..-π）（f（x））dx
an=1/π∫（π..-π）（f（x）cosnx）dx
bn=1/π∫（π..-π）（f（x）sinnx）dx
三角函数的数值符号
正弦 第一，二象限为正， 第三，四象限为负
余弦 第一，四象限为正 第二，三象限为负
正切 第一，三象限为正 第二，四象限为负
编辑本段相关概念
三角形与三角函数
1、正弦定理：
在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R．（其中R为外接圆的半径）
2、第一余弦定理：
三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和，即a=ccosB+bcosC
3、第二余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方之和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即a^2=b^2+c^2-2bc·cosA
4、正切定理（napier比拟）：
三角形中任意两边差和的比值等于对应角半角差和的正切比值，即（a-b）/（a+b）=tan[（A-B）/2]/tan[（A+B）/2]=tan[（A-B）/2]/cot（C/2）
5、三角形中的恒等式：
对于任意非直角三角形中,如三角形ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
证明:
已知（A+B）=（π-C）
所以tan（A+B）=tan（π-C）
则（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）=（tanπ-tanC）/（1+tanπtanC）
整理可得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
类似地,我们同样也可以求证:
当α+β+γ=nπ（n∈Z）时，总有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ
三角函数图像：
定义域和值域
sin（x）,cos（x）的定义域为R,值域为〔-1,1〕
tan（x）的定义域为x不等于π/2+kπ,值域为R
cot（x）的定义域为x不等于kπ,值域为R
y=a·sin（x）+b·cos（x）+c的值域为[c-√（a²+b²）,c+√（a²+b²）]
初等三角函数导数
三角函数图像
y=sinx---y'=cosx
y=cosx---y'=-sinx
y=tanx---y'=1/cos^2x=sec^2x
y=cotx---y'=-1/sin^2x=-csc^2x
y=secx---y'=secxtanx
y=cscx---y'=-cscxcotx
y=arcsinx---y'=1/√（1-x²）
y=arccosx---y'=-1/√（1-x²）
y=arctanx---y'=1/（1+x²）
y=arccotx---y'=-1/（1+x²）
倍半角规律
如果角a的余弦值为1/2，那么a/2的余弦值为√3/2
反三角函数
三角函数的反函数，是多值函数。
它们是反正弦Arcsinx，反余弦Arccosx，反正切Arctanx，反余切Arccotx等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。
为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y为反正弦函数的主值，记为y=arcsinx；相应地，反余弦函数y=arccosx的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctanx的主值限在-π/2 反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。
其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了arc+函数名的形式表示反三角函数，而不是f-1（x）.
反三角函数主要是三个：
y=arcsin（x），定义域[-1,1]，值域[-π/2,π/2]，图象用红色线条；
y=arccos（x），定义域[-1,1]，值域[0,π]，图象用兰色线条；
y=arctan（x），定义域（-∞,+∞），值域（-π/2,π/2），图象用绿色线条；
sinarcsin（x）=x,定义域[-1,1],值域【-π/2,π/2】
证明方法如下：
设arcsin（x）=y,则sin（y）=x,将这两个式子代入上式即可得
其他几个用类似方法可得。
编辑本段高等数学内容
总体情况
高等代数中三角函数的指数表示（由泰勒级数易得）：
sinz=[e^（iz）-e^（-iz）]/（2i）
cosz=[e^（iz）+e^（-iz）]/2
tanx=[e^（iz）-e^（-iz）]/[ie^（iz）+ie^（-iz）]
泰勒展开有无穷级数，e^z=exp（z）＝1＋z/1！
＋z^2/2！
＋z^3/3！
＋z^4/4！
＋…＋z^n/n！
＋…≦
此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
·三角函数作为微分方程的解：
对于微分方程组y=-y'';y=y''''，有通解Q,可证明
Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。
补充：
由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数－－双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。
:
复数域内正余弦函数的性质
（1）对于z为实数y来说，复数域内正余弦函数的性质与通常所说的正余弦函数性质是一样的。
（2）复数域内正余弦函数在z平面是解析的。
（3）在复数域内不能再断言|sinz|≦1,|cosz|≦1。
（4）sinz、cosz分别为奇函数，偶函数，且以2π为周期。
编辑本段三角函数的性质定理
三角函数，正如其名称那样，在三角学中是十分重要的，主要是因为下列两个结果。
正弦定理
于边长为?
a,?
b?
和?
c?
而相应角为?
A,?
B?
和?
C的三角形，有：
sinA/a=sinB/b=sinC/c
也可表示为：
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
其中R是三角形的外接圆半径。
它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用上述正弦的定义来证明。
在这个定理中出现的公共数（sinA）/a?
是通过?
A,?
B?
和?
C?
三点的圆的直径的倒数。
正弦定理用于在一个三角形中
（1）已知两个角和一个边求未知边和角
（2）已知两边及其一边的对角求其他角和边的问题。
这是三角测量中常见情况。
余弦定理
对于边长为?
a,?
b?
和?
c?
而相应角为?
A,?
B?
和?
C的三角形，有：
c^2=a^2＋b^2－2ab·cosC.
也可表示为：
cosC=（a^2＋b^2－c^2）/2ab.
这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。
余弦定理用于在一个三角形的两个边和一个角已知时确定未知的数据。
如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的（边-边-角）。
要小心余弦定理的这种歧义情况。
正切定理
对于边长为?
a,?
b?
和?
c?
而相应角为?
A,?
B?
和?
C的三角形，有：
（a+b）/（a-b）=tan[（A+B）/2]/tan[（A-B）/2]
编辑本段三角函数在解三次方程中的应用
一元三次方程的解是三个不相等的实根时，可用三角函数知识求出方程的解。
一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）
重根判别式：
A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd。
总判别式：
Δ=B^2－4AC。
当Δ=B^2－4AC＜0时，盛金公式④：
X⑴=（－b－2A^（1/2）cos（θ/3））/（3a）；
X（2，3）=（－b＋A^（1/2）（cos（θ/3）±3^（1/2）sin（θ/3）））/（3a），
其中θ=arccosT，T=（2Ab－3aB）/（2A^（3/2）），（A＞0，－1＜T＜1）。
在利用卡尔丹公式解三次方程时，对于x^3+px+q=0，有
x1=√（-p/3）cos（Φ/3）
x2=√（-p/3）cos（Φ/3+2π/3）
x3=√（-p/3）cos（Φ/3+4π/3）
对于一般的方程ax^3+bx^2+cx+d=0，只需令x=y-b/（3a）即可化为上式求解。
例：
一建筑物的楼顶要建一个储水池，按施工的设计要求，这个储水池的长、宽、高之和为70.5dm（为了减少占用楼顶面积，取长＞高＞宽），满储水量为10082.44（dm）^3，立体对角线为1903.17dm，问：
如何施工才能达到设计要求？
解：
设取长、宽、高分别为X⑴、X⑵、X⑶，依题意：
X⑴＋X⑵＋X⑶=70.5；
X⑴·X⑵·X⑶=10082.44；
X⑴^2＋X⑵^2＋X⑶^2=1903.17。
解这个方程组。
根据韦达定理，得一元三次方程：
X^3－70.5X^2＋1533.54X－10082.44=0
a=1，b=－70.5，c=1533.54，d=－10082.44。
A=369.63；B=－17372.61；C=219308.8716，
根据盛金判别法，此方程有三个不相等的实根。
应用盛金公式④求解。
θ=90°。
把有关值代入盛金公式④，得：
X⑴=12.4（dm）；X⑵=34.6（dm）；X⑶=23.5（dm）。
经检验，结果正确。
因为取长＞高＞宽，
所以，应取长为34.6dm；高为23.5dm；宽为12.4dm来进行施工。
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