人教版七年级数学上册培优讲义《第12讲平行线的判定及性质》.docx

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人教版七年级数学上册培优讲义《第12讲平行线的判定及性质》

12平行线的判定及性质

知识目标

目标一熟练掌握平行线三个判定方法，学会证明题的步骤书写格式

目标二熟练掌握平行线三个性质，理解区分平行线的判定和性质

目标三灵活运用平行线的判定和性质解平行线的综合题

模块一平行线的判定

知识导航

根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行．这就需要更简单易行的判定方法来判定两条直线平行．

判定方法1：

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．

简称：

同位角相等，两直线平行．

判定方法2：

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．

简称：

内错角相等，两直线平行．

判定方法3：

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．

简称：

同旁内角互补，两直线平行．

如上图：

若已知∠1＝∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；

若已知∠1＝∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；

若已知∠1＋∠4＝180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．

例1

（1）如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（　　）．

A．两直线平行，同位角相等；

B．内错角相等，两直线平行；

C．同旁内角互补，两直线平行；

D．同位角相等，两直线平行．

（2）如图，点E在AC的延长线上，给出下列条件：

①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠A＝∠DCE；④∠D＝∠DCE；⑤∠A＋∠ABD＝180°；⑥∠A＋∠ACD＝180°⑦AB＝CD．能说明AC∥BD的条件有__________________．

练

（1）如图，下列说法正确的有__________________．

①由∠1＝∠2，得AB∥CD；

②由∠5＝∠6，∠3＝∠4，得AB∥CD；

③由∠1＋∠3＝∠2＋∠4，得AE∥CH；

④由∠SAF＝∠SCG，得AF∥CG．

（2）如图，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是（　　）．

A．∠2＝∠3B．∠1＝∠3C．∠4＝∠5D．∠2＋∠4＝180°

例2

如图，已知∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°，求证：

AB∥EF．

证明：

∵∠1＝∠2，（　　）

∴AB∥______．（_______________，__________________）

∵∠3＋∠4＝180°，（　　）

∴CD∥_______，（_______________，__________________）

∵AB∥_______，CD∥_______，（　　）

∴AB______EF．（_________________________________）

练

如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，∠CAE＝∠DBF，求证：

AE∥BF．

证明：

∵AC⊥AB，BD⊥AB，（　　）

∴∠CAB＝90°，∠______＝90°，（　　）

∴∠CAB＝∠______，（　　）

∵∠CAE＝∠DBF，（　　）

∴∠BAE＝∠______，（　　）

∴_____∥_____．（_______________，__________________）

例3

（1）如图，∠1＝∠2，∠CNF＝∠BME，证明：

AB∥CD，MP∥NQ．

（2）如图，∠1＝∠A，∠2与∠B互余，AC⊥BC．求证：

AC∥DE，AB∥CD．

（3）如图，∠B＝102°，∠DEF＝70°，求证：

AB∥CD．

（4）如图，∠A＋∠B＝180°，∠EFC＝∠DCG，求证：

AD∥EF．

练

如图，FE⊥CD于点E，∠FEH＝64°，∠HGB＝26°，求证：

AB∥CD．

模块二平行线的性质

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利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如图已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的关系．这就是平行线的性质．

性质1：

两条直线被第三条直线所截，同位角相等．

简称：

两直线平行，同位角相等

性质2：

两条直线被第三条直线所截，内错角相等

简称：

两直线平行，内错角相等

性质3：

两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补

简称：

两直线平行，同旁内角互补

例4

（1）如图，已知AB∥CD，∠1＝70°，∠2＝40°，求∠3的度数．

（2）如图，已知AB∥CD，∠1＝50°，GM平分∠HGB交直线CD于点M，求∠2的度数．

（3）如图，已知BC∥AD，CA平分∠BCD，∠1＝35°，求∠D的度数．

练

如图，已知AB∥CD，AD⊥AC，∠ADC＝32°，求∠CAB的度数．

总结归纳

平行线的判定是已知同位角、内错角、或同旁内角的数量关系，来判定两直线平行．

平行线的性质是已知两直线平行，从而得到同位角、内错角、同旁内角的数量关系．

“同位角相等，两直线平行”和“两直线平行，同位角相等”这两个依据，前后顺序不同，含义也不一样，一个是判定平行，一个是得到角相等，二者不要弄混．

模块三平行线的判定与性质综合

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一般，题目会综合考查平行线的判定和性质，例如，可以先由题目中某些角相等或互补的条件，得到两条线相互平行（判定）；再由此平行线推出其它的同位角、内错角相等或同旁内角互补（性质），从而得到新的角度关系．

熟练掌握、灵活运用平行线的判定和性质，是解平行线导角以及证明类题型的关键．

例5

（2013外校七上期末）如图，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠1＋∠FEA＝180°．求证：

∠CDG＝∠B．

练

如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，求证：

AB∥CD．

例6

（2013开珞路七上期末）如图，点E在直线BC上，直线AE交CD于F，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：

AD∥BE．

练

（2013二中七上期末）如图，已知∠1与∠2互补，∠3＝∠B，求证：

∠AFE＝∠ACB．

例7

如图，AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE．

（1）若∠ABC＝40°，∠CDE＝30°，求∠BFD；

（2）求∠C和∠F的关系．

练

如图，AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，若∠ABC＝140°，∠CD3＝130°，分别求出∠C和∠F的度数．

[课后作业]

第12讲平行线的判定及性质

1.下列说法错误的有__________________．

①不相交的两条直线是平行线．

②两条直线被第三条直线所截，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补．

③三条直线a、b、c，若a∥b，b∥c，则a∥c；同理：

若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．

④已知∠α的两边与∠β的两边平行，若∠α＝48°，则∠β＝48°．

⑤若AB∥CD，CD∥EF，则AB∥EF．理由是等量代换．

⑥有公共端点且没有公共边的两个角是对顶角．

⑦同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行．

2.如右图，已知AB∥CD，AD∥BC，∠B＝60°，∠EDA＝50°，则∠CDO＝_______．

3.如图，已知AB∥CD，CM平分∠BCD，∠B＝74°，CM⊥CN，则∠NCE的度数是_________．

4.如图，∠1＝∠A，∠2与∠B互余，DE⊥BC于点F，求证AB∥CD．

5.如图，CD是∠ACB的角平分线，DE∥AC交BC于点E，EF∥CD交AB于点F．

求证：

EF平分∠BED．

6.如图，BD平分∠ABC，F在AB上，G在AC上，FC与BD相交于点H，∠GFH＋∠BHC＝180°，求证：

∠1＝∠2．

7.（2014洪山区七下期中）如图，点E在AB上，点D在AC上，点F、G分别在AC、BC延长线上，CE平分∠ACB，交BD于O，且∠F＝∠G，∠EOD＋∠OBF＝180°，DG和CE平行吗？

请说明理由．

8.（2013硚口区七下期中）如图，MG是∠BME的平分线，NH是∠CNF的平分线，且∠BME＝∠CNF．求证①AB∥CD；②MG∥NH．

挑战压轴题

（2013江岸区七上期末）已知，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．

（1）如图1．若∠AOC＝30°．求∠DOE的度数；

（2）在图1中，若∠AOC＝a，直接写出∠DOE的度数（用含a的代数式表示）；

（3）将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置．

①探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由．

②在∠AOC的内部有一条射线OF，满足：

∠AOC－4∠AOF＝2∠BOE＋∠AOF，试确定∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，说明理由．