高考数学题难题巧解思路与方法.docx

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高考数学题难题巧解思路与方法

高考数学题难题巧解思路与方法

一、定义法求解

所谓定义法，就是直接用数学定义解题。

选择题的命题侧重于对圆锥曲线定义的考查，凡题目中涉及焦半径、通径、准线、离心率及离心率的取值范围等问题，用圆锥曲线的第一和第二定义解题，是一种重要的解题策略。

【例1】（2008年，山东卷，理10）设椭圆C1的离心率为

，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（）

（A）

（B）

（C）

（D）

【巧解】由题意椭圆的半焦距为

，双曲线

上的点

满足

　∴点

的轨迹是双曲线，其中

，

，∴

，故双曲线方程为

，∴选（A）

巧练一：

（2008年，陕西卷）双曲线

的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）

A．

B．

C．

D．

巧练二：

（2008年，辽宁卷）已知点P是抛物线

上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）

（A）

（B）3（C）

（D）

【例2】（2009年高考福建卷，理13）过抛物线

的焦点F作倾斜角为450的直线交抛物线于A、B两点，线段AB的长为8，则

．

【巧解】依题意直线

的方程为

，由

消去

得：

，设

，

，∴

，根据抛物线的定义。

，

，∴

，∴

，

故本题应填2。

二、代入法求解

若动点

依赖于另一动点

而运动，而

点的轨迹方程已知（也可能易于求得）且可建立关系式

，

，于是将这个

点的坐标表达式代入已知（或求得）曲线的方程，化简后即得

点的轨迹方程，这种方法称为代入法，又称转移法或相关点法。

【例1】（2009年高考广东卷）已知曲线

：

与直线

：

交于两点

和

，且

，记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D.设点

是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合.若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；

【巧解】联立

与

得

，则

中点

，

设线段

的中点

坐标为

，则

，

即

，又点

在曲线

上，

∴

化简可得

，又点

是

上的任一点，

且不与点

和点

重合，则

，即

，

∴中点

的轨迹方程为

（

）.

【例2】（2008年，江西卷）设

在直线

上，过点

作双曲线

的两条切线

、

，切点为

、

，定点M

。

过点A作直线

的垂线，垂足为N，试求

的重心G所在的曲线方程。

【巧解】设

，由已知得到

，且

，

，

（1）垂线

的方程为：

，

由

得垂足

，设重心

所以

解得

由

可得

即

为重心

所在曲线方程

巧练一：

（2005年，江西卷）如图，设抛物线

的焦点为F，动点P在直线

上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.，求△APB的重心G的轨迹方程.

巧练二：

（2006年，全国I卷）在平面直角坐标系

中，有一个以

和

为焦点、离心率为

的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量

，求点M的轨迹方程

三、直接求解法

直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法叫直接法。

从近几年全国各地的高考数学试题来看，绝大大部分选择题的解答用的是此法。

但解题时也要“盯住选项特点”灵活做题，一边计算，一边对选项进行分析、验证，或在选项中取值带入题设计算，验证、筛选而迅速确定答案。

【例1】（2009年高考全国II卷）已知双曲线

的右焦点为F，过F且斜率为

的直线交C于A、B两点。

若

，则C的离心率为（）

（A）

（B）

（C）

（D）

【巧解】设

，

，

，由

，得

∴

，设过

点斜率为

的直线方程为

，

由

消去

得：

，

∴

，将

代入得

化简得

，∴

，

化简得：

，∴

，

，即

。

故本题选（A）

【例2】（2008年，四川卷）设定义在

上的函数

满足

，若

，则

（）

（A）13（B）2（C）

（D）

【巧解】∵

，∴

∴函数

为周期函数，且

，∴

故选（C）

巧练一：

（2008年，湖北卷）若

上是减函数，则b的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

巧练二：

（2008年，湖南卷）长方体ABCD—A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=

AA1=1，则顶点A、B间的球面距离是（）

A．

B．

C．

D．

四、向量坐标法

向量坐标法是一种重要的数学思想方法，通过坐标化，把长度之间的关系转化成坐标之间的关系，使问题易于解决，并从一定程度上揭示了问题的数学本质。

在解题实践中若能做到多用、巧用和活用，则可源源不断地开发出自己的解题智慧，必能收到事半功倍的效果。

【例1】（2008年，广东卷）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若

=a，

=b，则

=（）

A．

a+

bB．

a+

bC．

a+

bD．

a+

b

【巧解】如图所示，选取边长为2的正方形

则

，

，

，

，

，

∴直线

的方程为

，联立

得

∴

，设

，则

∴

解之得

，

，∴

，故本题选B

【例2】已知点

为

内一点，且

0，则

、

、

的面积之比等于（）

A．9：

4：

1B．1：

4：

9C．3：

2：

1D．1：

2：

3

【巧解】不妨设

为等腰三角形，

，建立如图所示的直角坐标系，则点

，

，设

，

∵

0，即

∴

解之得

，

，即

，又直线

的方程为

，则点

到直线

的距离

，∵

，因此

，

，

，故选C

巧练一：

（2008年，湖南卷）设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且

（）

A．反向平行B．同向平行C．互相垂直D．既不平行也不垂直

巧练二：

设

是

内部一点，且

，则

与

面积之比是.

五、查字典法

查字典是大家比较熟悉的，我们用类似“查字典”的方法来解决数字排列问题中数字比较大小的问题，避免了用分类讨论法时容易犯的重复和遗漏的错误，给人以“神来之法”的味道。

利用“查字典法”解决数字比较大小的排列问题的思路是“按位逐步讨论法”（从最高位到个位），查首位时只考虑首位应满足题目条件的情况；查前“2”位时只考虑前“２”位中第“2”个数应满足条件的情况；依次逐步讨论，但解题中既要注意数字不能重复，又要有充分的理论准备，如奇、偶问题，3的倍数和5的倍数的特征，0的特性等等。

以免考虑不全而出错。

【例1】（2007年，四川卷）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（）

（A）288个（B）240个（C）144个（D）126个

【巧解】本题只需查首位，可分3种情况，①个位为0，即

型，首位是2，3，4，5中的任一个，此时个数为

；②个位为2，即

，此种情况考虑到万位上不为0，则万位上只能排3，4，5，所以个数为

；③个位为4，

型，此种特点考虑到万位上不为0，则万位上只能排2，3，5，所以个数为

；故共有

个。

故选（B）

【例2】（2004年全国II卷）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（）

A．56个B．57个C．58个D．60个

【巧解】

（1）查首位：

只考虑首位大于2小于4的数，仅有1种情况：

即

型，此特点只需其它数进行全排列即可。

有

种，

（2）查前２位：

只考虑前“２”位中比３既大又小的数，有4种情况：

，

，

，

型，而每种情况均有

种满足条件，故共有

种。

（3）查前３位：

只考虑前“3”位中既比１大又小于5的数，有4种情况：

，

，

，

型，而每种情况均有

种满足条件，故共有

种。

（3）查前4位：

只考虑前“4”位中既比4大又小于2的数，此种情况只有

23154和43512两种情况满足条件。

故共有

个，故选C

巧练一：

用数字

可以组成没有重复数字，并且不大于4310的四位偶数共有（）

A．110种B．109种C．108种D．107种

巧练二：

（2007年，四川卷）用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字,并且比20000大的五位偶数共有（）

（A）48个（B）36个（C）24个（D）18个

六、挡板模型法

挡板模型法是在解决排列组合应用问题中，对一些不易理解且复杂的排列组合问题，当元素相同时，可以通过设计一个挡板模型巧妙解决，否则，如果分类讨论，往往费时费力，同时也难以解决问题。

【例1】体育老师把9个相同的足球放入编号为1，2，3的三个箱中，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放球方法有（）

A．8种B．10种C．12种D．16种

【巧解】先在2号盒子里放1个小球，在3号盒子里放2个小球，余下的6个小球排成一排为：

，只需在6个小球的5个空位之间插入2块挡板，如：

，每一种插法对应着一种放法，故共有不同的放法为

种.故选B

【例2】两个实数集

，

，若从A到B的映射

使得B中每个元素都有原象，且

，则这样的映射共有（）个

A．

B．

C．

D．

【巧解】不妨设

两个集合中的数都是从小到大排列，将集合

的50个数视为50个相同的小球排成一排为：

，然后在50个小球的49个空位中插入24块木板，每一种插法对应着一种满足条件

对应方法，故共有不同映射共有

种.故选B

巧练一：

两个实数集合A={a1,a2,a3,…,a15}与B={b1,b2,b3,…,b10}，若从A到B的是映射f使B中的每一个元素都有原象，且f（a1）≤f（a2）≤…≤f（a10）

A．

个B．

个C．1015个D．

巧练二：

10个完全相同的小球放在标有1、2、3、4号的四个不同盒子里，使每个盒子都不空的放法有（）种

A．24B．84C．120D．96

七、等差中项法

等差中项法是根据题目的题设条件（或隐含）的特征，联想到等差数列中的等差中项，构造等差中项，从而可使问题得到快速解决，从而使解题过程变得简捷流畅，令人赏心悦目。

【例1】（2008年，浙江卷）已知

，则（）

（A）

（B）

（C）

（D）

【巧解】根据

特征，可得

成等差数列，

为

与

的等差中项。

可设

，

，其中

；则

，

，

又

，故

，

，由选项知应选（C）

【例2】（2008年，重庆卷）已知函数

的最大值为M,最小值为m,则

的值为（）

（A）

（B）

（C）

（D）

【巧解】由

可得，

为

与

的等差中项，

令

，

，其中

，

则

，即

，又

，则

，故

，解之得

，即

，

∴

，故选（C）

巧练：

（2008年，江苏卷）

的最小值.

八、逆向化法