高三四模考试数学理试题.docx
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高三四模考试数学理试题
2021年高三四模考试数学（理）试题
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知全集U={﹣1，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁UA）∪B为（ ）
A．
{1，2，4}
B．
{2，3，4}
C．
{﹣1，2，4}
D．
{﹣1，2，3，4}
考点：
交、并、补集的混合运算．
专题：
计算题．
分析：
利用补集运算求出∁UA，然后直接利用交集运算求解．
解答：
解：
因为集合A={1，2，3}，U={﹣1，1，2，3，4}，
所以∁UA={﹣1，4}，所以（∁UA）∪B={﹣1，4}∪{2，4}={﹣1，2，4}．
故选C．
点评：
本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础的概念题．
2．（5分）如果复数z=，则（ ）
A．
|z|=2
B．
z的实部为1
C．
z的虚部为﹣1
D．
z的共轭复数为1+i
考点：
复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．
专题：
计算题．
分析：
直接利用复数的除法运算化简，求出复数的模，然后逐一核对选项即可得到答案．
解答：
解：
由z=，
所以，z的实部为﹣1，z的虚部为﹣1，
z的共轭复数为﹣1+i，
故选C．
点评：
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
3．（5分）（xx•安徽模拟）已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
双曲线的标准方程；抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而确定双曲线的焦点，求得双曲线中的c，根据离心率进而求得长半轴，最后根据b2=c2﹣a2求得b，则双曲线的方程可得．
解答：
解：
抛物线y2=4x的焦点F（1，0），
双曲线的方程为
故选D
点评：
本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了对圆锥曲线基础知识的综合运用．
4．（5分）已知的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x4的系数为（ ）
A．
5
B．
10
C．
20
D．
40
考点：
二项式系数的性质．
专题：
计算题．
分析：
先对二项式中的x赋值1求出展开式的系数和，列出方程求出n的值，代入二项式；再利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令通项中的x的指数为4，求出r，将r的值代入通项求出二项展开式中x4的系数．
解答：
解：
在中，令x=1得到二项展开式的各项系数和为2n
∴2n=32
∴n=5
∴
其展开式的通项为Tr+1=C5rx10﹣3r
令10﹣3r=4得r=2
∴二项展开式中x4的系数为C52=10
故选B．
点评：
求二项展开式的系数和常用的方法是给二项式中的x赋值；解决二项展开式的特定项问题常用的方法是利用二项展开式的通项公式．
5．（5分）（xx•汕头一模）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1，2…960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落人区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（ ）
A．
15
B．
10
C．
9
D．
7
考点：
系统抽样方法．
专题：
概率与统计．
分析：
根据系统抽样的方法和步骤，我们可将960人分为32组，每组30个人，则由此可计算出做问卷AB的组数和做问卷C的组数，即相应的人数．
解答：
解：
用系统抽样方法从960人中抽取32人
可将960人分为32组，每组30个人
由于分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，
故编号为[1，750]中共有750÷30=25组
即做问卷C的有32﹣25=7组
故做问卷C的人数为7人
故选D
点评：
本题考查的知识点是系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的方法和步骤是解答的关键．
6．（5分）（xx•浙江）把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：
证明题；综合题．
分析：
首先根据函数图象变换的公式，可得最终得到的图象对应的解析式为：
y=cos（x+1），然后将曲线y=cos（x+1）的图象和余弦曲线y=cosx进行对照，可得正确答案．
解答：
解：
将函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得到的图象对应的解析式为：
y=cosx+1，
再将y=cosx+1图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，
得到的图象对应的解析式为：
y=cos（x+1），
∵曲线y=cos（x+1）由余弦曲线y=cosx左移一个单位而得，
∴曲线y=cos（x+1）经过点（，0）和（，0），且在区间（，）上函数值小于0
由此可得，A选项符合题意．
故选A
点评：
本题给出一个函数图象的变换，要我们找出符合的选项，着重考查了函数图象变换规律和函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换公式等知识点，属于基础题．
7．（5分）（xx•青岛模拟）在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+π有零点的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
等可能事件的概率．
专题：
压轴题．
分析：
先判断概率的类型，由题意知本题是一个几何概型，由a，b使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+π有零点，得到关于a、b的关系式，写出试验发生时包含的所有事件和满足条件的事件，做出对应的面积，求比值得到结果．
解答：
解：
由题意知本题是一个几何概型，
∵a，b使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+π有零点，
∴△≥0
∴a2+b2≥π
试验发生时包含的所有事件是Ω={（a，b）|﹣π≤a≤π，﹣π≤b≤π}
∴S=（2π）2=4π2，
而满足条件的事件是{（a，b）|a2+b2≥π}，
∴s=4π2﹣π2=3π2，
由几何概型公式得到P=，
故选B．
点评：
高中必修中学习了几何概型和古典概型两种概率问题，先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．再看是不是几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到．
8．（5分）如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（ ）
A．
0
B．
C．
D．
﹣1
考点：
循环结构．
专题：
图表型．
分析：
题目给出了当型循环结构框图，首先引入累加变量s和循环变量n，由判断框得知，算法执行的是求cos值的和，n从1取到xx．
解答：
解：
第一次循环：
，满足条件n＜xx，n=n+1=2；
第二次循环：
，满足条件n＜xx，n=n+1=3；
第三次循环：
，满足条件n＜xx，n=n+1=4；
第四次循环：
，满足条件n＜xx，n=n+1=5；
第五次循环：
，满足条件n＜xx，n=n+1=6；
第六次循环：
，满足条件n＜xx，n=n+1=7；
第七次循环：
，满足条件n＜xx，n=n+1=8；
…
易知：
S的值以6为周期进行循环，所以最后输出的S的值为﹣1．
故选D．
点评：
本题考查了程序框图中的当型循环结构，当型循环结构是先判断再执行，若满足条件进入循环，否则结束循环，循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累积等，在循环结构中框图中，特别要注意条件应用，如计数变量和累加变量等．
9．（5分）已知实数a，b，c，d成等比数列，且对函数y=ln（x+2）﹣x，当x=b时取到极大值c，则ad等于（ ）
A．
﹣1
B．
0
C．
1
D．
2
考点：
数列与函数的综合．
专题：
计算题．
分析：
首先根据题意求出函数的导数为f′（x）=，再结合当x=b时函数取到极大值c，进而求出b与c的数值，再利用等比数列的性质得到答案．
解答：
解：
由题意可得：
函数y=ln（x+2）﹣x，
所以f′（x）=．
因为当x=b时函数取到极大值c，
所以有且ln（b+2）﹣b=c，
解得：
b=﹣1，c=1．即bc=﹣1．
因为实数a，b，c，d成等比数列，
所以ad=bc=﹣1．
故选A．
点评：
解决此类问题的关键是熟练掌握导数的作用，即求单调区间，求切线方程，以及求函数的极值与最值等．
10．（5分）（2011•双流县三模）定义在R上的函数y=f（x）是减函数，且函数y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s2﹣2s）≤﹣f（2t﹣t2）．则当1≤s≤4时，的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
奇偶性与单调性的综合；函数解析式的求解及常用方法．
专题：
计算题；综合题；压轴题．
分析：
首先由由f（x﹣1）的图象关于（1，0）中心对称知f（x）的图象关于（0，0）中心对称，根据奇函数定义与减函数性质得出s与t的关系式，然后利用不等式的基本性质即可求得结果．
解答：
解析：
由f（x﹣1）的图象关于（1，0）中心对称知f（x）的图象关于（0，0）中心对称，
故f（x）为奇函数得f（s2﹣2s）≤f（t2﹣2t），
从而t2﹣2t≤s2﹣2s，化简得（t﹣s）（t+s﹣2）≤0，
又1≤s≤4，
故2﹣s≤t≤s，从而，而，
故．
故选C．
点评：
题综合考查函数的奇偶性、单调性知识；同时考查由最大值、最小值求取值范围的策略，以及运算能力，属中档题．
二、填空题：
本大题共7小题，每小题5分，共25分.将答案填写在题中的横线上.
11．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为 ．
考点：
数列的求和．
专题：
计算题；等差数列与等比数列．
分析：
等差数列{an}中，由a5=5，S5=15，解得a1=1，d=1，故==，由此利用裂项求和法能够求了数列的前100项和．
解答：
解：
等差数列{an}中，
∵a5=5，S5=15，
∴，
解得a1=1，d=1，
∴an=1+（n﹣1）=n，
∴==，
∴数列的前100项和S100=（1﹣）+（）+（）+…+（）=1﹣=．
故答案为：
．
点评：
本题考查数列的前100项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等差数列的通项公式和前n项和公式的求法，注意裂项求和法的合理运用．
12．（5分）已知函数f（x）满足：
x≥4，则f（x）=；当x＜4时f（x）=f（x+1），则f（2+log23）═ ．
考点：
分段函数的应用．
专题：
计算题．
分析：
判断的范围代入相应的解析式求值即可
解答：
解：
∵2+log23＜4，
∴f（2+log23）=f（3+log23）=f（log224）==
故应填
点评：
本题考查分段函数求值及指数对数去处性质，对答题者对基本运算规则掌握的熟练程度要求较高
13．（5分）一个几何体的三视图如图π×12×1=π所示，则该几何体的体积为 ．
考点：
由三视图求面积、体积．
专题：
计算题．
分析：
由三视图知：
原几何体是一个圆柱和三棱锥的组合体，且圆柱的底面半径为1，高为1，三棱锥的底面是等腰直角三角形，两直角边为，高为，分别求出棱柱与圆柱的体积，进而可求该几何体的体积．
解答：
解：
由三视图知：
原几何体是一个圆柱和三棱锥的组合体，
其中圆柱的底面半径为1，高为1，所以圆柱的体积为π×12×1=π；
三棱锥的底面是等腰直角三角形，两直角边为，高为，
所以三棱柱的体积为，
所以该几何体的体积为．
故答案为．
点评：
本题考查由几何体的三视图求原几何体的体积问题，属于基础题．
14．（5分）已知，，如果与的夹角为锐角，则λ的取值范围是
．
考点：
数量积表示两个向量的夹角．
专题：
计算题．
分析：
根据题意，若与的夹角为锐角，则有•＞0且与不平行，由•＞0可得3λ2+4λ＞0，由若与不平行，可得≠且2λ×3λ≠2λ，解可得λ的范围，综合可得答案．
解答：
解：
根据题意，若与的夹角为锐角，则有•＞0且与不平行，
由•＞0，可得3λ2+4λ＞0，解可得λ＜﹣或λ＞0，
若与不平行，则有≠且2λ×3λ≠2λ，即λ≠0且λ≠，
综合可得，λ＜﹣或λ＞0且λ≠，即λ的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（0，）∪（，+∞）；
故答案为（﹣∞，﹣）∪（0，）∪（，+∞）．
点评：
本题考查数量积的运用，注意向量夹角为锐角的充要条件，其次要排除向量平行的情况．
15．（5分）（不等式选做题）
若不存在实数x使|x﹣3|+|x﹣1|≤a成立，则实数a的取值集合是 {a|a＜2} ．
考点：
绝对值不等式．
专题：
计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析：
根据绝对值的几何意义得y=|x﹣3|+|x﹣1|的几何意义是数轴上点x到点3和1的距离和，由此可得|x﹣3|+|x﹣1|的最小值为2．再由题意不存在实数x使|x﹣3|+|x﹣1|≤a成立，可知|x﹣3|+|x﹣1|的最小值大于a，由此即可得到实数a的取值集合．
解答：
解：
∵设y=|x﹣3|+|x﹣1|，此函数的几何意义是数轴上的点x到点3和1的距离之和，
∴当1≤x≤3时，y=|x﹣3|+|x﹣1|达到最小值，最小值为2．
∵不存在实数x使|x﹣3|+|x﹣1|≤a成立，
∴y=|x﹣3|+|x﹣1|的最小值要大于a，故2＞a，
得实数a的取值集合是{a|a＜2}．
故答案为：
{a|a＜2}
点评：
本题给出含有绝对值的不等式，在不等式解集为空集的情况下求参数a的取值集合．着重考查了绝对值的几何意义、不等式的性质和函数最值的求法等知识，属于中档题．
16．（xx•天津）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为 ．
考点：
与圆有关的比例线段．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
由相交弦定理求出FC，由相似比求出BD，设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD•AD求解．
解答：
解：
由相交弦定理得到AF•FB=EF•FC，即3×1=×FC，FC=2，在△ABD中AF：
AB=FC：
BD，即3：
4=2：
BD，BD=，
设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD•AD，即x•4x=（）2，x=
故答案为：
点评：
本题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系，相交弦定理，切割线定理，相似三角形的概念、判定与性质．
17．（坐标系与参数方程选做题）已知直线l1：
（t为参数）与圆C2：
（θ为参数）的位置关系不可能是 相离 ．
考点：
圆的参数方程；直线的参数方程．
专题：
压轴题；直线与圆．
分析：
先把直线l1与圆C2的参数方程化为普通方程，再利用点到直线的公式求出圆心到直线的距离，再与半径1比较即可．
解答：
解：
把直线l1的方程：
（t为参数）化为直角坐标方程为xtanα﹣y﹣tanα=0，
把圆C2的方程：
（θ为参数）化为直角坐标方程为x2+y2=1，圆心（0，0），半径r=1．
圆心到直线的距离为：
．
点评：
熟练掌握参数方程化为普通方程的方法、点到直线的公式、直线与圆的位置关系的判定方法是解题的关键．
三、解答题：
本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（12分）已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc，求：
（1）2sinBcosC﹣sin（B﹣C）的值；
（2）若a=2，求△ABC周长的最大值．
考点：
解三角形；三角函数的恒等变换及化简求值．
专题：
计算题．
分析：
（1）根据余弦定理表示出cosA，把已知得等式变形后代入即可求出cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数，然后把所求的式子利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，将sinA的值代入即可求出值；
（2）由a=2和sinA的值，根据正弦定理表示出b和c，代入三角形的周长a+b+c中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可得到周长的最大值．
解答：
解：
（1）∵b2+c2=a2+bc，∴a2=b2+c2﹣bc，
结合余弦定理知cosA===，
又A∈（0，π），∴A=，
∴2sinBcosC﹣sin（B﹣C）=sinBcosC+cosBsinC
=sin（B+C）=sin[π﹣A]=sinA=；
（2）由a=2，结合正弦定理得：
====，
∴b=sinB，c=sinC，
则a+b+c=2+sinB+sinC
=2+sinB+sin（﹣B）
=2+2sinB+2cosB=2+4sin（B+），
可知周长的最大值为6．
点评：
此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用两角和与差的正弦函数公式化简求值，掌握正弦函数的值域，是一道中档题．
19．（12分）已知函数f（x）=x2﹣2（n+1）x+n2+5n﹣7．
（Ⅰ）设函数y=f（x）的图象的顶点的纵坐标构成数列{an}，求证：
{an}为等差数列；
（Ⅱ）设函数y=f（x）的图象的顶点到x轴的距离构成数列{bn}，求{bn}的前n项和Sn．
考点：
数列与函数的综合；等差关系的确定；数列的求和．
专题：
综合题．
分析：
（Ⅰ）配方，确定函数y=f（x）的图象的顶点的纵坐标，从而可求数列{an}的通项，再证明为等差数列；
（Ⅱ）确定数列{bn}的通项，进而可分段求出{bn}的前n项和Sn．
解答：
（Ⅰ）证明：
∵f（x）=x2﹣2（n+1）x+n2+5n﹣7=[x﹣（n+1）]2+3n﹣8，
∴an=3n﹣8，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
∴an+1﹣an=3（n+1）﹣8﹣（3n﹣8）=3，
∴数列{an}为等差数列．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
（Ⅱ）解：
由题意知，bn=|an|=|3n﹣8|，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
∴当1≤n≤2时，bn=8﹣3n，
；﹣﹣﹣﹣（8分）
当n≥3时，bn=3n﹣8，Sn=b1+b2+b3+…+bn=5+2+1+…+（3n﹣8）=
．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
点评：
本题考查数列与函数的关系，考查等差数列的证明，考查数列的求和，考查分类讨论的数学思想，正确求数列的通项是关键．
20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底边ABCD为直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．
（Ⅰ）求证：
BE∥平面PAD；
（Ⅱ）若BE⊥平面PCD，求平面EBD与平面CBD夹角的余弦值．
考点：
用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；向量语言表述线面的垂直、平行关系．
专题：
计算题；证明题．
分析：
（I）以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，根据向量的共线关系得到线与线之间的平行关系，得到线与面平行的结论．
（II）根据面面垂直得到线线垂直，得到两个向量的数量积等于0，求出两个字母之间的关系，设出平面的法向量，根据数量积等于0，做出法向量，进而求出面面角．
解答：
解：
设AB=a，PA=b，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（a，0，0），P（0，0，b），C（2a，2a，0），D（0，2a，0），E（a，a，）．
（Ⅰ）证明：
，
∴．
又∵BE⊄平面PAD
∴BE∥平面PAD．
（Ⅱ）∵BE⊥平面PCD，∴BE⊥PC，即．
又∵，
∴．即b=2a
在平面BDE和平面BDC中，
，
∴平面BDE的一个法向量为，
平面BDC的一个法向量为，
∴．
∴平面EBD与平面CBD夹角的余弦值为．
点评：
本题第一小题考查空间中直线与平面的位置关系的证明，主要应用线面平行判断定理，本题获得定理成立的条件方法是向量法，第二小题考查用空间向量求二面角，本题解题的关键是建立坐标系，把难度比较大的二面角的求法，转化成了数字的运算．
21．（12分）（xx•芜湖二模）某品牌的汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如右表所示：
已知分3期付款的频率为0.2，4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元．用η表示经销一辆汽车的利润．
（1）求上表中的a，b值；
（2）若以频率作为概率，求事件A：
“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用3期付款”的概率P（A）；
（3）求η的分布列及数学期望Eη．
考点：
离散型随机变量的期望与方差．
专题：
计算题；应用题；综合题．
分析：
（1）根据分3期付款的频率为0.2，得到a除以100值为0.2，求出a的值，根据总体数是100，求出b的值．
（2）记分期付款的期数为ξ，则ξ的可能取值是1，2，3，4，5，结合变量对应的事件写出变量的概率，根据独立重复试验的概率公式得到购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用3期付款的概率．
（3）η表示经销一辆汽车的利润，η的可能取值为：
1，1.5，2，结合变量对应的事件，根据η和ξ之间的关系，写出变量的概率，得到分布列．
解答：
解：
（1）由得a=20
∵40+20+a+10+b=100∴b=10
（2）记分期付款的期数为ξ，则ξ的可能取值是1，2，3，4，5，
依题意得：
，
，
P（ξ=3）=0.2，
，
则“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用3期付款”的概率
P（A）=0.83+C310.2×（1﹣0.2）2=0.896
（3）∵η的可能取值为：
1，1.5，2（单位万元）
P（η=1）=P（ξ=1）=0.4
P（η=1.5）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.4
P（η=2）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=0.1+0.1=0.2
∴η的分布列为：
∴η的数学期望Eη=1×0.4+1.5×0.4+2×0
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