《抽屉原理练习题》.docx

《抽屉原理练习题》.docx

《《抽屉原理练习题》.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《抽屉原理练习题》.docx（22页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

《抽屉原理练习题》

《抽屉原理练习题》

抽屉原理练习题

　1．木箱里装有红色球３个、黄色球５个、蓝色球７个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？

   解：

把３种颜色看作３个抽屉，若要符合题意，则小球的数目必须大于３，故至少取出４个小球才能符合要求。

    2．一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？

   解：

点数为1（A）、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11（J）、12（Q）、13（K）的牌各取1张，再取大王、小王各1张，一共15张，这15张牌中，没有两张的点数相同。

这样，如果任意再取1张的话，它的点数必为1～13中的一个，于是有2张点数相同。

    3．11名学生到老师家借书，老师是书房中有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本。

试证明：

必有两个学生所借的书的类型相同。

    证明：

若学生只借一本书，则不同的类型有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种，若学生借两本不同类型的书，则不同的类型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六种。

共有10种类型，把这10种类型看作10个“抽屉”，把11个学生看作11个“苹果”。

如果谁借哪种类型的书，就进入哪个抽屉，由抽屉原理，至少有两个学生，他们所借的书的类型相同。

    4．有50名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜，试证明：

一定有两个运动员积分相同。

    证明：

设每胜一局得一分，由于没有平局，也没有全胜，则得分情况只有1、2、3……49，只有49种可能，以这49种可能得分的情况为49个抽屉，现有50名运动员得分，则一定有两名运动员得分相同。

    5．体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿１个球，至多拿２个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？

    解题关键：

利用抽屉原理２。

     解：

根据规定，多有同学拿球的配组方式共有以下９种：

﹛足﹜﹛排﹜﹛蓝﹜﹛足足﹜﹛排排﹜﹛蓝蓝﹜﹛足排﹜﹛足蓝﹜﹛排蓝﹜。

以这９种配组方式制造９个抽屉，将这50个同学看作苹果50÷9＝5……5       

    由抽屉原理２k＝［m/n］＋１可得，至少有６人，他们所拿的球类是完全一致的。

     6．某校有55个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女生多于2人，又知参赛者中任何10人中必有男生，则参赛男生的人生为__________人。

      解：

因为任意分成四组，必有一组的女生多于2人，所以女生至少有4×2＋1＝9（人）；因为任意10人中必有男生，所以女生人数至多有9人。

所以女生有9人，男生有55－9＝46（人）

     7、证明：

从1，3，5，……，99中任选26个数，其中必有两个数的和是100。

     解析：

将这50个奇数按照和为100，放进25个抽屉：

（1，99），（3，97），（5，95），……，（49，51）。

根据抽屉原理，从中选出26个数，则必定有两个数来自同一个抽屉，那么这两个数的和即为100。

     8. 某旅游车上有47名乘客，每位乘客都只带有一种水果。

如果乘客中有人带梨，并且其中任何两位乘客中至少有一个人带苹果，那么乘客中有______人带苹果。

   解析：

由题意，不带苹果的乘客不多于一名，但又确实有不带苹果的乘客，所以不带苹果的乘客恰有一名，所以带苹果的就有46人。

     9. 一些苹果和梨混放在一个筐里，小明把这筐水果分成了若干堆，后来发现无论怎么分，总能从这若干堆里找到两堆，把这两堆水果合并在一起后，苹果和梨的个数是偶数，那么小明至少把这些水果分成了_______堆。

     解析：

要求把其中两堆合并在一起后，苹果和梨的个数一定是偶数，那么这两堆水果中，苹果和梨的奇偶性必须相同。

对于每一堆苹果和梨，奇偶可能性有4种：

（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），所以根据抽屉原理可知最少分了4+1=5筐。

     10.有黑色、白色、蓝色手套各5只（不分左右手），至少要拿出_____只（拿的时候不许看颜色），才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。

     解析：

考虑最坏情况，假设拿了3只黑色、1只白色和1只蓝色，则只有一双同颜色的，但是再多拿一只，不论什么颜色，则一定会有两双同颜色的，所以至少要那6只。

      11.从前25个自然数中任意取出7个数,证明:

取出的数中一定有两个数,这两个数中大数不超过小数的1.5倍.

     证明:

把前25个自然数分成下面6组:

     1;①

     2,3;②

     4,5,6;③

      7,8,9,10;④

      11,12,13,14,15,16;⑤

     17,18,19,20,21,22,23,⑥

     因为从前25个自然数中任意取出7个数,所以至少有两个数取自上面第②组到第⑥组中的某同一组,这两个数中大数就不超过小数的1.5倍.

     12．一副扑克牌有四种花色，每种花色各有13张，现在从中任意抽牌。

问最少抽几张牌，才能保证有4张牌是同一种花色的？

     解析：

根据抽屉原理，当每次取出4张牌时，则至少可以保障每种花色一样一张，按此类推，当取出12张牌时，则至少可以保障每种花色一样三张，所以当抽取第13张牌时，无论是什么花色，都可以至少保障有4张牌是同一种花色，选B。

   　13．从1、2、3、4……、12这12个自然数中，至少任选几个，就可以保证其中一定包括两个数，他们的差是7？

　  【解析】在这12个自然数中，差是7的自然树有以下5对：

｛12，5｝｛11，4｝｛10，3｝｛9，2｝｛8，1｝。

另外，还有2个不能配对的数是｛6｝｛7｝。

可构造抽屉原理，共构造了7个抽屉。

只要有两个数是取自同一个抽屉，那么它们的差就等于7。

这7个抽屉可以表示为｛12，5｝｛11，4｝｛10，3｝｛9，2｝｛8，1｝｛6｝｛7｝，显然从7个抽屉中取8个数，则一定可以使有两个数字来源于同一个抽屉，也即作差为7，所以选择D。

    15．某幼儿班有40名小朋友，现有各种玩具122件，把这些玩具全部分给小朋友，是否会有小朋友得到4件或4件以上的玩具？

    分析与解：

将40名小朋友看成40个抽屉。

今有玩具122件，122=3×40＋2。

应用抽屉原理2，取n＝40，m＝3，立即知道：

至少有一个抽屉中放有4件或4件以上的玩具。

也就是说，至少会有一个小朋友得到4件或4件以上的玩具。

    16．一个布袋中有40块相同的木块，其中编上号码1，2，3，4的各有10块。

问：

一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木块？

    分析与解：

将1，2，3，4四种号码看成4个抽屉。

要保证有一个抽屉中至少有3件物品，根据抽屉原理2，至少要有4×2＋1=9（件）物品。

所以一次至少要取出9块木块，才能保证其中有3块号码相同的木块。

     17．六年级有100名学生，他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、二种或三种。

问：

至少有多少名学生订阅的杂志种类相同？

分析与解：

首先应当弄清订阅杂志的种类共有多少种不同的情况。

　　订一种杂志有：

订甲、订乙、订丙3种情况；

　　订二种杂志有：

订甲乙、订乙丙、订丙甲3种情况；

　　订三种杂志有：

订甲乙丙1种情况。

　　总共有3＋3＋1=7（种）订阅方法。

我们将这7种订法看成是7个“抽屉”，把100名学生看作100件物品。

因为100＝14×7＋2。

根据抽屉原理2，至少有14＋1＝15（人）所订阅的报刊种类是相同的。

     18．篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有81个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友拿的水果是相同的？

    分析与解：

首先应弄清不同的水果搭配有多少种。

两个水果是相同的有4种，两个水果不同有6种：

苹果和梨、苹果和桃、苹果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子。

所以不同的水果搭配共有4＋6＝10（种）。

将这10种搭配作为10个“抽屉”。

　　81÷10=8……1（个）。

　　根据抽屉原理2，至少有8＋1＝9（个）小朋友拿的水果相同。

    19．学校开办了语文、数学、美术三个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）。

问：

至少有多少名学生，才能保证有不少于5名同学参加学习班的情况完全相同？

    分析与解：

首先要弄清参加学习班有多少种不同情况。

不参加学习班有1种情况，只参加一个学习班有3种情况，参加两个学习班有语文和数学、语文和美术、数学和美术3种情况。

共有1＋3＋3＝7（种）情况。

将这7种情况作为7个“抽屉”，根据抽屉原理2，要保证不少于5名同学参加学习班的情况相同，要有学生　7×（5-1）＋1＝29（名）。

     20.在1，4，7，10，…，100中任选20个数，其中至少有不同的两对数，其和等于104。

     分析：

解这道题，可以考虑先将4与100，7与97，49与55……，这些和等于104的两个数组成一组，构成16个抽屉，剩下1和52再构成2个抽屉，这样，即使20个数中取到了1和52，剩下的18个数还必须至少有两个数取自前面16个抽屉中的两个抽屉，从而有不同的两组数，其和等于104；如果取不到1和52，或1和52不全取到，那么和等于104的数组将多于两组。

     解：

1，4，7，10，……，100中共有34个数，将其分成{4，100}，{7，97}，……，{49，55}，{1}，{52}共18个抽屉，从这18个抽屉中任取20个数，若取到1和52，则剩下的18个数取自前16个抽屉，至少有4个数取自某两个抽屉中，结论成立；若不全取1和52，则有多于18个数取自前16个抽屉，结论亦成立。

     21.任意5个自然数中，必可找出3个数，使这三个数的和能被3整除。

     分析：

解这个问题，注意到一个数被3除的余数只有0，1，2三个，可以用余数来构造抽屉。

     解：

以一个数被3除的余数0、1、2构造抽屉，共有3个抽屉。

任意五个数放入这三个抽屉中，若每个抽屉内均有数，则各抽屉取一个数，这三个数的和是3的倍数，结论成立；若至少有一个抽屉内没有数，那么5个数中必有三个数在同一抽屉内，这三个数的和是3的倍数，结论亦成立。

     22.在边长为1的正方形内，任意放入9个点，证明在以这些点为顶点的三角形中，必有一个三角形的面积不超过1/8.

     解：

分别连结正方形两组对边的中点，将正方形分为四个全等的小正方形，则各个小正方形的面积均为1/4。

把这四个小正方形看作4个抽屉，将9个点随意放入4个抽屉中，据抽屉原理，至少有一个小正方形中有3个点。

显然，以这三个点为顶点的三角形的面积不超过1/8。

    反思：

将边长为1的正方形分成4个面积均为1/4的小正方形，从而构造出4个抽屉，是解决本题的关键。

我们知道。

将正方形分成面积均为1/4的图形的方法不只一种，如可连结两条对角线将正方形分成4个全等的直角三角形，这4个图形的面积也都是1/4，但这样构造抽屉不能证到结论。

可见，如何构造抽屉是利用抽屉原理解决问题的关键。

    23．班上有50名学生，将书分给大家，至少要拿多少本，才能保证至少有一个学生能得到两本或两本以上的书。

     解：

把50名学生看作50个抽屉，把书看成苹果,根据原理1，书的数目要比学生的人数多,即书至少需要50+1=51本.

      24．在一条长100米的小路一旁植树101棵，不管怎样种，总有两棵树的距离不超过1米。

     解：

把这条小路分成每段1米长，共100段,每段看作是一个抽屉，共100个抽屉，把101棵树看作是101个苹果,于是101个苹果放入100个抽屉中，至少有一个抽屉中有两个苹果,即至少有一段有两棵或两棵以上的树.

      25．有50名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜.试证明：

一定有两个运动员积分相同

     证明：

设每胜一局得一分,由于没有平局，也没有全胜，则得分情况只有1、2、3……49，只有49种可能,以这49种可能得分的情况为49个抽屉,现有50名运动员得分则一定有两名运动员得分相同.

      26.体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿1个球，至多拿2个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？

解题关键：

利用抽屉原理2。

     解：

根据规定，多有同学拿球的配组方式共有以下9种：

    ｛足｝｛排｝｛蓝｝｛足足｝｛排排｝｛蓝蓝｝｛足排｝｛足蓝｝｛排蓝｝

    以这9种配组方式制造9个抽屉,将这50个同学看作苹果＝5.5……5

     由抽屉原理2k＝〔〕＋1可得，至少有6人，他们所拿的球类是完全一致的。

     【欢迎你来解】

     1.某班37名同学，至少有几个同学在同一个月过生日？

     2.42只鸽子飞进5个笼子里，可以保证至少有一个笼子中可以有几只鸽子？

     3.口袋中有红、黑、白、黄球各10个，它们的外型与重量都一样，至少要摸出几个球，才能保证有4个颜色相同的球？

     4.饲养员给10只猴子分苹果，其中至少要有一只猴子得到7个苹果，饲养员至少要拿来多少个苹果？

     5.从13个自然数中，一定可以找到两个数，它们的差是12的倍数。

     6.一个班有40名同学，现在有课外书125本。

把这些书分给同学，是否有人会得到4件或4件以上的玩具？

　试题一：

　　一副扑克牌（去掉两张王牌），每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的?

　　试题二：

　　有一副扑克牌共54张，问：

至少摸出多少张才能保证：

（1）其中有4张花色相同?

（2）四种花色都有?

　　试题三：

　　小学生数学竞赛，共20道题，有20分基础分，答对一题给3分，不答给1分，答错一题倒扣1分，若有1978人参加竞赛，问至少有（）人得分相同。

试题一解答：

扑克牌中有方块、梅花、黑桃、红桃4种花色，2张牌的花色可以有：

2张方块，2张梅花，2张红桃，2张黑桃，1张方块1张梅花，1张方块1张黑桃，1张方块1张红桃，1张梅花1张黑桃，1张梅花1张红桃，1张黑桃1张红桃共计10种情况。

把这10种花色配组看作10个抽屉，只要苹果的个数比抽屉的个数多1个就可以有题目所要的结果。

所以至少有11个人。

　　试题二解答：

一副扑克牌有2张王牌，4种花色，每种花色13张，共52张牌。

（1）按照最不利的情况，先取出2张王牌，然后每种花色取3张，这个时候无论再取哪一种花色的牌都能保证有一种花色是4张牌，所以需要取2+3×4+1=15张牌即可满足要求。

（2）同样的，仍然按照最不利的情况，取2张王牌，然后3种花色每种取13张，最后任取一种花色，此时再取一张即可保证每种花色都有。

共需取2+13×3+1=42张牌即可满足要求。

　　试题三解答：

20+3×20=80，20-1×20=0，所以若20道题全答对可得最高分80分，若全答错得最低分0分。

由于每一道题都得奇数分或扣奇数分，20个奇数相加减所得结果为偶数，再加上20分基础分仍为偶数，所以每个人所得分值都为偶数。

而0到80之间共41个偶数，所以一共有41种分值，即41个抽屉。

1978÷41=48……10，所以至少有49人得分相同。

 1、有400个小朋友参加夏令营，问：

这些小朋友中至少有多少人不单独过生日。

　　2、在一副扑克牌中，最少要拿出多少张，才能保证在拿出的牌中四种花色都有？

　　3、在一个口袋中有10个黑球，6个白球，4个红球，问：

至少从中取出多少个球，才能保证其中一定有白球？

　　4、口袋中有三种颜色的筷子各10根，问：

（1）、至少要取多少根才能保证三种颜色都取到？

（2）至少要取多少根才能保证有2双不同颜色的筷子？

　　（3）至少要取多少根才能保证有2双相同颜色的筷子？

　　5、袋子里红、白、蓝、黑四种颜色的单色球，从代中任意取出若干个球，问：

至少要取出多少个球，才能保证有3个球是同一种颜色的？

　　6、一只鱼缸里有很多条鱼，共有五个品种，问：

至少捞出多少鱼，才能保证有5条相同品种的鱼？

　　7、某小学五年级的学生身高（按整厘米算），最矮的是138厘米，最高的是160厘米，至少要选出多少人才能保证有5个学生的身高是相同的？

　　8、一把钥匙只能打开一把锁，现有10把钥匙和其中的10把锁，最多要试验多少次才能使全部的钥匙和锁相配？

　　9、一把钥匙只能打开一把锁，现有10把锁和其中的8把钥匙，最多要试验多少次才能使这8把钥匙都配上锁？

　　10、将100个苹果分给10个小朋友，每个小朋友分得的苹果数互不相同，分得苹果数最少的小朋友至少得到多少个苹果？

　　11、将400本书随意分奥数给若干个小朋友，但每人不得超过11本，问：

至少有多少同学得到的书的本数相同？

　　12、一次数学竞赛，有75人参加，满分为20分，参赛者的得分都是自然数，75人的总分是980分，问：

至少有几人的得分相同？

　　13..某学生将参加全国中学生数学竞赛，用100天的时间作准备，为了不影响其他各科学习，他决定每天至少解一道题，但又限制每10天所解的题目不超过17道，试证明，这个学生一定在某个连续的若干天内，恰好一共解了29道题

抽屉原理练习题

　1．木箱里装有红色球３个、黄色球５个、蓝色球７个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？

    解：

把３种颜色看作３个抽屉，若要符合题意，则小球的数目必须大于３，故至少取出４个小球才能符合要求。

     2．一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？

    解：

点数为1（A）、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11（J）、12（Q）、13（K）的牌各取1张，再取大王、小王各1张，一共15张，这15张牌中，没有两张的点数相同。

这样，如果任意再取1张的话，它的点数必为1～13中的一个，于是有2张点数相同。

     3．11名学生到老师家借书，老师是书房中有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本。

试证明：

必有两个学生所借的书的类型相同。

     证明：

若学生只借一本书，则不同的类型有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种，若学生借两本不同类型的书，则不同的类型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六种。

共有10种类型，把这10种类型看作10个“抽屉”，把11个学生看作11个“苹果”。

如果谁借哪种类型的书，就进入哪个抽屉，由抽屉原理，至少有两个学生，他们所借的书的类型相同。

     4．有50名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜，试证明：

一定有两个运动员积分相同。

     证明：

设每胜一局得一分，由于没有平局，也没有全胜，则得分情况只有1、2、3……49，只有49种可能，以这49种可能得分的情况为49个抽屉，现有50名运动员得分，则一定有两名运动员得分相同。

     5．体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿１个球，至多拿２个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？

     解题关键：

利用抽屉原理２。

      解：

根据规定，多有同学拿球的配组方式共有以下９种：

﹛足﹜﹛排﹜﹛蓝﹜﹛足足﹜﹛排排﹜﹛蓝蓝﹜﹛足排﹜﹛足蓝﹜﹛排蓝﹜。

以这９种配组方式制造９个抽屉，将这50个同学看作苹果50÷9＝5……5       

     由抽屉原理２k＝［m/n］＋１可得，至少有６人，他们所拿的球类是完全一致的。

      6．某校有55个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女生多于2人，又知参赛者中任何10人中必有男生，则参赛男生的人生为__________人。

       解：

因为任意分成四组，必有一组的女生多于2人，所以女生至少有4×2＋1＝9（人）；因为任意10人中必有男生，所以女生人数至多有9人。

所以女生有9人，男生有55－9＝46（人）

      7、证明：

从1，3，5，……，99中任选26个数，其中必有两个数的和是100。

      解析：

将这50个奇数按照和为100，放进25个抽屉：

（1，99），（3，97），（5，95），……，（49，51）。

根据抽屉原理，从中选出26个数，则必定有两个数来自同一个抽屉，那么这两个数的和即为100。

      8.  某旅游车上有47名乘客，每位乘客都只带有一种水果。

如果乘客中有人带梨，并且其中任何两位乘客中至少有一个人带苹果，那么乘客中有______人带苹果。

    解析：

由题意，不带苹果的乘客不多于一名，但又确实有不带苹果的乘客，所以不带苹果的乘客恰有一名，所以带苹果的就有46人。

      9.  一些苹果和梨混放在一个筐里，小明把这筐水果分成了若干堆，后来发现无论怎么分，总能从这若干堆里找到两堆，把这两堆水果合并在一起后，苹果和梨的个数是偶数，那么小明至少把这些水果分成了_______堆。

      解析：

要求把其中两堆合并在一起后，苹果和梨的个数一定是偶数，那么这两堆水果中，苹果和梨的奇偶性必须相同。

对于每一堆苹果和梨，奇偶可能性有4种：

（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），所以根据抽屉原理可知最少分了4+1=5筐。

      10.有黑色、白色、蓝色手套各5只（不分左右手），至少要拿出_____只（拿的时候不许看颜色），才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。

      解析：

考虑最坏情况，假设拿了3只黑色、1只白色和1只蓝色，则只有一双同颜色的，但是再多拿一只，不论什么颜色，则一定会有两双同颜色的，所以至少要那6只。

      11.从前25个自然数中任意取出7个数,证明:

取出的数中一定有两个数,这两个数中大数不超过小数的1.5倍.

      证明:

把前25个自然数分成下面6组:

      1;①

      2,3;②

      4,5,6;③

      7,8,9,10;④

      11,12,13,14,15,16;⑤

      17,18,19,20,21,22,23,⑥

      因为从前25个自然数中任意取出7个数,所以至少有两个数取自上面第②组到第⑥组中的某同一组,这两个数中大数就不超过小数的1.5倍.

      12．一副扑克牌有四种花色，每种花色各有13张，现在从中任意抽牌。

问最少抽几张牌，才能保证有4张牌是同一种花色的？

      解析：

根据抽屉原理，当每次取出4张牌时，则至少可以保障每种花色一样一张，按此类推，当取出12张牌时，则至少可以保障每种花色一样三张，所以当抽取第13张牌时，无论是什么花色，都可以至少保障有4张牌是同一种花色，选B。

    　13．从1、2、3、4……、12这12个自