四川中考数学经典压轴题十大类型汇总.docx
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四川中考数学经典压轴题十大类型汇总
中考经典压轴题题型汇总
题型一、动点问题
1.如图,梯形ABCD中,AD//BC,/BAD=90°CE丄AD于点E,AD=8cm,BC=4cm,AB=5cm.从初始时刻开始,动点P,Q分别从点A,B同时出发,运动速度均为1cm/s,动点P沿A-B-C-E方向运动,到点E停止;动点Q沿B-C-E-D方向运动,到点D停止,设运动时间为xs,△PAQ的面积为ycm2,(这里规定:
线段是面积为0的三角形)解答下列问题:
(1)当x=2s时,y=cm2;当x=9s时,y=cm2.
2
(2)当5$<14寸,求y与x之间的函数关系式.
(3)当动点P在线段BC上运动时,求出y—S梯形abcd时x的值.
15
(4)直接写出在整个运动过程中,使PQ与四边形ABCE的对角线平行的所有x的值.
EI)
备用图
2.如图,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC=50,AD=75,BC=135.点P从点B
出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动;点Q从点C出
发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动,过点Q向上作射线QK丄BC,
交折线段CD-DA-AB于点E.点P、Q同时开始运动,当点P与点C重合时停止运动,点Q也随之停止•设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).
(1)当点P到达终点C时,求t的值,并指出此时BQ的长;
(2)当点P运动到AD上时,t为何值能使PQ//DC?
(3)设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S,分别求出点E运动到CD、DA上时,S与t的关系式;
3.如图,在RtAABC中,/C=90°,AB=50,AC=30,D,E,F分别是AC,AB,BC
的中点•点P从点D出发沿折线DE-EF-FC-CD以每秒7个单位长的速度匀速运动;点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动,过点Q作射线
QKAB,交折线BC-CA于点G•点P,Q同时出发,当点P绕行一周回到点D时停
止运动,点Q也随之停止•设点P,Q运动的时间是t秒(t0).
(1)D,F两点间的距离是;
(2)射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分?
若能,求出t的值.若不能,说明理由;
(3)当点P运动到折线EFFC上,且点P又恰好落在射线QK上时,求t的值;
(4)
连结PG,当PG//AB时,请直接写出t的值.
备用图
4.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是平行四边形.直线I经过0、C两点•点A的坐标为(8,0),点B的坐标为(11,4),动点P在线段0A上从点0出发以每秒1个单位的速度向点A运动,同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A-B-C的方向向点C运动,过点P作PM垂直于x轴,与折线0-C-B相交于点M•当P、Q两点中有一点到达终点时,另一点也随之停止运动,设点P、Q运动的时间为t
秒(t0),△MPQ的面积为S.
(1)点C的坐标为直线I的解析式为.
(2)试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式,并写出相应的t的取值范围.
(3)试求题
(2)中当t为何值时,S的值最大,并求出S的最大值.
(4)随着P、Q两点的运动,当点M在线段CB上运动时,设PM的延长线与直线I相交于点N.试探究:
当t为何值时,△QMN为等腰三角形?
请直接写出t的值.
5.如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=23,点0是AB的中点,点P在AB的延长
线上,且BP=3.—动点E从0点出发,以每秒1个单位长度的速度沿0A匀速运动,到达A点后,立即以原速度沿A0返回;另一动点F从P点出发,以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动,点E、F同时出发,当两点相遇时停止运动•在点E、F的运动过程中,以EF为边作等边△EFG,使△EFG和矩形ABCD在射线FA的同侧,设运动的时间为t秒(t>0.
(1)当等边△EFG的边FG恰好经过点C时,求运动时间t的值;
(2)在整个运动过程中,设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围;
(3)
设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H,是否存在这样的t,使厶AOH是等腰三角形?
若存在,求出对应的t的值;若不存在,请说明理由.
题型二、函数类问题
1.如图,在平面直角坐标系中,0是坐标原点,点A的坐标为(-4,0),点B的坐标为(0,b)(b>0).P是直线AB上的一个动点,作PC丄x轴,垂足为C,记点P关于y轴的对称点为P'(点P不在y轴上),连结PP‘,P'A,P'C,设点P的横坐标为a.
(1)当b=3时,
1直线AB的解析式;
2若点P,的坐标是(-1,m),求m的值;
(2)若点P在第一象限,记直线AB与P'C的交点为D•当P'D:
DC=1:
3时,求a的值;
(3)是否同时存在a,^使厶PCA为等腰直角三角形?
若存在,请求出所有满足要求的a,b的值;若不存在,请说明理由.
23
2.如图,抛物线yax2axb经过A(-1,0),C(2,巴)两点,与x轴交于
2
另一点B.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若抛物线的顶点为M,点P为线段OB上一动点(不与点B重合),点Q在
线段MB上移动,且/MPQ=45。
,设线段OP=x,MQ=#y2,求y与x的函数
关系式,并直接写出自变量x的取值范围;
(3)在同一平面直角坐标系中,两条直线x=m,x=n分别与抛物线交于点E,G,与
(2)中的函数图象交于点F,H•问四边形EFHG能否为平行四边形?
若能,求m,n之间的数量关系;若不能,请说明理由.
IV
/
/
M
r
P\X
\
r
\v
备用图
3.在平面直角坐标系xOy中,直线li过点A(1,0)且与y轴平行,直线b过点B(0,
2)且与x轴平行,直线li与12相交于点P•点E为直线12上一点,反比例函数
k
yk(k>0)的图象过点E且与直线li相交于点F.
x
(1)若点E与点P重合,求k的值;
(2)连接OE、OF、EF.若k>2,且厶OEF的面积为△PEF的面积2倍,求点E的坐标;
(3)是否存在点E及y轴上的点M,使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等?
若存在,求E点坐标;若不存在,请说明理由.
L
j
卜
\y
L
LB
N
p
J
i2B
P
hB
P
O
X
O
A
X
0
—A
X
4.△ABC中,/A=ZB=30°AB=2晶.把△ABC放在平面直角坐标系中,使AB的
中点位于坐标原点0(如图),△ABC可以绕点0作任意角度的旋转.
(1)当点B在第一象限,纵坐标是—时,求点B的横坐标;
2
(2)如果抛物线yax2bxc(a^0的对称轴经过点C,请你探究:
1当a兰,b1,c兰时,A,B两点是否都在这条抛物线上?
并说明理
425
由;
2设b=2am,是否存在这样的m值,使A,B两点不可能同时在这条抛物线上?
若存在,直接写出m的值;若不存在,请说明理由.
5.已知二次函数的图象如图所示.
(1)求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标;
(2)若点N为线段BM上的一点,过点N作x轴的垂线,垂足为点Q.当点N在线段BM上运动时(点N不与点B,点M重合),设0Q的长为t,四边形NQAC面积为S,求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围;
(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点卩,使厶PAC为直角三角形?
若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)将厶OAC补成矩形,使得△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上,试直接写出矩形的未知的顶点坐标(不需要计算过程).
y*”
题型三、面积问题
1.如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M,连接PB.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)抛物线上是否存在一点0,使厶QMB与厶PMB的面积相等,若存在,求点
Q的坐标;若不存在,说明理由;
(3)在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点只,使厶RPM与厶RMB的面积相等,若存在,直接写出点R的坐标;若不存在,说明理由.
2.如图,己知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,-3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图
(1),己知点H(0,-1).问在抛物线上是否存在点G(点G在y轴的左侧),使得Saghc=Saqha?
若存在,求出点G的坐标,若不存在,请说明理由:
(3)如图
(2),抛物线上点D在x轴上的正投影为点E(-2,0),F是OC的
中点,连接DF,P为线段BD上的一点,若/EPF=/BDF,求线段PE的长.
3.在平面直角坐标系中,已知抛物线yx2bx
C与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),与y轴的正半轴交于点C,顶点为
E.
(I)若b2,c3,求此时抛物线顶点E的坐标;
")将(I)中的抛物线向下平移,若平移后,在四边形ABEC中满足S\BCE=S\ABC,求此时直线BC的解析式;
(川)将(I)中的抛物线作适当的平移,若平移后,在四边形ABEC中满足&
bce=2Smoc,且顶点E恰好落在直线y4x3上,求此时抛物线的解析式.
4.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=8cm.点E、F、G分别从点A、B、C同时出发,沿矩形的边按逆时针方向移动,点E、G的速度均为2cm/s,点F的速度为
4cm/s,当点F追上点G(即点F与点G重合)时,三个点随之停止移动.设移动开始后第ts时,△EFG的面积为Scm2.
(1)当t=1s时,S的值是多少?
(2)写出S与t之间的函数解析式,并指出自变量t的取值范围;
⑶若点F在矩形的边BC上移动,当t为何值时,以点B、E、F为顶点的三角形与以C、F、G为顶点的三角形相似?
请说明理由.
5.如图,在Rt△ABC中,/C=90°,AC=8,BC=6,点P在AB上,AP=2,点E、F同时从点P出发,分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动,点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动,点F运动到点B时停止,点E也随之停止•在点E、F运动过程中,以EF为边作正方形EFGH,使它与厶ABC在线段AB的同侧.设E、F运动的时间为t秒(t>0),正方形EFGH与厶ABC重叠部分面积为S.
(1)当t=1时,正方形EFGH的边长是.当t=3时,正方形EFGH的边长是.
(2)当Ovt<2时,求S与t的函数关系式;
(3)直接答出:
在整个运动过程中,当t为何值时,S最大?
最大面积是多少?
C
题型四、三角形存在性问题
板块一、等腰三角形存在性
3
1•如图,已知一次函数yx7与正比例函数y-x的图象交于点A,且与x轴交于
4
点B.
(1)求点A和点B的坐标;
(2)过点A作AC丄y轴于点C,过点B作直线I//y轴•动点P从点0出发,以每秒1个单位长的速度,沿O—C—A的路线向点A运动;同时直线I从点B出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线I交x轴于点R,交线段BA或线段A0于点Q•当点P到达点A时,点P和直线I都停止运动•在运动过程中,设动点P运动的时间为t秒•是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形?
若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.
14
2.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线yx2x10与x轴的交点为点A,
189
与y轴的交点为点B,过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC.现有两动点P,Q分别从0,C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿0A向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE//0A,交CA于点E,射线QE交x轴于点F.设动点P,Q移动的时间为t(单位:
秒)
(1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;
(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?
请写出计算过程;
9
(3)当0t-时,△PQF的面积是否总为定值?
若是,求出此定值,若不是,请
说明理由;
(4)当t为何值时,△PQF为等腰三角形?
请写出解答过程.
板块二、直角三角形
11
1.如图,已知直线y—x1与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线yx2bxc
22
与直线交于A、E两点,与x轴交于B、C两点,且B点坐标为(1,0).
(1)求该抛物线的解析式;
2.如图所示,矩形ABCD的边长AB=6,BC=4,点F在DC上,DF=2•动点M、N分别从点D、B同时出发,沿射线DA、线段BA向点A的方向运动(点M可运动至UDA的延长线上),当动点N运动到点A时,M、N两点同时停止运动•连接FM、FN,当F、N、M不在同一直线上时,可得△FMN,过△FMN三边的中点作APWQ.设动点M、N的速度都是1个单位/秒,M、N运动的时间为x秒•试解答下列问题:
(1)说明△FMNQWP;
(2)设0x4(即M从D到A运动的时间段).试问x为何值时,△PWQ为直角三角形?
当x在何范围时,△PQW不为直角三角形?
(3)问当x为何值时,线段MN最短?
求此时MN的值.
板块三、相似三角形存在性
3.在平面直角坐标系中,抛物线
3与x轴的两个交点分别为A(-3,0)、B(1,0),过顶点C作CH丄x轴于点H.
(1)直接填写:
a=_,b=.,顶点C的坐标为
⑵在y轴上是否存在点D,使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形?
若存在,
求出点D的坐标;若不存在,说明理由;
(3)
若点P为x轴上方的抛物线上一动点(点P与顶点C不重合),PQ丄AC于点0,当厶PCQ与厶ACH相似时,求点P的坐标.
3
1.直线y3x6与坐标轴分别交于A、B两点,动点P、Q同时从0点出发,同
4
时到达A点,运动停止•点Q沿线段0A运动,速度为每秒1个单位长度,点P
沿路线OfBfA运动.
(1)直接写出A、B两点的坐标;
(2)设点Q的运动时间为t秒,△OPQ的面积为S,求出S与t之间的函数关系
式;
(3)当S48时,求出点P的坐标,并直接写出以点0、P、Q为顶点的平行四
5
边形的第四个顶点M的坐标.
2.在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(4,0),B(0,4),C(2,0)三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为□,△AMB的面积为S•求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值.
(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线yx上的动点,判断有几个位置
能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.
+y
3•已知直线yJ3x4逅与x轴、y轴分别交于A、B两点,/ABC=60°BC与x轴父于点C.
(1)试确定直线BC的解析式;
(2)若动点P从A点出发沿AC向点C运动(不与A、C重合),同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动(不与C、A重合),动点P的运动速度是每秒1个单位长度,动点Q的运动速度是每秒2个单位长度.设△APQ的面积为S,P点的运动时间为t秒,求S与t的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(3)在
(2)的条件下,当△APQ的面积最大时,y轴上有一点M,平面内是否存在一点N,使以A、Q、M、N为顶点的四边形为菱形?
若存在,请直接写出N点的坐标;若不存在,请说明理由.
4.如图,对称轴为直线x=2的抛物线经过点A(6,0)和B(0,4).
(1)求抛物线解析式及顶点坐标;
(2)设点E(x,y)是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形,求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)①当四边形OEAF的面积为24时,请判断OEAF是否为菱形?
②是否存在点E,使四边形OEAF为正方形?
若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
5.如图,在平面直角坐标系中,函数y2x12的图象分别交x轴、y轴于A、B两点.过
点A的直线交y轴正半轴于点M,且点M为线段OB的中点.
(1)求直线AM的解析式;
(2)试在直线AM上找一点P,使得Smbp=&aob,请直接写出点P的坐标;
(3)若点H为坐标平面内任意一点,在坐标平面内是否存在这样的点H,使以A、
H的坐标;若不
B、M、
存在,
题型六、线段之间的关系
1.在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点0在坐标原点,顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,0A3,0B4,D为边0B的中点.
E的坐标;
(U)若E、F为边0A上的两个动点,且EF2,当四边形CDEF的周长最小
时,求点E、F的坐标.
2.四边形ABCD是直角梯形,BC//AD,
/BAD=90°,BC与y轴相交于点M,且M是BC的中点,A、B、D三点的坐标分别是A(1,0),B(1,2),D(3,0).连接DM,并把线段DM沿DA方
向平移到ON.若抛物线yax2bxc经过点D、M、N.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线上是否存在点P,使得PA=PC,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)设抛物线与x轴的另一个交点为E,点Q是抛物线的对称轴上的一个动点,
当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大?
并求出最大值.
3.如图,在直角坐标系中,已知点A(0,1),B(4,4),将点B绕点A顺时针方向旋转90°得到点C,顶点在坐标原点的抛物线经过点B.
(1)求抛物线的解析式和点C的坐标;
(2)抛物线上有一动点P,设点P到x轴的距离为di,点P到点A的距离为d2,
试说明d2di1;
(3)在
(2)的条件下,请探究当点P位于何处时,△PAC的周长有最小值,并求出厶PAC的周长的最小值.
4.已知,如图,二次函数
yax22ax3a(a0)图象的顶点为H,与x轴交于A、B两点(B在A点右侧),
点H、B关于直线l:
y—x.3对称.
(1)求A、B两点坐标,并证明点A在直线I上;
(2)求二次函数解析式;
(3)过点B作直线BK//AH交直线I于K点,M、N分别为直线AH和直线I上的两个动点,连接HN、NM、MK,求HN+NM+MK和的最小值.
5.
如图,以A为顶点的抛物线与y轴交于点B.已知A、B两点的坐标分别为(3
(0,4).
(1)求抛物线的解析式;
(2)设Mm,n是抛物线上的一点(m、n为正整数),且它位于对称轴的右侧以M、B、0、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数,求点M
标;
3)在
(2)的条件下,试问:
对于抛物线对称轴上的任意
0)、
若
的坐
一占
八、、
P,PA2PB2PM228是否总成立?
请说明理由.
题型七、定值问题
1
1•已知抛物线Ci:
yix2x1,点F(1,1).
2
(I)求抛物线C1的顶点坐标;
(U)①若抛物线Ci与y轴的交点为A,连接AF,并延长交抛物线Ci于点B,求
证:
aF
BF2;
②抛物线Ci上任意一点P(xp,yp)(0Xp1),连接PF,并延长交抛物
11
线Ci于点Q(Xq,yQ),试判断-——L2是否成立?
请说明理由;
QyQPFQF
(川)将抛物线Ci作适当的平移,得抛物线C2:
1
y-(xh)2,若2xm时,y?
x恒成立,求m的最大值.
2
2.如图,已知△ABC为直角三角形,ACB90,ACBC,点A、C在x轴上,点B坐标为(3,m)(m0),线段AB与y轴相交于点D,以P(1,0)为顶点的抛物线过点B、D.
(1)求点A的坐标(用m表示);
(2)求抛物线的解析式;
(3)设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点,连结PQ并延长交BC于点E,
连结BQ并延长交AC于点F,试证明:
FC(ACEC)为定值.
3.已知:
抛物线yax2bxc(a^0,顶点C(1,3),与x轴交于A、B两点,A(1,0).
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)如图,以AB为直径作圆,与抛物线交于点D,与抛物线对称轴交于点E,依次连接A、D、B、E,点P为线段AB上一个动点(P与A、B两点不重合),过点P作PM丄AE于M,PN丄DB于N,请判断PN是否为定值?
若是,请求出此定值;
BEAD
若不是,请说明理由;
(3)在
(2)的条件下,若点S是线段EP上一点,过点S作FG丄EP,FG分别与边AE、BE相交于点F、G(F与A、E不重合,G与E、B不重合),请判断
是否成立.若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
PA
PB
EG
4.如图
抛物线yax2bx4a经过A1,0、C0,4两点,与x轴交于另一点B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点Dm,m1在第一象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点的坐标;
(3)在
(2)的条件下,连接BD,点P为抛物线上一点,且DBP45,求点P的坐标.
题型八、几何三大变换问题
1.如图
(1),将正方形纸片ABCD折叠,使点B落在CD边上一点E(不与点C,D重合),压平后得到折痕MN•当些-时,求如的值.
CD2BN
方法指导:
为了求得AM的值,可先求BN、AM的长,不妨设:
AB=2
BN
类比归纳:
在图
(1)中,若CE1,则AM的值等于;若丄,则钊
"CD3BNCD4BN
的值等于;若-(n为整数),则如的值等于.(用含
CDnBN
图
(1)
联系拓广:
如图
(2),将矩形纸片ABCD折叠,使点B落在CD边上一点E(不
与点C,D重合),压平后得到折痕MN,设△旦-m1,-CE
BCmCD
于•(用含m,n的式子表示)
2.如图①,在矩形ABCD中,将矩形折叠,使B落在边AD(含端点)上,落点记为E,这时折痕与边BC或边CD(含端点)交于点F,然后再展开铺平,则以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”.
(1)由“折痕三角形”的定义可知,矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”是一
个角形;
(2)如图②,在矩形A