高等代数读书报告.docx

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高等代数读书报告

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数学与统计学院

09级统计三班

李小雪

学号：

0505090109

高等代数读书报告

高等代数是数学专业的基础课程，是后续课程学习的必备基础。

高等代数主要研究对象是多项式、矩阵、二次型、线性变换、双线性函数线性空间的线性性质，主要内容包括多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、欧几里得空间和双线性函数。

主要研究方法有公理化、结构、同构、类比、猜想等思想方法。

高等代数中的几种核心的数学思想方法包括符号化的思想方法、矩阵的思想方法、公理化的思想方法和结构的思想方法。

多项式是高等代数中最基本的对象之一。

多项式的所有内容都是在数域的基础上讨论的。

主要讨论了多项式的整除性、根、可约性及多项式函数。

在讨论了多项式的整除性的时候，应用的是函数和方程的思想。

多项式函数中的余数定理把整除、根、函数值揉和到了一起。

余数定理：

用一个多项式x-a去除多项式f（x），所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值f（a）。

该定理不仅好在给出了函数值的求法，而且也验证了一个多项式是否能整除多项式的方法，同时也可验证a是（x）的几重根，也可以用于求多项式有无重因式？

是什么？

把本章的内容，一元多项式，整除的概念，公因式，重因式，多项式函数，复系数，实系数上根式的解全部联系到了一起。

行列式是高等代数中的重要组成部分。

是解方程的一个重要工具。

本章主要讲了行列式及行列式的性质和计算。

排列为行列式的计算做了铺垫。

通过奇排列和偶排列的定义，可以分辨出行列式的值在不同排列下的符号问题。

行列式性质是行列式计算的基础，而计算是依据根的性质进行的。

行列式的性质共有七个：

（1）行列互换，行列式的值不变，即行列式转置不变。

表明了行列式的行与列的地位是对称的及行列式有关行的性质对于列也同样成立。

（2），交换行列式的两行（列），行列式改变符号，特别的如果行列式中有两行（列）相同，则行列式为零。

（3）行列式一行的公因子可以提出去特例，如果行列式中有一行为零，那么行列式的值为零。

如果行列式中两行（列）的对应元素成比例，那么行列式为零。

（4）如果行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，这两个行列式分别以两个家属之一作为该行（列）相应位置上的元素，其余各行（列）都与原行列式相同。

（5）把行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一个数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式不变。

（6）行列式等于它的任意一行（列）的所有元素与其对应的代数余子式乘积之和，行列式某一行（列）的元素

与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。

（7）行列式按某k行（列）展开——拉普拉斯定理；设在n阶行列式中任意取定了k个行（列），则由这k行元素所组成的一切k阶子式与它们各自的代数余子式乘积的和等于行列式。

这七个性质也构成了行列式的计算方法。

利用性质，把一个行列式化成上三角形行列式，这是计算行列式的基本方法之一。

利用性质四，可以把一个行列式拆成若干个行列式的和，这是计算行列式的常用方法之一。

还有许多其他常用的方法，如定义法，递推法，数学归纳法及公式法，降阶法，差分法等。

对于爪型行列式，可以按行（列）提取公因子，然后化为上（下）三角形行列式。

不常用的还有加边飞，析因法，拆行（列）法，辅助行列式法等。

对于更为特殊的，可以用范德蒙德公式的变形及拉普拉斯定理。

其中，拆分法用的是分解的思想方法，也可用分析与综合，猜想，构造等思想方法。

第三章主要讲的就是线性方程组的解法。

在第二章中利用行列式可以判断线性方程组有没有唯一解。

但是无法分辨无解和有无穷多个解的情形。

因此本章从研究一般的线性方程组的系数和常数项入手，来判断它有没有解，有多少个解，以及有无穷多个解时，其解集的结构。

为了研究线性方程组解集的结构，引入了n维向量空间，及与之相联系的线性相关，线性无关的概念。

为了能够引出线性方程组有解判定定理，又引入了矩阵和矩阵的秩的概念。

到此，判断一个线性方程组是否有解及解的结构都已经解决。

即求线性方程组的解的步骤为

（1）利用线性方程组有解判定定理判断方程组是否有解，即线性方程组的系数矩阵与其增广矩阵是否有相同的秩，若不同，则无解，不用再求了，若相同，则继续求解。

（2）先求出线性方程组的导出组的基础解系。

即利用其系数矩阵及矩阵的初等变换来求。

（3）找出线性方程组的一个特解，再据此写出线性方程组的一组基础解系。

（4）对于唯一解的情况，可以先判断线性方程组的系数矩阵的行列式值是否为零，若为零，则有无穷解，按

（2）（3）进行，若不为零，则有唯一解。

在求线性方程组的过程中，最基本的方法便是结构的思想方法，其中矩阵的引入和n维线性空间的引入也体现了转化的思想。

第四章，主要论述了矩阵的一些基本内容。

在第三章中，矩阵的初等行变换，矩阵的行列式及矩阵的秩在线性方程组的理论中有重要的作用。

同时，矩阵也是处理高等数学中很多问题的有力工具。

在线性代数中，矩阵更是不可缺少。

这是因为

（1）矩阵是一张表格，以表格的形式表达来自各个领域的事物，看起来一目了然。

（2）通过引进矩阵的运算，特别是乘法运算，既可以用简洁的形式表达事物，又可以揭示事物的内涵。

例如，线性方程组可以简洁的写成AX=B;平面上二次曲线可以简洁的表示成X’AX=0。

本章中，矩阵的运算及运算性质和可逆矩阵及其他性质是主要内容。

而矩阵的运算又可以和多项式函数和线性方程组结合起来。

矩阵的运算与数的运算有一些类似的性质，但二者又存在着较大的区别，例如，矩阵乘法的不可交换性。

对于特殊的矩阵，例如，对角矩阵，上三角形矩阵，初等矩阵，对称矩阵，反对称矩阵，幂等矩阵，正交矩阵等，应当把握其特殊的性质。

矩阵的秩是从矩阵的行（列）向量组的线性相关性的角度提炼出来的信息，它刻画了矩阵的行（列）至多有多少个线性无关的向量。

方阵的行列式是方阵的不同行，不同列的元素的乘积的代数和，它刻画了以此方阵为系数矩阵的线性方程组是否有唯一解。

可逆矩阵又称为非奇异矩阵，判断一个矩阵是否可逆，可以用行列式的值是否为零或矩阵是否满秩来判断。

用初等可逆矩阵作用一个矩阵进而化简，可以揭示矩阵的本质，即秩。

本章中用到的思想方法主要是分解的思想。

所谓矩阵的分解思想，就是指把一个矩阵写成某些具有某些特定属性的矩阵的表达式。

最常见的就是把一个矩阵分解成若干矩阵的和和积的性质。

例如矩阵的和分解（任何方阵可以唯一的分解成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和），积分解（每个矩阵可表示成一个幂等矩阵与一个可逆矩阵之积），满秩分解，奇异值分解等，还有特殊

的即矩阵的分块思想，矩阵分块使得矩阵的结构变得更明显清楚，而且使得矩阵的运算可以通过它们的分块矩阵形式来进行，从而可以使有关矩阵的理论问题和实际问题变得较容易解决。

对二次型的研究主要是：

把一个二次齐次多项式化成只含平方项的形式。

其中正定二次型又为主要的研究对象。

化简二次型的方法有下列几种：

配方法，初等变换法，正交替换法，偏导数法，雅克比法。

配方法有一定的技巧性，初等变换法是把二次型转化为矩阵进行变换求解。

正交替换法利用的是二次型矩阵的特征值。

偏导数法和雅克比法不常用。

正定而出现的判定也是一个重点。

判断的充要条件有

（1）二次型矩阵A的特征值都大于零

（2）A的顺序主子式都大于零（3）存在可逆矩阵C，使得A=CC’（4）A的所有主子式大于零（5）A与单位矩阵E合同（6）A的正惯性指数为n。

二次型与二次曲面联系很密切，可以树形结合理解二次型。

而把二次型的问题转化为矩阵的问题，用到了转化的思想方法。

线性空间是在研究大量数学对象的基础上，提取它们的共性，最后以公理化形式给出的一个定义。

它是度量空间的基础，也是几何空间的推广。

线性空间的定义就是判断一个数集是否为线性空间的标准，理解定义时，要记住所有的成立条件，漏掉一个条件，就不能构成线性空间。

在线性空间中，也引入了基，维数和坐标，这样就能把线性空间的问题转化成矩阵问题，进而求解变得简单。

线性空间中主要讲了子空间的概念和性质。

同线性空间一样，子空间的定义也是其判断标准。

特别注意，子空间的和和以往所说的数集的并不同，它是每个分量分属不同的空间，而不是两个空间的简单相加，子空间的直和事子空间的

和的一种特殊形式，直和的判断也是一个重点。

本章最后给出了同构的概念，这里体现了同构的思想。

所谓同构的思想，就是利用相同代数结构的等价关系来研究代数结构的共性和差异的一种思想方法。

在线性空间中，同构是一个双射，是集合之间的一种关系。

例如向量空间的同构问题，矩阵空间的同构问题，线性变换空间的同构问题，二次型线性空间与对称矩阵空间的同构问题等。

从一定意义上讲，所有的矩阵问题都可以转化成线性变换的问题，同样所有的线性变换问题都可以转化成矩阵的问题。

线性变换时高等代数的主要研究对象，是研究线性空间中国向量联系的工具。

线性变换就是线性空间之间的映射，且是满射。

由于线性变换快捷键与矩阵空间同构，因此线性变换问题通常转化成矩阵问题。

线性变换的特征值，特征向量的定义实质上就是一个方程。

线性变换的特征值是满足特征多项式等于零的这个等式的一个数，即：

特征多项式等于零的解，特征向量是满足定义的式的等式的一个非零向量。

具体求线性变换的特征值，特征向量也是分别转换成一个方程，齐次方程组来求解的。

这就是函数与方程的思想在线性变换中的具体体现。

由同一线性变换在不同基下的矩阵之间的关系引出了相似的概念。

相似关系是一种等价关系，与合同，等价共同构成代数中的三种等价关系。

线性变换的值域，核和不变子空间

是线性变换的重要组成部分。

值域即线性变换像的集合，而核是像为零元素的原像的集合，不变子空间是像仍在原空间内的一个字快捷键。

值域和核都是其本身的不变子快捷键。

值域和核的求解，不变子空间的证明是主要的题型。

求核时，主要是转化成齐次线性方程组的求解，而值域则是由像生成的集合。

不变子空间的定义则是不变子空间证明题的重要依据。

在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法和数量乘法，如果以几何空间中的向量作为线性空间理论的一个具体模型，那么就会发现向量的度量性质就，如长度，夹角等就，在线性空间的理论中没有得到反映，因此有必要引入度量的概念，这便是欧几里得空间的主要研究对象。

内积，长度，夹角，正交，度量矩阵，标准正交基是欧几里得空间中的重要概念。

对一组基德标准正交化是本章的主要运算，即施密特正交化过程。

在解决正交补子空间时，主要用的是构造的思想方法。

本书的内容大致如上面所述，在证明定理及做题时，运用了数学中很多思想方法，体现了数学较强的逻辑推理性。

学习本书时，最重要的就是体会各种各思想方法，进而加强自己的逻辑推理能力，从而提高自己用数学知识解决实际问题的能力。

（注：

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