数学讲义.docx
《数学讲义.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学讲义.docx（27页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
数学讲义
数量关系讲义
唐颖
做透一道经典常考真题，胜于做过三套模拟真题。
什么是经典常考真题？
根据对近几年北京市应届考试真题的分析，数学运算和数字推理的考点分布情况如下：
轻重分明，一目了然。
数量关系考试并非浩如烟海的数字游戏，而是有突出的考查重点的，是有章可循，是有“金钥匙”可以掌握的。
下面让我们一起来走进数学运算的思维体操世界。
第一部分数学运算
根据五年真题考点分布统计情况，本部分分为以下几节：
第1节数学运算基础
（一）
第2节数学运算基础
（二）
第3节比例问题
第4节几何问题
第5节经济问题
第6节等差数列
第7节计数问题
第8节年龄问题
第9节工程问题
第10节行程问题
第11节容斥原理
第12节排列组合与概率问题
第13节盈亏问题与余数问题
第14节植树问题与方阵问题
第15节统筹问题与极值问题
第16节排除代入法
第一节数学运算基础
（一）
一、基本知识与解题方法总结
1、尾数法；
2、换元法与赋值法；
二、例题精讲
【例1】84.78元、59.50元、121.61元、12.43元以及66.50元的总和是（）元。
A.343.73B.343.83C.344.73D.344.82
【例2】2955
3403-1826
2811的值为（）。
A.3827451B.5839281C.5429749D.4922979
【例3】甲、乙、丙三种货物，如果购买甲3件、乙7件、丙1件需花3.15元，如果购买甲4件、乙10件、丙1件需花4.2元，那么购买甲、乙、丙各一只需花多少元？
（）
A.1.05B.1.4C.1.85D.2.1
【例4】减数、被减数与差三者之和除以被减数，商是（）。
A.0B.1C.2D.减数与差之和
三、练习题
1、
的值是（）。
A.4.98B.5.49C.6.06D.6.30
2、3！
+4！
+5！
+…+999！
的尾数是（）。
A.0B.4C.6D.8
3、（1+
+
）×（
）-（1+
）×（
）的值是（）。
A.
B.
C.
D.
4、有一块试验田，以前种植的都是普通水稻。
现在将该试验田的1/3种上超级水稻，收割时发现该试验田水稻总产量是以前总产量的1.5倍。
如果普通水稻的平均产量一直没有变化，则超级水稻的平均产量与普通水稻的平均产量之比是（）。
A.5：
2B.4：
3C.3：
1D.2：
1
第二节数学运算基础
（二）
一、基本知识与解题方法总结
1、大小比较法；
2、因式分解与提取公因数；
二、例题精讲
【例1】一盒巧克力和一瓶蜂蜜需18元，一包泡泡糖和一袋香肠11元，一包泡泡糖和一瓶蜂蜜需14元，一袋香肠比一盒巧克力贵1元，这四样商品中最贵的是什么？
（）
A.泡泡糖B.巧克力C.香肠D.蜂蜜
【例2】（873×477-198）÷（476×874+199）=（）
A.1B.2C.3D.4
【例3】
+
×2+
×3…+
×10=（）
A.
B.
C.
D.
三、练习题
1、现有一种预防甲流感药物配制成的甲、乙两种不同浓度的消毒溶液。
若从甲中取2100克、乙中取700克混合而成的消毒溶液的浓度为3%；若从甲中取900克、乙中取2700克，则混合而成的消毒溶液为5%。
则甲、乙两种消毒溶液的浓度分别为（）。
A.3%,6%B.3%,4%C.2%,6%D.4%,6%
2、比较x=702.5/（1+12.46%）和y=703.5/（1+13.46%）的大小。
（）
A.xyC.x=yD.无法确定
第三节比例问题
一、基本知识与解题方法总结
1、“份数”思维的灵活运用；
2、倍数与比例的转化关系；
3、浓度问题，十字交叉法、赋值法；
二、例题精讲
【例1】某机关召开一次特殊工作会议，参加者中每两个人有一个科员，每四人中有一个科长，每六人中有一个副处长，此外还有五位处长参会。
共有多少人参会?
（）
A.48B.60C.65D.72
【例2】商店里有六箱货物，分别重15、16、18、19、20、31千克，两个顾客买走了其中五箱，已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍。
商店剩下的一箱货物重多少千克（）。
A.16B.18C.19D.20
【例3】甲杯中有浓度17%的溶液400克，乙杯中有浓度为23%的同种溶液600克，现在从甲，乙取出相同质量的溶液，把甲杯取出的倒入乙杯中，把乙杯取出的倒入甲杯中，使甲，乙两杯溶液的浓度相同，问现在两杯溶液浓度是多少？
（）
A.20%B.20.6%C.21.2%D.21.4%
三、练习题
1、甲、乙、丙、丁四个队共同植树造林，甲队造林的亩数是另外三个队造林总亩数的1/4，乙队造林的亩数是另外三个队造林总亩数的1/3，丙队造林的亩数是另外三个队造林总亩数的一半。
已知丁队共造林3900亩，问甲队共造林多少亩？
（）
A.9000B.3600C.6000D.4500
2、水果店运来的西瓜个数是哈密瓜个数的4倍，如果每天卖130个西瓜和36个哈密瓜，那么哈密瓜卖完后还剩下70个西瓜。
该店共运来西瓜和哈密瓜多少个?
（）
A.225B.720C.790D.900
3、有甲、乙、丙三箱水果，甲箱重量与乙，丙两箱重量和之比是1：
5，乙箱重量与甲，丙重量之和的比是1：
2，甲箱重量与乙箱重量的比是（）
A.
B.
C.
D.1
4、甲容器中有浓度为4%的盐水150克，乙容器中有某种浓度的盐水若干，从乙中取出450克盐水，放入甲中混合成浓度为8.2%的盐水，那么乙容器中的浓度是多少？
（）
A.8.8%B.9.6%C.10.4%D.10.8%
5、一种溶液，蒸发掉一定量的水后，溶液的浓度为10%；再蒸发掉同样多样的水后，溶液的浓度变为12%；第三次蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度将变为多少?
（）
A.14%B.17%C.16%D.15%
第四节几何问题
一、基本知识与解题方法总结
1、常见平面图形、空间形体特点；
2、长度、面积、体积计算；
二、例题精讲
【例1】一只小鸟离开在树枝上的鸟巢,向北飞了10米，然后又向东飞了10米然后又向上飞了10米。
最后，它沿着到鸟巢的直线飞回了家，请问：
小鸟飞行的总长度与下列哪个最接近？
（）
A.17米B.40米C.47米D.50米
【例2】一间长250米、宽10米、高4米的仓库放置了1000个棱长为1米的正方体箱子，剩余的空间为（）立方米。
A.0B.1500C.5000D.9000
【例3】某工人用直径为50毫米的废铁片冲制垫圈，每块铁片冲4个相同的垫圈，试问垫圈的最大直径是（）毫米。
A.20.3B.20.5C.20.7D.20.9
三、练习题
1、甲、乙两个容器均有50厘米深，底面积之比5：
4，甲容器水深9厘米，乙容器水深5厘米，再往两个容器各注入同样多的水，直到水深相等，这时两容器的水深是（）。
A.20厘米B.25厘米C.30厘米D.35厘米
2、在一只底面半径是20cm的圆柱形小桶里，有一半径为10cm的圆柱形钢材浸没在水中，当钢材从桶中取出后，桶里的水下降了3cm。
求这段钢材的长度。
（）
A.3cmB.6cmC.12cmD.18cm
第五节经济问题
一、基本知识与解题方法总结
1、成本，售价，打折，利润，利润率；
2、单利、复利利率；
二、例题精讲
【例1】小五是某品牌鞋子的经销商,他以每4双鞋子300元的价格直接从生产商进货,同时以6双鞋子500元的价格卖给分销商.已知去年小五共赚了10万元钱.问：
小五去年共卖出鞋子多少双?
（）
A.8400双B.10000双C.12000双D.13000双
【例2】有A，B两种商品，如果A的利润增长20%，B的利润减少10%，那么，A，B两种商品的利润就相同了。
问原来A商品的利润是B商品利润的百分之几？
（）
A.80%B.70%C.85%D.75%
【例3】王方将5万元存入银行，银行利息为每年1.5%，请问2年后，他得到的利息是（）。
A.1500元B.1510元C.1511元D.1521元
三、练习题
1、张先生向商店订购某种商品80件，每件定价100元。
张先生向商店经理说：
“如果你肯减价，每减1元，我就多订购4件。
”商店经理算了一下，他如果减价5%，那么由于张先生多订购，仍可获得与原来一样的利润。
这种商品的成本是（）元。
A.65B.70C.75D.80
2、商店购进甲，乙，丙三种不同的糖，所用费用相等，已知甲，乙，丙三种糖每千克费用分别为4.4元，6元和6.6元。
如果把这三种糖混在一起成为什锦糖，那么这种什锦糖每千克成本多少元？
（）
A.4.8B.5C.5.3D.5.5
3、商店卖气枪子弹，每粒1分钱，每5粒4分钱，每10粒7分钱，每20粒1角2分钱。
小明的钱至多能买73粒，小刚的钱至多能买87粒，小明和小刚的钱合起来能买多少粒？
（）
A.160B.165C.170D.175
第六节等差数列
一、基本知识与解题方法总结
1、等差数列的规律及公式；
2、等差数列的实践应用；
二、例题精讲
【例1】{an}是一个等差数列，a3+a7-a10=8,a11-a4=4，则数列前13项之和是（）。
A.32B.36C.156D.182
【例2】有一堆粗细均匀的圆木最上面一层有6根，每向下一层增长一根；共堆了25层。
这堆圆木共有多少根?
（）
A.175B.200C.375D.450
【例3】部队组织新兵到野外进行拉练，行程每天增加2千米。
已知去时用了4天，回来时用了3天。
目的地距离营地多少千米?
（）
A.54B.72C.84D.92
三、练习题
1、10个连续偶数的和是以1开始的10个连续奇数和的2.5倍，其中最大的偶数是多少？
（）
A.34B.38C.40D.42
2、某车间从3月2日开始每天调入1人，已知每人每天生产一件产品，该车间从3月1日至3月21日共生产840个产品，该车间原有多少名工人？
（）
A.20B.30C.35D.40
3、甲、乙两厂生产同一种玩具，甲厂生产的玩具数量每个月保持不变，乙厂生产的玩具数量每个月增加一倍。
已知一月份两厂共生产玩具105件，2月份共生产110件。
乙厂的月产量第一次超过甲厂是在几月份？
（）
A.3月份B.5月份C.6月份D.第二年8月份
第七节计数问题
一、基本知识与解题方法总结
1、熟悉数字排列特性；
2、尾数凑整、代入排除法；
二、例题精讲
【例1】有一个两位数，如果把数字1加写在它的前面，那么可得到一个三位数，如果把1加写在它的后面，那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414，求原来的两位数。
（）
A.35B.43C.52D.57
【例2】有若干张卡片，其中一部分写着1.1，另一部分写着1.11，它们的和恰好是43.21。
写有1.1和1.11的卡片各有多少张?
（）
A.8张，31张B.28张，11张C.35张，11张D.41张，1张
【例3】1分、2分和5分的硬币共100枚，价值2元，如果其中2分硬币的价值比1分硬币的价值多13分，那么三种硬币各多少枚?
（）
A.51、32、17B.60、20、20C.45、40、15D.54、28、18
三、练习题
1、张大伯卖白菜，开始定价是每千克5角钱，一点都卖不出去，后来每千克降低了几分钱，全部白菜很快卖了出去，一共收入22.26元，则每千克降低了几分钱？
（）
A.3B.4C.6D.8
2、一个三位数，各位上的数的和是15，百位上的数与个位上的数的差是5，如颠倒百位与个位上的数的位置，则所成的新数比原数的3倍少39。
求这个三位数（）。
A.196B.348C.267D.429
3、有一堆棋子（棋子数大于1），把它们四等分后剩一枚，拿去三份零一枚，将剩下的棋子再四等分后还是剩一枚，再拿去三份零一枚，将剩下的棋子四等分还是剩一枚。
问原来至少多少枚棋子？
（）
A.23B.37C.65D.85
第八节年龄问题
一、基本知识与解题方法总结
1、年龄差始终不变；
2、列表三段法；
二、例题精讲
【例1】今年，祖父的年龄是小明年龄的6倍；若干年后，祖父的年龄是小明年龄的5倍；又过若干年后，祖父的年龄是小明年龄的4倍。
祖父今年多少岁？
（）
A.60B.72C.75D.80
【例2】甲乙两人年龄不等，已知当甲像乙现在这么大时，乙8岁；当乙像甲现在这么大时，甲29岁。
问今年甲的年龄为多少岁？
（）
A.22岁B.34岁C.36岁D.43岁
【例3】2004年小强小学毕业时正好12岁，妈妈40岁。
请问在哪一年，妈妈的年龄正好是小明年龄的5倍？
（）
A.1996年B.1997年C.1998年D.1999年
三、练习题
1、哥哥5年后的年龄和弟弟3年前的年龄和是29岁，弟弟现在的年龄是两人年龄差的4倍。
哥哥今年几岁？
（）
A.10B.12C.15D.18
2、爸爸、哥哥、妹妹现在的年龄和是64岁。
当爸爸的年龄是哥哥的3倍时，妹妹是9岁；当哥哥的年龄是妹妹的2倍时，爸爸34岁。
现在爸爸的年龄是多少岁？
（）
A.34B.39C.40D.42
3、祖孙三人的年龄加在一起正好120岁，祖父过的年数恰好等于孙子过的月数，儿子过的星期数恰好等于孙子过的天数，请问祖父年龄多少岁？
（）
A.60B.66C.72D.78
第九节工程问题
一、基本知识与解题方法总结
1、工程量与效率；
2、灵活设值，化简运算；
二、例题精讲
【例1】甲乙丙丁四个人共做了270个零件，如果甲多做10个，乙少做10个，丙做的个数乘2，丁做的个数除以2，那么四人做的零件数恰好相等。
丙实际做多少个？
（）
A.30B.45C.52D.63
【例2】某鞋业公司的旅游鞋加工车间要完成一出口订单，如果每天加工50双，要比原计划晚3天完成，如果每天加工60双，则要比原计划提前2天完成，这一订单共需要加工多少双旅游鞋？
（）
A.1200双B.1300双C.1400双D.1500双
三、练习题
1、一条隧道，甲单独挖要20天完成，乙单独挖要10天完成。
如果甲先挖1天，然后乙接替甲挖1天，再由甲接替乙挖l天……两人如此交替工作。
那么，挖完这条隧道共用多少天？
（）
A.14B.16C.15D.13
2、甲、乙两车运一堆货物。
若单独运，则甲车运的次数比乙车少5次；如果两车合运，那么各运6次就能运完，甲车单独运完这堆货物需要多少次?
（）
A.9B.10C.13D.15
3、一批木材全部用来加工桌子可以做30张，全部用来加工床可以做15张，现在加工桌子、椅子和床各2张，恰好用去全部木材的1/4，剩下的木材全部用来做椅子，还可以做多少张？
（）
A.40张B.30张C.25张D.5张
第十节行程问题
一、基本知识与解题方法总结
1、速度的定义与速度的合成；
2、作图确定运动过程，时间路程对应关系；
二、例题精讲
【例1】甲从某地匀速出发前进，一段时间后，乙从同一地点以同样的速度同向前进，在K时刻乙距起点30米；他们继续前进，当乙走到甲在K时刻的位置时，甲离起点108米。
此时乙离起点（）。
A.39米B.69米C.78米D.138米
【例2】甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行。
如果甲车提前一段时间出发，那么两车将提前30分相遇。
已知甲车速度是60千米／时，乙车速度是40千米／时。
那么，甲车提前了多少分出发（）。
A.30B.40C.50D.60
三、练习题
1、一个人乘车去旅行，车走了1/3路程他就睡着了，当他醒来时车还需行驶他睡着时走过的距离的1/3，则他睡着时车行驶了全程的几分之几？
（）
A.
B.
C.
D.
2、张明的家离学校4千米，他每天早晨骑自行车上学，以20千米／时的速度行进，恰好准时到校。
一天早晨，因为逆风，他提前0．2小时出发，以10千米／时的速度骑行，行至离学校2．4千米处遇到李强，他俩互相鼓励，加快了骑车的速度，结果比平时提前5分24秒到校。
他遇到李强之后每小时骑行多少千米?
（）
A.16B.18C.20D.22
第十一节容斥原理
一、基本知识与解题方法总结
1、集合公式；
2、集合关系图；
二、例题精讲
【例1】现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则两种实验都做对的有（）。
A.27人B.25人C.19人D.10人
【例2】对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛、电影和戏剧。
其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有（）。
A.22人B.28人C.30人D.36人
三、练习题
1、某学生语文、数学、英语三科的平均成绩是93分，其中语文、数学平均成绩90分，语文、英语平均成绩93.5分，则该生语文成绩是多少？
（）
A.88B.92C.95D.99
2、六年级三个班种了一片树，其中86棵不是一班种的，65棵不是二班种的，61棵不是三班种的，二班种了多少棵？
（）
A.41B.30C.26D.24
第十二节排列组合与概率问题
一、基本知识与解题方法总结
1、加法原理、乘法原理、排列、组合、全排列、概率；
2、捆绑法、插板法；
二、例题精讲
【例1】某铁路线上有25个大小车站，那么应该为这条路线准备多少种不同的车票（）。
A.625B.600C.300D．450
【例2】现有甲、乙两个水平相当的技术工人需进行三次技术比赛，规定三局两胜者为胜方。
如果在第一次比赛中甲获胜，这时乙最终取胜的可能性有多大（）。
A.1/2B.1/3C.1/4D.1/6
三、练习题
1、某单位今年新进了3个工作人员，可以分配到3个部门，但每个部门至多只能接收2个人，问：
共有几种不同的分配方案？
（）
A.12种B.16种C.24种D.以上都不对
2、将16个相同的彩球放到3个不同的箱子里去，要求每个箱子至少放1个，请问有多少种不同的方法？
（）
A.120B.160C.180D.240
3、一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添加进去2个新节目，有多少种安排方法？
（）
A.20B.12C.6D.4
第十三节盈亏问题与余数问题
一、基本知识与解题方法总结
1、盈亏问题模型与计算通法；
2、余数问题本质；
二、例题精讲
【例1】若干个同学去划船，他们租了一些船，若每船4人则多5人，若每船5人则船上有4个空位。
那么共有（）个同学。
A.17B.19C.26D.41
【例2】十几个小朋友围成一圈，按顺时针方向一圈一圈地循环报数。
如果报1和报100的是同一人，那么共有多少个小朋友？
（）
A.10B.11C.13D.15
三、练习题
1、小王练习射击，每次10发。
练了若干次之后，小王准备再打一次。
如果这次小王打48环，那么平均每次打56环。
如果最后这次打68环，那么平均每次打60环。
小王共练习了多少次？
（）
A.4B.5C.6D.7
2、一个两位数除以一个一位数，商仍是两位数，余数是8。
问：
被除数、除数、商以及余数之和是多少？
（）
A.98B.107C.114D.125
第十四节植树问题与方阵问题
一、基本知识与解题方法总结
1、封闭环、开放环植树；
2、方阵问题核心规律；
二、例题精讲
【例1】如图所示，街道ABC在B处拐弯，在街道一侧等距装路灯，要求A、B、C处各装一盏路灯，这条街道最少装多少盏路灯？
（）
A.18B.19C.20D.2l
【例2】有一个正方形花池，周围用尺寸25厘米的方砖铺了一条宽1.5米的小路，共用方砖1776块，花池的面积是多少平方米？
（）
A.111B.289C.400D.10404
三、练习题
1、在一个长345米、宽240米的长方形草坪四周等距离地栽一些松树，要求四个顶点和每边中点都正好栽一棵，则最少要买多少棵松树苗？
（）
A.156B.180C.234D.260
2、学校农场有一块正方形白菜地，共有10层，最里层共有8棵白菜。
如果这些白菜按照每棵平均3千克来计算，总共能收获多少千克白菜？
（）
A.660B.780C.1200D.1320
第十五节统筹问题与极值问题
一、基本知识与解题方法总结
1、统筹问题一般思路，过河问题公式；
2、极值问题核心规律；
二、例题精讲
【例1】49名探险队员过一条小河，只有一条可乘7人的橡皮船，过一次河需3分钟。
全体队员渡到河对岸需要（）分钟。
A.54B.48C.45D.39
【例2】在一个口袋中有10个黑球、6个白球、4个红球，至少从中取出多少个球才能保证其中有白球？
（）
A.14B.15C.17D.18
三、练习题
1、六个盘子中各放有一块糖，每次从任选的两个盘子中各取一块放入另一个盘子中，这样至少要做多少次，才能把所有的糖都集中到一个盘子中？
（）
A.3B.4C.5D.6
2、食堂买来5只羊，每次取出两只会称一次重量，得到10种不同重量（单位：
千克），47，50，51，52，53，54，55，57，58，59。
这五只羊中最重的一只重多少千克？
（）
A.25B.28C.30D.32
第十六节排除代入法
一、基本知识与解题方法总结
1、选项逆推，排2代1，正误立判；
2、本节为附加节，专门针对北京市应届考试真题；
二、例题精讲
【例1】有一个两位数，如果把数码1加写在它的前面，那么可得到一个三位数，如果把1加写在它的后面，那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414，求原来的两位数。
（）
A.35B.43C.52D.57
【例2】甲、乙两车运一堆货物。
若单独运，则甲车运的次数比乙车少5次；如果两车合运，那么各运6次就能运完，甲车单独运完这堆货物需要多少次？
（）
A.9B.10C.13D.15
【例3】哥哥5年后的年龄和弟弟3年前的年龄和是29岁，弟弟现在的年龄是两人年龄差的4倍。
哥哥今年几岁？
（）
A.10B.12C.15D.18
【例4】食堂买来5只羊，每次取出两只会称一次重量，得到10种不同重量（单位：
千克），47，50，51，52，53，54，55，57，58，59。
这五只羊中最重的一只重多少千克？
（）
A.25B.28C.30D.32
三、练习题
1、有若干张卡片，其中一部分写着1．1，另一部分写着1．11，它们的和恰好是43．21。
写有1．1和1．11的卡片各有多少张？
（）
A.8张，31张B.28张，11张C.35张，11张D.41张，1张
2、1分、2分和
升级会员 