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柏拉图

柏拉图

江苏教育学院周焕山

　　柏拉图（Plato）公元前427年生于雅典；公元前347年卒于雅典．认识论、数学哲学、数学教育．

　　柏拉图出生于雅典的显贵世家．父亲阿里斯顿（Ariston）据信是雅典历史上最后一个君主科德罗斯（Codrus）的后裔；母亲珮里克蒂妮（Perictione）的先辈可以上溯到公元前7世纪的雅典执政官德罗彼得（Dropides），据说他是被称为七贤之一的著名政治家和诗人梭伦（Sclon）的兄弟．柏拉图有两个年纪比他大得多的哥哥：

阿得曼图（Adeimantus）和格洛康（Glaucon），还有一个姐姐波托尼（Potone），其子斯标西波（Speusippus）后来成为柏拉图的继承人．

　　柏拉图幼年丧父，之后母亲改嫁．继父皮里兰佩（Pyrilampes）是建设民主政体的杰出政治家柏里克利（Pericles）的亲密助手，曾作为雅典使节被派往波斯等国，在国家事务中起过引人注目的作用．他的堂舅克里底亚（Critias）思想机敏，给柏拉图留下深刻的印象．在柏拉图的著作中，曾多次用颂扬的口吻满怀眷恋地提到他的继父、兄弟和其他亲属．他的著作的一些篇名如《克里底亚》等，就是以亲属的名字命名的．

　　柏拉图自幼受到良好而完备的教育，少年时代勤奋好学、多才多艺，且体格健壮．他写过抒情诗和悲剧，也参加过摔交等激烈运动，除去家庭的熏陶之外，给他影响最为深远的莫过于正直善辩的哲学家苏格拉底（Socrates）了．苏格拉底是柏拉图一家的老朋友，交往密切，所以，柏拉图很可能从小就认识苏格拉底．但是，热心追随苏格拉底则是从20岁时开始的．从此，苏格拉底成为柏拉图心目中最敬仰的导师．他在后来的著作中多次称苏格拉底是“人世间最有智慧的人”．

　　公元前404年，雅典在长达28年之久的伯罗奔尼撒战争之后被迫向斯巴达投降．柏拉图目睹了奴隶主民主政体的垮台，取而代之的是以他的堂舅克里底亚为首的史称“三十僭主”的专制政体，他的舅舅查密迪斯（Charmides）也成为“三十僭主”的成员之一．虽然这些亲戚们一上台就立即邀请柏拉图参加其行列，而且他也久怀从政的愿望，但是他没有响应．事态的发展迅速表明，“三十僭主”政体的所作所为，倒使得原先的民主政体在相比之下显得象一个黄金时代．他们滥杀无辜，任意剥夺，甚至老朋友也不放过，连正直的苏格拉底也险遭陷害．不到八个月，“三十僭主”的暴政就被推翻，克里底亚和查密迪斯也死于战乱，这一切都使柏拉图感到悲愤和失望．

　　在“三十僭主”垮台、民主派领袖恢复执政之后，尽管采取了比较温和、不施报复的政策，一些政客却指控苏格拉底犯有不敬神和蛊惑青年的罪名，并被处死．在苏格拉底受审时，柏拉图和他的哥哥阿德曼图曾去法庭聆听苏格拉底的雄辩、无畏的申辩词，并在他的早期著作《申辩》篇中记录了这件事．这一悲剧给柏拉图以极大的刺激，使得在他心中复萌的从政愿望熄灭了．随着年岁的增长，他对当时的政客、法典和习俗越来越感到厌恶，从而决心继承苏格拉底的哲学思想，开始撰写以苏格拉底为主人公的《对话》，并从事于缔造理想国家的理论研究．

　　苏格拉底死后，柏拉图离开雅典，退避到欧几里得（Euclid）的家乡麦加拉．欧几里得是麦加拉学派的首领，他信奉苏格拉底的伦理学，“把善说成是普遍意义下的绝对本质”．黑格尔在谈到麦加拉学派时说：

“他们曾经在一切观念中指出矛盾，这是他们的好辩”．柏拉图对于这种“好辩”似乎不太热心，转而对科学产生兴趣．离开麦加拉以后，他开始了长途游历．先后去过埃及、昔勒尼（Cyrene）、意大利南部和西西里等地．在昔勒尼，他在著名数学家德俄多儒（Theodorus）的指导下，特别钻研了数学．在意大利南部的塔林敦（Tarentum），他结交了当时毕达哥拉斯学派的主要代表人物阿尔希塔斯（Archytas）．阿尔希塔斯在数学和力学上的造诣，他所维持的毕达哥拉斯学派的教育制度，都给柏拉图留下深刻的印象．在西西里岛的叙拉古，柏拉图结识了年青的狄昂（Dion，约公元前408—前354年）．狄昂是叙拉古僭主狄俄尼索（Dionysuis）的姻亲，他厌恶上层社会的奢侈淫逸的生活，虔诚地接受了柏拉图的哲学观点，成为追随柏拉图的忠实信徒．在柏拉图的第七封信札中提到过这次旅行，他说，40岁时他在意大利和西西里，那里看到的声色享乐使他惊骇不安．他还记载了对狄昂的良好的印象．

　　公元前387年，柏拉图在雅典城的东北角创办了一所好多方面颇象现代私立大学的学园（Academy）．柏拉图学园有教室、花园、饭厅、礼堂和学员宿舍，并有由柏拉图及其助手讲授的正式课程．仿效毕达哥拉斯学校的惯例，学员们吃公共伙食．学园同时也作为一个敬奉缪斯的宗教社团，以确保得到合法的承认．柏拉图自任校长，大概就住在学园的附近．

　　公元前367年春狄俄尼索去世，柏拉图的崇拜者狄昂成为首席大臣，他吁请柏拉图去叙拉古，以帮助教育他的外甥狄俄尼索二世，将他培养成一个能胜任他的职责的立宪君主．柏拉图应邀于公元前366年到达叙拉古．根据柏拉图的第七封信札，他到了那里发觉形势很复杂，一些叙拉古人认为，狄昂企图让他的外甥泡在没完没了的学习之中，以便他自己掌握实权．在柏拉图到达三个月之后，国王狄俄尼索二世怀疑起他的舅父来了，并以勾结敌国迦太基的罪名，将狄昂放逐到国外．柏拉图于次年（公元前365年），在得到狄昂将被召回的诺言之后返回雅典．

　　公元前362年，柏拉图又应国王的邀请再次去叙拉古．据说这一次国王真正对哲学感兴趣了，按照柏拉图的第七封信札的说法，这次他同意去那里，是被狄昂的事有可能在他返回叙拉古的条件下得以解决的前景所促成的．狄昂在被放逐的那几年里一直在雅典度过，并成为柏拉图的姪儿斯标西波的朋友．然而，柏拉图的调解努力以失败告终．国王非但没有听从柏拉图的劝说，反而禁止狄昂的代理人向狄昂解送他的地产收入，柏拉图也被软禁起来，好不容易才于公元前361年逃回雅典．于是，狄昂采取步骤以实现武力返回叙拉古，并要以非礼罪惩处国王．虽然这次他恳求柏拉图的帮助，但被柏拉图以年老为由婉谢了．学园中的其他一些成员参加了这次远征．狄昂的冒险行动得到成功，国王被赶下台，并逃走了．然而在短期执政之后，狄昂被参加这次远征的一个雅典人谋杀了（公元前354年）．柏拉图的第七和第八封信札，就是在这时期写给狄昂的同党的．

　　除去上面说的第二和第三次西西里之行，柏拉图自创办学园之后的四十年，一直在雅典度过．他从事学园的管理、教学、研究和写作．除去一些早期作品外，他的大部分著作都是在雅典完成的．柏拉图逝世于公元前347年，享年八十．传说他是在参加一位朋友的结婚宴会时，忽感不适，退到屋子一角平静地辞世的．　　

　　作为一位哲学家，柏拉图对于欧洲的哲学乃至整个文化的发展，有着深远的影响．特别是他的认识论、数学哲学和数学教育思想，在古代希腊的社会条件下，对于科学的形成和数学的发展，起了不可磨灭的推进作用．古希腊最大的科学家和思想家亚里士多德，曾师事柏拉图20年，被柏拉图誉为“学园的精英”；杰出的数学家欧多克索斯（Eudoxus）、门奈赫莫斯（Menaechmus）和泰特托斯（Theaetetus）等都是柏拉图的学生或同事，这决不是偶然的．

　　先说著作．除书札外，柏拉图的著作概用对话体裁．传世的有35篇《对话》和13封书札．《对话》中大多以苏格拉底为主角，常假托他的话来阐述柏拉图自己的哲学思想，行文优美，融哲学和文学为一体．关于这些著作的真伪和写作的先后，学者们的意见历来不太一致．比较公认的说法是大约20多篇对话出自柏拉图之手．其中经常为人们引用的名篇，按写作先后可大致排列为：

《申辩（Apology）》，《克里托（Crito）》，《普罗塔戈拉（Protagoras）》，《高尔吉亚（Gorgias）》，《克拉底鲁（Cratylus）》，《美诺（Meno）》，《菲多（Phaedo）》，《会饮（Symposium）》，《理想国（Republic）》，《菲德罗（Phaedrus）》，《巴门尼德（Parmenides）》，《泰特托斯（Theaetetus）》，《智者（Sophist）》，《政治家（Statesman）》，《菲利布（Philebus）》，《蒂迈欧（Timaeus）》，《克里底亚（Critias）》，《法律（Laws）》等．其中《理想国》著于壮年，如日中天，包罗万方，堪称千古名作．在13封书札中，一般认为第六、七、八封是可信的．

　　柏拉图的认识论，通常被认为是客观唯心主义的．在哲学史上，是他试图论述诸如什么是知识、知识的来源、感觉与知识、理性与知识等基本问题的．因此，只有柏拉图才能称得上是认识论的真正创始人．柏拉图认识论的主要部分是理念论、回忆说、辩证法和灵魂转向说．

　　关于柏拉图构想理念论的原因，亚里士多德作过清楚的分析．柏拉图年轻时就和雅典人克拉底鲁相识．克拉底鲁信奉赫拉克利特（Heraclitus）的学说，认为凡可目睹的事物永远处于变化的状态，因而关于它们没有知识可言．柏拉图当时和以后都没有否认这一点，因此，为了继承和发展苏格拉底在道德领域内对永久不变的共相的探求，柏拉图把共相和可以感知的具体事物分离开来，使之成为独立的实在，并称之为理念（idea或form）．在他看来，具体事物是由于“分有”理念而得以存在的；当我们命名或说起这些具体事物时，我们所指的其实是同名理念．他把理念看做是可感事物的源泉，是正本；而把具体事物看做是模仿理念而成，是副本．他还设想在永恒不变的理念世界里，“善”理念具有太阳般崇高的位置，善是知识和真理的根源．并认为理念可以通过理性而不能通过感觉来认识．其实柏拉图的理念就是共相，是事物的本质属性．强调把事物的共相作为认识的起点，强调理性知识和感觉印象的区别，具有积极的一面．但是柏拉图在处理精神世界和现实世界的关系时，犯了本末倒置的错误．他的得意门生亚里士多德在《形而上学》里，对此提出了批评和纠正．亚里士多德完全否定在现实世界之外还有一个独立自存的理念世界，认为理念实际上就是共性，它只能寓于个性之中，存在于人们的抽象概念中．列宁指出：

“亚里士多德对柏拉图的‘理念’的批判，是对唯心主义，即一般唯心主义的批判．”在哲学史上，黑格尔曾从哲学的辩证发展的角度，不无过誉地高度评价了师徒二人的贡献．他说：

“哲学之作为科学是从柏拉图开始而由亚里士多德完成的．他们比起所有别的哲学家来，应该可以叫做人类的导师．”

　　按照柏拉图的神话般的设想，理念是不死的灵魂所固有的．但在转世出生时遗忘掉了，只有后天通过感觉和学习，通过别人的询问，才能回忆起先天固有的知识．听到别人讲的道理而能理解，并非接受了别人的知识，乃是自己原有的知识经别人的提醒得以回忆起来．这就是他在《美诺》篇中提出的回忆说．因此，他主张教育应注重诱导和启发，应通过问答式的对话引导对方进行由近及远的层层推理．在《美诺》篇中，苏格拉底就是这样从一个未受过教育的男仆嘴里，引导出一道几何题的答案．这种采用对话来推求真理的方法，即所谓“理智助产术”，有时也被他称为“辩证法”．不过当他使用“辩证法“这一术语时，含义要更加广泛些，更着重于理念的推演和对立意见的辩析，更着重于对所谓“纯粹思想”的考察．黑格尔说：

“柏拉图的研究完全集中在纯粹思想里，对纯粹思想本身的考察他就叫辩证法．他的许多对话都包含这样意义的辩证法．这些纯粹思想是：

‘有’与‘非有’、‘一’与‘多’、‘无限’与‘有限’．这些就是他独立地予以考察的对象，——因此这乃是一种纯逻辑的、最深奥的研究”．柏拉图在他的后期对话《巴门尼德》、《智者》和《菲利布》等篇中阐述了他的辩证法．特别是《巴门尼德》篇，被黑格尔誉为“柏拉图辩证法最著名的杰作”．这篇对话的主题是假借巴门尼德和芝诺之口说出来的辩证法．但应注意，希腊哲学家芝诺和柏拉图所说的辩证法，与马克思主义所讲的辩证法是有实质性的区别的．

　　柏拉图在他的对话中多处提到知识和意见（有时称为信念）之间的区别．他认为知识必须建立在理性的基础上，必须是真实的．而处于意见状态，则是指依据权威或仅仅出于习惯就接受的关于事实和原则的判断．由于没有把握事物之间的因果联系，意见可真可假．如果把握了事物之间的因果联系，就能用因果锁链把它们缚住，人们的认识也就由意见转变成知识．按照理念论，掌握知识的人通晓理念，并能将特殊情形和理念联系起来（虽然柏拉图未能成功地解释这种联系是怎样发生的）；而仅满足于持有意见的人，却只能在半真实的特殊事物间徘徊．

　　柏拉图在《理想国》第Ⅵ，Ⅶ两章中，通过三个有名的比喻：

“日喻”、“线喻”和“洞喻”，在对认识过程进行深入分析的基础上，提出并阐释了他的“灵魂转向说”．所谓“日喻”，简言之，就是把理念世界中的善理念比作可感世界中的太阳．太阳是光的源泉，是万物生长和可感性的原因，并引发眼睛的视觉功能；而善理念是真理的源泉，是真实存在（理念）的可知性的原因，并引发灵魂的认识功能．至于“线喻”，是通过将一条直线划分为四段作为比喻以分析认识过程的．他将这四个部分比喻为四种等级的心理状态：

最高等级是理性，第二等级是理智，第三等级是信念，第四等级是想象．这四种心理状态是根据认识的真实性与明确性来划分的，前二者是对可知世界认识的结果，后二者是对可感世界认识的结果．这四个等级其实代表着认识过程由初级到高级的四个阶段，只是柏拉图从理念论的唯心观点出发，把前后次序倒置了．第四等级想象，代表感性认识的初级阶段．处于对可感事物外表的模糊觉察．例如，对物体投在水中的影象留下的第二手印象．第三等级信念，代表对现象界的比较明确的感性认识．例如，对于自然界和日常生活中一般事物的印象或意见．第二等级理智，其对象是理念世界中的一些孤立的理念．常常要借助于图形等的帮助，根据某些假设进行逻辑推理．例如，从事数学研究时的心理状态就处于理智等级．第一等级理性，其对象是理念世界或所谓真实存在．凭借辩证法和纯粹思维，由理念到理念，直至达到终极真理．这就是以善理念为终极目标的纯哲学研究．而“洞喻”，是以在一个洞穴内面壁而居的囚徒走向光明的过程作比喻，形象地说明了从感性认识上升到理性认识的艰难历程．

　　然后，柏拉图十分自然地通过苏格拉底之口说：

“每一个人在他的灵魂内部都隐藏着一种进行学习的能力，这种能力可比喻为知识之目．但正如必须转动整个身体，眼睛才能由黑暗转向光明一样，作为整体的灵魂也必须转移方向，知识之目才能离开变化的现象世界而朝向实在世界，并逐渐学会承受实在之光，直至看到最明亮、最美好的实在，换句话说，即看到善”．这就是柏拉图的“灵魂转向说”．他认为教育就是一种使灵魂转向的艺术，要研究用什么方式可使这种转向最易行、最有效．教育的目的不在于移植视力，因为灵魂本身已经有视力，而在于促使灵魂转移方向，转向该看的方向，让视力发挥作用．“转向说”不提知识是灵魂所固有的，而换成学习能力是灵魂所固有的．因此教育不是简单地唤起回忆，而是要采取确当的方式，引导灵魂转向，让学习能力向着正确的方向发展．虽然柏拉图没有宣布放弃“回忆说”，但是从《美诺》篇中的“回忆说”到《理想国》中的“转向说”，不能不说是他的认识论发展中的一大进步．

　　我们从柏拉图的著作中，可以看到数学哲学领域的最初的探究．柏拉图的数学哲学思想是同他的认识论、特别是理念论分不开的．他认为数学所研究的应是可知的理念世界中的永恒不变的关系，而不是可感的物质世界中的变动无常的关系．因此，数学的研究对象应是抽象的数和理想的图形．他在《理想国》中说，“我所说的意思是算术有很伟大和很高尚的作用，它迫使灵魂就抽象的数进行推理，而反对在论证中引入可见的和可捉摸的对象．”他在另一处谈到几何时说：

“你岂不知道，他们虽然利用各种可见的图形，并借此进行推理，但是他们实际思考的并不是这些图形，而是类似于这些图形的理想形象．…，他们力求看到的是那些只有用心灵之目才能看到的实在．”

　　如果说数学概念的抽象化定义始于毕达哥拉斯学派，那么，柏拉图及其学派则把这一具有历史意义的工作大大地向前推进了．他们不仅把数学概念和现实中相应的实体区分开来，而且把它和在讨论中用以代表它们的几何图形严格地区分开来．柏拉图是从理念论的角度去探讨数学概念的涵义的．在柏拉图的第七封信札里，他曾以圆为例进行分析．他说，“有四种圆：

（1）被世人称为圆的某种东西；

（2）圆的定义：

在任何方向上的边界点到中心的距离都是相等的；（3）画出的一个圆，即旋转圆规所得出的圆；（4）实质性的圆，即圆的理念，它与其它圆的存在密切相关，但又不同于任何其它的圆．”柏拉图接着评论道：

（1）名称是无关紧要的，它只是由习惯形成的．我们甚至可称圆为直线，并反过来称直线为圆；

（2）定义其实也不具有真正的确定性，它是由名词、动词等词语组成的；（3）是画出来或旋转出来的具体的圆，这里难免掺杂其它东西：

它甚至充满着和圆的本质相抵触的成分．例如，虽然数学圆和数学直线仅能相切于一个公共点，但这在画图时是无法做到的．因此，

（1），

（2），（3）都不是完善的圆，许多具体的数学圆其实介于这些不完善的圆与唯一的圆的理念之间．亚里士多德阐释说，柏拉图是将数学对象置于现实对象与理念之间的，数学对象因其常驻不变而区别于现实对象，又因其可能有许多同类对象而区别于理念．举例说，三角形的理念只有唯一的一个，但存在许多数学三角形，也存在相应于这些数学三角形的各种不完善的摹本，即具有各种三角形形状的现实物体．

　　尽管柏拉图的数学理念带有唯心主义色彩，但从客观效果来看，这一词语的内涵和我们今天所说的数学概念的内涵是基本一致的．名称、定义和相应的图形都是用以描摹数学概念的，但是它们之中的任何一个都和数学概念自身有所区别．显然，定义要比名称和图形更能刻划一个数学概念的本质特征．事实上，柏拉图对数学定义极其重视．例如对偶数、图形、直线等定义，在其著作中都作过推敲．在某些方面，他继承了毕达哥拉斯学派的传统，但也常常提出自己的异议，并在他的学园内进行讨论．例如在谈到点的定义时，柏拉图对于毕达哥拉斯的“具有位置的单子（mo-naa）”这一定义明确地表示反对．事实上，“单子”并不比“点”更容易理解．虽经反复研究，但柏拉图也没有想出更好的定义来代替它．据亚里士多德说，柏拉图认为把点作为一类事物纯属“几何虚构”，他称点是“线段之端”，有时也用“不可分之线段”这一术语来表示同一意义．亚里士多德指出，即使不可分的线段也必然还有开端，因而这样解释于事无补；而把点定义为“线段之端”，则是不科学的．我们从这一段讨论中可以看出，柏拉图学派已接近于把点判为不可定义的原始概念了．

　　柏拉图在《理想国》第六卷中论及数学假设和证明．他说：

“想必你知道，研究几何、算术以及这一类学问的人，首先要假定奇数、偶数、三种类型的角以及各学科中诸如此类的东西是已知的．这就是他们的假设，他们设想这些东西是任何人都知道的，因而认为无必要就此向他们自己或别人作任何说明．他们就从这些假设出发，并以前后一致的方式向下推，直至最后得出他们的结论．”这段话表明，从一些公认的假设出发进行演绎证明，这在当时的学园里已经是不争的事实，而且得到柏拉图的赞许．事实上，柏拉图十分强调脱离直观印象的纯理性证明，并严格地把数学作图工具限制为直尺和圆规．据普鲁塔克（Plutarch）的记述，当听说欧多克索斯和阿尔希塔斯应用机械工具来解决一个与立方倍积问题有关的几何作图时，柏拉图就愤愤地予以抨击．认为这样做“只能导致几何学的堕落，剥夺它的优点，因而使它可耻地背弃纯理智的抽象对象，倒退到感性，并求助于物质．”柏拉图的这种或许有点过激的主张，对于形成欧几里得几何的公理演绎体系，不无促进作用．但其副作用也是不可否认的：

由于古希腊的实验科学和机械学受到哲学家的漠视，以致长期处于相对落后的状态．柏拉图也十分重视算术，但他是将算术和实用计算区分开来的．他所说的“算术”其实是指关于整数的学问．

　　希腊数学评论家普罗克拉斯（Proclus）和历史学家D．拉尔修（Laertius，公元3世纪），把两类方法论归功于柏拉图．第一类是分析法，第二类是归谬法或间接法．关于第一类方法，T．L．希思（Heath）认为普罗克拉斯所指是柏拉图在《理想国》中使用的那种哲学方法，被误解为数学中的分析法．但是很可能为了强调逻辑严格性，柏拉图曾指出在分析法证明之后有加以综合的必要．至于归谬法，有人认为应归功于希波克拉底（Hippocrates）．关于这两种方法的发明权问题，至今尚无定论．

　　柏拉图在相当大的程度上继承了毕达哥拉斯学派的“万物皆数”的观点．他认为宇宙间的天体以至万事万物都是按照数学规律来设计的．依赖感官所感觉到的世界是混乱和迷离的，因而是不可靠的和无价值的．只有通过数学才能领悟到世界的实质．他因此逐渐对数学产生了强烈的兴趣．他对几何学如此崇拜，以至认为创造世界的神是一个“伟大的几何学家”．他甚至具体设想宇宙之初有两种直角三角形，一种是正方形的一半，另一种是等边三角形的一半．由这些三角形组成四种正多面体，构成四种元素的微粒．其中火微粒是正四面体，土微粒是正立方体，气微粒是正八面体，水微粒是正二十面体．至于各面为正五边形的正十二面体，则是构成天上物质的精英．后来，他特地对五种正多面体的特征和作图方法作了系统的论述，因而后人就把这五种正多面体统称为柏拉图体．他认为宇宙是活的，是运动的，而且是做的圆周运动，因为圆是完善的．他还认为万物都可以用一个数目来定名，这个数目体现其所含元素的比例，等等．这一切可以说明，柏拉图的宇宙观是数学化的宇宙观．这种宇宙观是形成柏拉图的数学教育观的思想基础．现代英国著名数学家B．罗素（Russell）评论说：

“在认为没有数学就不可能有真正的智慧这一点上，他是一个十足的毕达哥拉斯主义者．”

　　自公元前387年开始，柏拉图就把创建和主持学园教育作为自己最重要的事业．虽然他认为学园的办学宗旨是培养具有哲学头脑的优秀政治人才，直至造就一个能够胜任治国重任的哲学王，但在具体课程设计上却继承和发展了毕达哥拉斯学派的以数学为主课的方针．在《理想国》第七卷中，他系统地论述了学园的教育方针．他批评了雅典人过早地以“辩论术”培训年轻人的传统做法，认为那样做“结果是损坏了自己和整个哲学事业在世人心目中的信誉”．他主张对20岁到30岁的学员进行长达十年的以数学为中心的教育．课程包括算术、平面几何、立体几何，天文学和谐音学．其中天文学不依赖对天象的观察，而主要凭借纯粹的数和图形来研究天体运动；谐音学不是凭借经验，而主要依据数本身的性质，去思考哪些数是和谐的，哪些数是不和谐的．因此，按照毕达哥拉斯学校的惯例，这两门课也被看成是数学学科．这些课程都是为学习辩证法作准备的．待30岁以后，花五年时间专心学习以辩证法为主的哲学，35岁以后方才出任公职．不过在上述五门课程中，主要是算术和平面几何，因为其它三门学科在当时发展得还很不成熟．柏拉图曾谈到立体几何没有得到发展的具体原因，并倡导人们对它进行研究．此外，他还讨论了关于选定哪些人去研习这些功课的问题．回答是要象选择统治者那样，“必须挑选出最坚定、最勇敢、在可能范围内也最有风度的人．此外，我们还得要求他们不仅性格高贵严肃而且还要具有适合这类教育的天赋．”接着还讨论了应有哪些天赋的问题．由此可见，柏拉图学园里实施的是一种英才教育．据F．拉瑟尔说，在柏拉图以及他的继任人斯标西波主持学园的共约46年期间，数学一直在学园内占据主导地位，柏拉图的数学大纲得到充分的贯彻．从公元6世纪以来广为流传的一则故事说，在柏拉图学院的大门口刻有“不懂几何者不得入内”的铭文．如果确有其事的话，这恐怕是有史以来从知识方面规定入学条件的最早记录．

　　柏拉图为什么如此重视数学教育呢？

这主要是根据他的教育目标和他的认识论学说确定的．柏拉图的教育目标是通过长期的严格训练，培养出一批精通辩证法、能凭借理性去把握永恒不变的实在（理念）、直至能把握善理念的人才．只有这样的人才有资格统治国家，只有把握了善理念的哲学家才能以善理念为模型和蓝图，来塑造人间的理想国．要实现这一目标，从认识论的角度看，其关键是要实现由第三等级信念状态到第一等级理性状态的转向．而从事数学思考的认