初中数学九年期末50题组卷.docx
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初中数学九年期末50题组卷
2014年12月16日初中数学组卷
一．选择题（共6小题）
1．（2014•贵港）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：
①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2，
其中正确的结论有（ ）
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
2．（2014•博野县模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：
①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中结论正确的个数是（ ）
A．
2
B．
3
C．
4
D．
5
3．已知二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，以下结论中正确的个数是（ ）
①abc＞0、②3a＞2b、③m（am+b）≤a﹣b（m为任意实数）、④4a﹣2b+c＜0．
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
4．（2011•河东区二模）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，有下面四个结论：
①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③2a+3b＞0；④c﹣4b＞0
其中，正确的结论是（ ）
A．
①②
B．
①②③
C．
①②④
D．
①③④
5．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列四个结论：
①abc＞0；②3a+b＞0；③
＞﹣3；④2c＞3b，其中结论正确的个数为（ ）
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
6．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出以下结论：
①b2＞4ac；②abc＞0；③2a﹣b=0；④8a+c＜0；⑤9a+3b+c＜0，
其中结论正确有（ ）个．
A．
2个
B．
3个
C．
4个
D．
5个
二．填空题（共4小题）
7．（2012•吴中区一模）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（﹣1，2）和（1，0），且与y轴交于负半轴，给出四个结论：
①abc＜0；②2a+b＞0；③a+c=1；④a＞1，其中正确结论的序号是 _________ （少选，错选均不得分）．
8．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣3，0），（x1，0），且2＜x1＜3，又与y轴的正半轴的交点在点（0，2）的上方，下列有四个结论：
①a＞b＞0；②6a+c＞0；③9a+c＜0；④9a﹣3b+2＞0．其中，结论正确的有 _________ ．
9．（2014•鄂州）如图，正方形ABCD的边长为2，四条弧分别以相应顶点为圆心，正方形ABCD的边长为半径．求阴影部分的面积 _________ ．
10．（2014•菏泽）下面是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥3）行从左向右数第n﹣2个数是 _________ （用含n的代数式表示）
三．解答题（共20小题）
11．（2010•武汉模拟）如图1，△ABC中，AC=BC，∠C=120°，D在BC边上、△BDE为等边三角形，连接AE，F为AE中点，连CF，DF．
（1）请直接写出CF、DF的数量关系，不必说明理由；
（2）将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜60°），其它条件不变，如图2，试回答
（1）中的结论是否成立？
并说明理由；
（3）若将图
（1）中的△DBE绕点B顺时针旋转90°，其它条件不变，请完成图3，并直接给出结论，不必说明理由．
12．（2014•黔东南州）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（
，
）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．
13．（2014•孟津县二模）如图，四边形ABCD为菱形，点G为BC的延长线上一点，连接AG，分别交BD、DC于点E、F，连CE．
（1）猜想EC与AE的数量关系为 _________ ；（不需证明）
（2）若F为CD的中点，猜想
= _________ ，并说明理由；
（3）若AE=mEF（m＞1），猜想
= _________ ．（用m表示，不需证明）
14．（2014•昆都仑区一模）如图，正方形ABCD中，E为BC延长线上一点，F为DC上一点，且CE=CF，连接BF并延长与DE交于点G．
（1）如图①，求证：
BG⊥DE；
（2）如图②，当点F为边CD的中点时，连接EF并延长交AD于点H，连接BH，求证：
四边形BEDH是等腰梯形；
（3）如图③，点G是DE的中点时，连接BD、AG交于点M，求证：
DE=
AM．
15．（2014•葫芦岛二模）如图，在⊙O中，点P为直径BA延长线上一点，直线PD切⊙O于点D，过点B作BE⊥PD，垂足为E，BE交⊙O于点C，连接BD．
（1）求证：
BD平分∠ABE．
（2）如果AB=13，BC=5，求BD的长．
16．（2013•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+b（b＜0）与坐标轴交于A，B两点，与双曲线y=
（x＞0）交于D点，过点D作DC⊥x轴，垂足为G，连接OD．已知△AOB≌△ACD．
（1）如果b=﹣2，求k的值；
（2）试探究k与b的数量关系，并写出直线OD的解析式．
17．如图，已知O是坐标原点，A、B、C三点的坐标分别为（1，1）、（4，0）、（3，2）．
（1）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1；
（2）画出与△A1B1C1关于原点成中心对称的△A2B2C2，并写出A2、B2、C2三点的坐标．
18．（2014•大连）某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同．
（1）求2013年到2015年这种产品产量的年增长率；
（2）2014年这种产品的产量应达到多少万件？
19．（2014•昆明）如图，在教学实践课中，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°，AC=22米，求旗杆CD的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：
sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）
20．（2014•河南）
（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：
①∠AEB的度数为 _________ ；
②线段AD，BE之间的数量关系为 _________ ．
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在正方形ABCD中，CD=
，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．
21．（2014•东营）【探究发现】如图1，△ABC是等边三角形，∠AEF=60°，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F，当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；
【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：
当点E是直线BC上（B，C除外）任意一点时（其它条件不变），结论AE=EF仍然成立．
假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点E是线段BC延长线上的任意一点”；“点E是线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在备用图1中画出图形，并证明AE=EF．
【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时，若CE=BC，在备用图2中画出图形，并运用上述结论求出S△ABC：
S△AEF的值．
22．（2013•烟台）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 _________ ，QE与QF的数量关系式 _________ ；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时
（2）中的结论是否成立？
请画出图形并给予证明．
23．（2013•牡丹江）已知∠ACD=90°，MN是过点A的直线，AC=DC，DB⊥MN于点B，如图
（1）．易证BD+AB=
CB，过程如下：
过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E
∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE．
∵四边形ACDB内角和为360°，∴∠BDC+∠CAB=180°．
∵∠EAC+∠CAB=180°，∴∠EAC=∠BDC．
又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE=
CB．
又∵BE=AE+AB，∴BE=BD+AB，∴BD+AB=
CB．
（1）当MN绕A旋转到如图
（2）和图（3）两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图
（2）给予证明．
（2）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD=30°，BD=
时，则CD=___，CB=___．
24．（2014•梅州）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：
CE=CF；
（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？
为什么？
25．（2014•本溪）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF．
（1）如图①，当∠BAE=90°时，求证：
CD=2AF；
（2）当∠BAE≠90°时，
（1）的结论是否成立？
请结合图②说明理由．
26．（2003•黑龙江）已知：
如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交，易证FG=
（AB+AC+BC）．
若：
（1）BD、CE分别是△ABC的内角平分线（如图2）；
（2）BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线（如图3），
则在图2、图3两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？
请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．
27．（2011•房山区一模）已知：
等边三角形ABC
（1）如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．求证：
PA+PD+PC＞BD．
28．△ABC中，∠C=90°，射线AD交射线BC于D，过D作DE垂直射线BA于点E，点F在射线CA上，BD=DF．
（1）如图1，若AD是∠BAC的角平分线，求证：
BE+AF=AC；
（2）如图2，若射线AD平分△ABC的外角，且点F在射线DE上，则线段BE、AF和AC的数量关系是 _________ ；
（3）如图3，在
（2）的条件下，过D作DM∥AB交AC延长线于点M，若AE=2，AF=3，DM=
BE，求CM的长．
29．（2013•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠ACB=90°，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣25x+144=0的两个根（OA＜OB），点D是线段BC上的一个动点（不与点B、C重合），过点D作直线DE⊥OB，垂足为E．
（1）求点C的坐标．
（2）连接AD，当AD平分∠CAB时，求直线AD的解析式．
（3）若点N在直线DE上，在坐标系平面内，是否存在这样的点M，使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形？
若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
30．（2014•龙东地区）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根（OA＞OB）．
（1）求点D的坐标．
（2）求直线BC的解析式．
（3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？
若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
31．（2013•平遥县模拟）已知：
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，tan∠BAC=
，将∠ABC对折，使点C的对应点H恰好落在直线AB上，折痕交AC于点O，以点O为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求过A、B、O三点的抛物线解析式；
（2）若在线段AB上有一动点P，过P点作x轴的垂线，交抛物线于M，设PM的长度等于d，试探究d有无最大值？
如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．
（3）若在抛物线上有一点E，在对称轴上有一点F，且以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形，试求出点E的坐标．
32．（2014•三明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的一个交点为A（﹣2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标；
（3）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC？
若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
33．（2010•潼南县）某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程．
（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
（2）若甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作 _________ 天（用含a的代数式表示）可完成此项工程；
（3）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？
34．（2007•义乌市）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？
如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．
35.某水果批发市场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克、经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克这种水果在原售价的基础上每涨价1元，日销售量将减少20千克．
（1）如果市场某天销售这种水果盈利了6000元，同时顾客又得到了实惠，那么每千克这种水果涨了多少元？
（2）设每千克这种水果涨价x元时（0＜x≤25），市场每天销售这种水果所获利润为y元．若不考虑其他因素，单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元时，市场每天销售这种水果盈利最多？
最多盈利多少元？
36．（2008•陕西）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆O与斜边AB交于点E，连接DE．
（1）求证：
AC=AE；
（2）求AD的长．
37．（2013•北京）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
38．（2012•宜宾）为了解学生的艺术特长发展情况，某校音乐组决定围绕“在舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动项目中，你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请你根据统计图解答下列问题：
（1）在这次调查中一共抽查了 _________ 名学生，其中，喜欢“舞蹈”活动项目的人数占抽查总人数的百分比为 _________ ，喜欢“戏曲”活动项目的人数是 _________ 人；
（2）若在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲”活动项目任选两项设立课外兴趣小组，请用列表或画树状图的方法求恰好选中“舞蹈、声乐”这两项活动的概率．
39．如图，直线l经过A（3，0），B（0，3）两点，且与二次函数y=x2+1的图象，在第一象限内相交于点C．求：
（1）△AOC的面积；
（2）二次函数图象的顶点与点A、B组成的三角形的面积．
40．（2012•双柏县一模）如图，△ABC中．
（1）将△ABC向右平移4个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；
（2）画出关于x轴对称的△A2B2C2；
（3）将△ABC绕原点O旋转180°，画出旋转后的△A3B3C3．
41.如图，一次函数y1=kx+b与二次函数y2=ax2的图象交于A、B两点．
（1）利用图中条件，求两个函数的解析式；
（2）根据图象写出使y1＞y2的x的取值范围．
42．（2009•綦江县）如图，已知抛物线y=a（x﹣1）2+3
（a≠0）经过点A（﹣2，0），抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连接BC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形，直角梯形，等腰梯形？
（3）若OC=OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？
并求出最小值及此时PQ的长．
43．（2009•铁岭）如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C、A（1，1）、B（3，1）．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q．设P点移动的时间为t秒（0＜t＜4），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．
（1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；
（2）求S与t的函数关系式；
（3）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？
若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
44．（2009•遂宁）如图，二次函数的图象经过点D（0，
），且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB的长为6．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？
如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
45．（2009•湛江）已知矩形纸片OABC的长为4，宽为3，以长OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系；点P是OA边上的动点（与点O、A不重合），现将△POC沿PC翻折得到△PEC，再在AB边上选取适当的点D，将△PAD沿PD翻折，得到△PFD，使得直线PE、PF重合．
（1）若点E落在BC边上，如图①，求点P、C、D的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；
（2）若点E落在矩形纸片OABC的内部，如图②，设OP=x，AD=y，当x为何值时，y取得最大值？
（3）在
（1）的情况下，过点P、C、D三点的抛物线上是否存在点Q，使△PDQ是以PD为直角边的直角三角形？
若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．
46．（2009•深圳）已知：
Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图1）．
（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式．
（2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＞0），连接DP交BC于点E．
①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标．
②又连接CD、CP（如图3），△CDP是否有最大面积？
若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由．
47．（2009•赤峰）如图，Rt△ABC的顶点坐标分别为A（0，
），B（
，
），C（1，0），∠ABC=90°，BC与y轴的交点为D，D点坐标为（0，
），以点D为顶点y轴为对称轴的抛物线过点B．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）将△ABC沿AC折叠后得到点B的对应点B'，求证：
四边形AOCB'是矩形，并判断点B'是否在
（1）的抛物线上．
（3）延长BA交抛物线于点E，在线段BE上取一点P，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点F，是否存在这样的点P，使四边形PADF是平行四边形？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
48．（2011•莆田）已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（1，0），C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）．
①如图1．当△PBC面积与△ABC面积相等时．求点P的坐标；
②如图2．当∠PCB=∠BCA时，求直线CP的解析式．
49．（2014•孟津县一模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于C（0，2），连接AC、BC．
（1）求抛物线解析式；
（2）BC的垂直平分线交抛物线于D、E两点，求直线DE的解析式；
（3）若点P在抛物线的对称轴上，且∠CPB=∠CAB，求出所有满足条件的P点坐标．
50．（2009•株洲）如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B、D．
（1）求点A的坐标（用m表示）；
（2）求抛物线的解析式；
（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E，连接BQ并延长交AC于点F，试证明：
FC（AC+EC）为定值．
51．（2008•绍兴）将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O（0，0），A（6，0），C（0，3）．动点Q从点O出发以每秒1个单
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