电磁场与电磁波实验报告Word版.docx
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电磁场与电磁波实验报告Word版
电磁场与电磁波
实验报告
实验名称：
有限差分法解电场边值问题
实验日期：
2012年12月8日
姓名：
赵文强
学号：
100240333
哈尔滨工业大学（威海）
问题陈述
如下图无限长的矩形金属导体槽上有一盖板，盖板与金属槽绝缘，盖板电位为U0，金属槽接地，横截面如图所示，试计算此导体槽内的电位分布。
参数说明：
a=b=10m,
=100v
实验要求
1）使用分离变量法求解解析解；
2）使用简单迭代发求解，设
两种情况分别求解数值解；
3）使用超松弛迭代法求解，设
确定
（松弛因子）。
求解过程
一、分离变量法求解
因为矩形导体槽在z方向为无限长，所以槽内电位函数满足直角坐标系中的二维拉普拉斯方程。
根据边界条件可以确定解的形式：
利用边界条件
求解系数。
简单迭代法求解
二、有限差分法
有限差分法（FiniteDifferentialMethod）是基于差分原理的一种数值计算法。
其基本思想：
将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将求解连续函数
的泊松方程的问题转换为求解网格节点上
的差分方程组的问题。
泊松方程的五点差分格式
当场域中
得到拉普拉斯方程的五点差分格式
差分方程组的求解方法
（1）高斯——赛德尔迭代法
（1-14）
式中：
∙迭代顺序可按先行后列，或先列后行进行。
∙迭代过程遇到边界节点时，代入边界值或边界差分
格式，直到所有节点电位满足
为止。
（2）超松弛迭代法
（1-15）
式中：
——加速收敛因子
可见：
迭代收敛的速度与
有明显关系
（一）简单迭代法
简单迭代法程序：
1）步长=1
clearall;clc;closeall;
%设置节点数,步长1
hx=11;
hy=11;
v1=ones（hy,hx）;
%%
%%
%设置边界条件
v1（hy,:
）=ones（1,hx）*100;
v1（1,:
）=zeros（1,hx）;
v1（1:
hy,1）=0;
v1（1:
hy,hx）=0;
%%
%%
%初始化
v2=v1;
maxt=1;
t=0;
k=0;
%%
%%
while（maxt>1e-10）
k=k+1;%计算迭代次数
maxt=0;
fori=2:
hy-1
forj=2:
hx-1
v2（i,j）=（v1（i,j+1）+v1（i+1,j）+v2（i-1,j）+v2（i,j-1））/4;%拉普拉斯方程差分形式
t=abs（v2（i,j）-v1（i,j））;
if（t>maxt）maxt=t;end
end
end
v1=v2;
end
%%
%%
%可视化显示
subplot（1,2,1）,mesh（v2）;%画电势的三维曲面图
axis（[0,11,0,11,0,100]）;
title（'步长=1，各点电位'）;
subplot（1,2,2）,contour（v2）;%画等势线
title（'等位线'）;
实验结果：
图1，简单迭代法结果，步长1
步长1，迭代次数
k=
246
各节点电位数据：
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1.107499
2.099344
2.877502
3.371569
3.540667
3.371569
2.877502
2.099344
1.107499
0
0
2.330652
4.412375
6.039095
7.068108
7.419529
7.068108
6.039095
4.412375
2.330652
0
0
3.802735
7.180408
9.798395
11.44224
12.00123
11.44224
9.798395
7.180408
3.802735
0
0
5.699881
10.70813
14.53184
16.90122
17.70092
16.90122
14.53184
10.70813
5.699881
0
0
8.28866
15.42038
20.7196
23.9299
25
23.9299
20.7196
15.42038
8.28866
0
0
12.03438
21.96514
28.99628
33.09878
34.43928
33.09878
28.99628
21.96514
12.03438
0
0
17.88372
31.40952
40.20161
45.02964
46.55957
45.02964
40.20161
31.40952
17.88372
0
0
28.09096
45.58763
55.37098
60.25862
61.73971
60.25862
55.37098
45.58763
28.09096
0
0
48.8925
67.47904
75.43605
78.89417
79.88201
78.89417
75.43605
67.47904
48.8925
0
0
100
100
100
100
100
100
100
100
100
0
2）步长=0.1
实验结果：
图2，简单迭代法步长0.1
步长0.1，迭代次数
k=
20051
部分实验结果数据截图：
图3，简单迭代法步长0.1部分数据
（二）超松驰迭代法
1.理论最佳松弛因子实验结果
实验程序：
clearall;clc;closeall;
%设置节点数,步长0.1
hx=101;
hy=101;
m=100;
n=100;
v1=ones（hy,hx）;
%%
%%
%设置边界条件
v1（hy,:
）=ones（1,hx）*100;
v1（1,:
）=zeros（1,hx）;
v1（1:
hy,1）=0;
v1（1:
hy,hx）=0;
%%
%%
%计算松弛因子
t1=sin（pi/（100））;
w=2/（1+t1）;
%%
%%
%初始化
v2=v1;
maxt=1;
t=0;
k=0;
%%
%%
while（maxt>1e-10）
k=k+1;%计算迭代次数
maxt=0;
fori=2:
hy-1
forj=2:
hx-1
v2（i,j）=v1（i,j）+（v1（i,j+1）+v1（i+1,j）+v2（i-1,j）+v2（i,j-1）-4*v1（i,j））*w/4;%拉普拉斯方程差分形式
t=abs（v2（i,j）-v1（i,j））;
if（t>maxt）maxt=t;end
end
end
v1=v2;
end
%%
%%
%可视化显示
subplot（1,2,1）,mesh（v2）;%画电势的三维曲面图
axis（[0,101,0,101,0,100]）;
title（'超松弛迭代法各点电位'）;
subplot（1,2,2）,contour（v2,20）;%画等势线
title（'等位线'）;
%%
%%
disp（'超松弛迭代步长0.1，迭代次数'）;
k
disp（'松弛因子'）;
w
%%
最佳松弛因子获得的实验结果：
图4，最佳松弛因子得到的结果
超松弛迭代步长0.1，迭代次数
k=
491
松弛因子
w=
1.9391
2.迭代法最佳松弛因子的确定
实验程序：
clearall;clc;closeall;
count=zeros（1,19）;
tem=1;
forw=1.8:
0.01:
1.98
hx=101;
hy=101;
m=100;
n=100;
v1=ones（hy,hx）;
%%
%%
%设置边界条件
v1（hy,:
）=ones（1,hx）*100;
v1（1,:
）=zeros（1,hx）;
v1（1:
hy,1）=0;
v1（1:
hy,hx）=0;
%初始化
v2=v1;
maxt=1;
t=0;
k=0;
%%
%%
while（maxt>1e-10）
k=k+1;%计算迭代次数
maxt=0;
fori=2:
hy-1
forj=2:
hx-1
v2（i,j）=v1（i,j）+（v1（i,j+1）+v1（i+1,j）+v2（i-1,j）+v2（i,j-1）-4*v1（i,j））*w/4;%拉普拉斯方程差分形式
t=abs（v2（i,j）-v1（i,j））;
if（t>maxt）maxt=t;end
end
end
v1=v2;
end
%%
count（tem）=k;
tem=tem+1;
end
w=1.8:
0.01:
1.98;
figure
（1）;
plot（w,count）;
axis（1.80,2.00,400,2700）;
xlabel（'松弛因子'）;
ylabel（'迭代次数'）;
title（'最优松弛因子的选取'）;
实验结果：
图5，松弛因子的取值
图6，相应的迭代次数
迭代次数随松弛因子的变化曲线：
图7，迭代次数随松弛因子变化曲线
实验结果分析：
通过松弛因子的迭代选取，发现最优松弛因子在1.94左右，相应的迭代次数为499次，而理论值为1.9391，迭代次数为491，说明实验结果比较准确，理论与实际相符合。
实验总结：
通过本次实验发现有限差分法和分离变量法都能很好的解决电场边值问题，在使用有限差分法求解时，网格划分越细，求解的结果越精确，在超松弛迭代法计算边值问题求解时，松弛因子的选取直接关系到求解问题的时间复杂度。
所以，在使用超松弛因子迭代法计算边值问题时，一定要合理选取松弛因子。
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