函数图像过定点问题.docx

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函数图像过定点问题

函数图像过定点问题

函数图像过定点的研究

题1：

求证：

拋物线y＝（3－k）x2＋（k－2）x＋2k－1（k≠3）过定点，并求出定点的坐标．

归纳：

第一步：

对含有变系数的项集中；

第二步：

然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式；

第三步：

令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程（这时系数如何变化，都“失效”了）；

第四步：

解此方程，得到x的值x0（定点的横坐标），将它代入原函数式（也可以是其变式），即得到一个y的值y0（定点的纵坐标），于是，函数图象一定过定点（x0，y0）；

第五步：

反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．

题2：

（2001年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数的图像总过的点是（）

A.（1，3）B.（1，0）C.（－1，3）D.（－1，0）

巩固练习：

1．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点（　　）

　A．（1，3）B．（1，0）C．（﹣1，3）D．（﹣1，0）

2．对于关于x的二次函数y=ax2﹣（2a﹣1）x﹣1（a≠0），下列说法正确的有（　　）

①无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；②无论a取何值，图象必过两定点，且两定点之间的距离为

；③当a＞0时，函数在x＜1时，y随x的增大而减小；④当a＜0时，函数图象截x轴所得的线段长度必大于2．

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

3.（2012•鼓楼区一模）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2﹣2mx+3（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：

　_________　．

4．某数学小组研究二次函救y=mx2﹣3mx+2（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点．请你写出这两个定点的坐标：

　_________　．

5．（2009•宜宾县一模）二次函数y=x2+bx+c满足b﹣c=2，则这个函数的图象一定经过某一个定点，这个定点是　_________　．

6．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点　_________　．

7．已知一个二次函数具有性质

（1）图象不经过三、四象限；

（2）点（2，1）在函数的图象上；（3）当x＞0时，函数值y随自变量x的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次函数解析式：

　_________　．

8.证明无论m为何值，函数y=mx-（4m-3）图像过定点，求出该定点坐标

9.（南京2011年24题7分）已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）．

⑴求证：

不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；

⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．

10．已知二次函数的顶点坐标为（﹣

，﹣

），与y轴的交点为（0，n﹣m），其顶点恰好在直线y=x+

（1﹣m）上（其中m、n为正数）．

（1）求证：

此二次函数的图象与x轴有2个交点；

（2）在x轴上是否存在这样的定点：

不论m、n如何变化，二次函数的图象总通过此定点？

若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由．

函数图像过定点的研究

题1：

求证拋物线y＝（3－k）x2＋（k－2）x＋2k－1（k≠3）过定点，并求出定点的坐标．

审题视角　有些函数的图象具有过定点的性质，这是由函数式中的一些系数的取值特点所决定的，例如，直线y＝kx＋b（k≠0），当b确定时，无论k取不等于0的任何值，它总过定点（0，b）；物线线y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当c确定时，无论a、b取何值，它总过定点（o，c）．

本题中可以把函数解析式整理变形，使含字母k的项组合于一组，赋值为零，可以求的自变量的值，而后代入函数解析式，再求得相对应的函数值，即得定点的坐标．

解：

整理抛物线的解析式，得

y＝（3－k）x2＋（k－2）x＋2k－1

＝3x2－2x－1－kx2＋kx＋2k

＝3x2－2x－1－k（x2－x－2）（k≠3），

上式中令x2－x－2＝0，得x1＝－1，x2＝2.

将它们分别代入y＝3x2－2x－1－k（x2－x－2），

解得y1＝4，y2＝7，

把点（－1，4）、（2，7）分别代入y＝3x2－2x－1－k（x2－x－2），

无论k取何值，等式总成立，

即点（－1，4）、（2，7）总在抛物线y＝（3－k）x2＋（k－2）x＋2k－1（k≠3）上，

即拋物线y＝（3－k）x2＋（k－2）x＋2k－1（k≠3）过定点（－1，4）、（2，7）．

归纳：

第一步：

对含有变系数的项集中；

第二步：

然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式；

第三步：

令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程（这时系数如何变化，都“失效”了）；

第四步：

解此方程，得到x的值x0（定点的横坐标），将它代入原函数式（也可以是其变式），即得到一个y的值y0（定点的纵坐标），于是，函数图象一定过定点（x0，y0）；

第五步：

反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．

题2：

（2001年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数的图像总过的点是（）

A.（1，3）B.（1，0）

C.（－1，3）D.（－1，0）

解法一、特殊值法

依据：

二次函数的图像随着m的取值不同，它的位置也随之变化，可见这是一个抛物线群。

如果这个抛物线群恒过某定点，则该抛物线群中的某两条特殊的抛物线也必过这一定点。

解：

任意给m赋予两个特殊值，不妨设m=0和m=2。

则函数解析式变为：

。

联立方程组解得

把中，无论m为何值，等式总成立。

所以，抛物线群中所有的抛物线恒经过定点（1，3）。

故应选A。

解法二、变换主元法

依据：

一元一次方程的解有三种情形：

（1）当a≠0时，方程有惟一解：

；

（2）当a=b=0时，方程的解为全体实数；

（3）当a=0，b≠0时，方程无解。

这里所求定点坐标与m的值无关，相当于关于m的一元一次方程am=b（a、b为含x、y的代数式）中，a=b=0时的情形。

解：

将其二次函数整理变形为：

①

令

所以，无论m为何值时，（1，3）恒满足①式，故该二次函数的图像恒过定点（1，3）。

故应选A。

巩固练习：

1．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点（　　）

　A．（1，3）B．（1，0）C．（﹣1，3）D．（﹣1，0）

2．对于关于x的二次函数y=ax2﹣（2a﹣1）x﹣1（a≠0），下列说法正确的有（　　）

①无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；②无论a取何值，图象必过两定点，且两定点之间的距离为

；

③当a＞0时，函数在x＜1时，y随x的增大而减小；④当a＜0时，函数图象截x轴所得的线段长度必大于2．

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

3.（2012•鼓楼区一模）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2﹣2mx+3（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：

　_________　．

4．某数学小组研究二次函救y=mx2﹣3mx+2（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点．请你写出这两个定点的坐标：

　_________　．

5．（2009•宜宾县一模）二次函数y=x2+bx+c满足b﹣c=2，则这个函数的图象一定经过某一个定点，这个定点是　_________　．

6．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点　_________　．

7．已知一个二次函数具有性质

（1）图象不经过三、四象限；

（2）点（2，1）在函数的图象上；（3）当x＞0时，函数值y随自变量x的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次函数解析式：

　_________　．

8.证明无论m为何值，函数y=mx-（4m-3）图像过定点，求出该定点坐标

9.已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）．

⑴求证：

不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；

⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．

解：

⑴当x=0时，

．

所以不论

为何值，函数

的图象经过

轴上的一个定点（0，1）．

⑵①当

时，函数

的图象与

轴只有一个交点；

②当

时，若函数

的图象与

轴只有一个交点，则方程

有两个相等的实数根，所以

，

．

综上，若函数

的图象与

轴只有一个交点，则

的值为0或9．11．已知二次函数的10.顶点坐标为（﹣

，﹣

），与y轴的交点为（0，n﹣m），其顶点恰好在直线y=x+

（1﹣m）上（其中m、n为正数）．

（1）求证：

此二次函数的图象与x轴有2个交点；

（2）在x轴上是否存在这样的定点：

不论m、n如何变化，二次函数的图象总通过此定点？

若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由．

分析：

（1）把二次函数顶点坐标代入代入y=x+

（1﹣m）得﹣

+

（1﹣m）=﹣

，整理后利用因式分解得到（m﹣n）（m+1）=0，则m=n或m=﹣1（舍去），于是二次函数的顶点坐标为（﹣

，﹣

），与y轴的交点为（0，0），由m为正数可判断二次函数的顶点在第四象限，而抛物线过原点，所以抛物线开口向上，由此得到此二次函数的图象与x轴有2个交点；

（2）由

（1）得到抛物线的对称轴为直线x=﹣

，抛物线与x轴的一个交点坐标为（0，0），利用对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）

（1）证明：

把（﹣

，﹣

）代入y=x+

（1﹣m）得﹣

+

（1﹣m）=﹣

，

整理得m2﹣mn+m﹣n=0，

∵（m﹣n）（m+1）=0，

∴m=n或m=﹣1（舍去），

∴二次函数的顶点坐标为（﹣

，﹣

），与y轴的交点为（0，0），

∵m为正数，

∴二次函数的顶点在第四象限，

而抛物线过原点，

∴抛物线开口向上，

∴此二次函数的图象与x轴有2个交点；

（2）解：

存在．

∵抛物线的对称轴为直线x=﹣

，抛物线与x轴的一个交点坐标为（0，0），

∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），

即不论m、n如何变化，二次函数的图象总通过点（﹣1，0）和（0，0）．

反思：

本题考查了抛物线与x轴的交点：

求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标；二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系，△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：

△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．