东城区届高三二模数学试题及答案.docx

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东城区届高三二模数学试题及答案

数学

北京市东城区2019-2020学年度第二学期高三综合练习

（二）

2020.6

本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10题，每题4分，共40分。

在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的

—项。

（1）

已知全集"={0丄2,3,4,5},集合，={0丄2},B={5}f那么（財捻=

{0丄2,5}

（2）已知三个函数y=x\y=3x.y=iog3x,则

（D）都是奇函数

（3）平面直角坐标系中，已知点A.B.C的坐标分别为（0,1）,（1,0）,（4,2）,且四边形4BCD为

（一3,3）

离心率为

（5）已知函数/（x）=log〃x+A的图象如图所示,

那么函数g（x）=ax+b的图象可能为

⑹已知向量a=（0,5）,8=（4,—3）,c=（-2,-l）,那么下列结论正确的是

（7）《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著.书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？

”（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为

（A）135平方米（B）270平方米（C）540平方米

（D）1080平方米

（8）

已知函数/（x）=lnx+破2,那么“口＞0”是“/（x）在（0,+3）上为增函数”的

（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件

（9）

已知一个几何体的三视图如图所示，正（主）视图是由一个半圆弧和一个正方形的三边拼接而成的，俯视图和侧（左）视图分别为一个正方形和一个长方形，那么这个几何体的体积是

（A）1+-（B）1+-

24

71

（C）1+-（D）1+71

8

（10）函数/（x）是定义域为R的奇函数，且它的最小正周期是7,已知

T

g（x）=/（x+i）（ieR）.给出下列四个判断:

njT

1对于给定的正整数〃，存在aeR，使得Yg（—）/（—）=0成立;

=1nn

T

2当.时，对于给定的正整数〃，存在"R（E）,使得

財U。

成立

/=1nn

T

3当a=k-（kS时，函数g（x）+/（x）既有对称轴又有对称中心;

4

TT

4当。

=《一eZ）时，g（x）+/（x）的值只有0或一.

44

其中正确判断的有

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

第二咅B分（非选择题共110分）

二、填空题共5题，每题5分，共25分。

-

（11）复数z=—的共跑复数z为.

1

1兀

（12）已知cos2a=—,则cos2（―+a）-2cos2（ti-a）的值为.

（13）设a,/?

/是三个不同的平面，m,”是两条不同的直线，给出下列三个结论：

1若m-La9〃丄a,贝m//n;

2若m.La仞丄D，则a//J3；

3若crl/,0丄则a//f3.

其中，正确结论的序号为.

注：

本题给出的结论中，有多个符合题目要求。

全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。

（14）从下列四个条件①q=屈；®C=-；③cos5=——；④b=W中选出三个条

64

件，能使满足所选条件

的△刀BC存在且唯一，你选择的三个条件是__（填写相应的序号），所选三个条件下的c的值为.

（15）配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是200件.由于生产这种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费5000元的准备费，所以需要

周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续〃天的需求，称〃为生产周期（假设这种配件每天产能可以足够大）.配件的存储费为每件每天2元（当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费）.在长期的生产活动中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期〃为.

三、解答题共6题，共85分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题14分）

如图①，四边形ABCD中，AD丨丨BC,CD丄BC,BC=CD=1,AD=2,E为4D中点.

将AABE沿折起到M现的位置，如图②.

（I）求证：

平面，1时丄平面A.ED；

（II）若=90。

求4C与平面4^〃所成角的正弦值.

图①

图②

（17）（本小题14分）

已知｛•〃｝为等比数列，其前〃项和为S〃，且满足％=1,，3=3%+1.也J为等差数列，其前〃项和为〈，如图,二的图象经过A,B两个点.

（I）求％;

（II）若存在正整数〃，使得bn>Sn,求〃的最小值.

从图①，图②，图③中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答.

注：

如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

\Tn

6

-

6

——

扩

6

-

5

-

5

-

1

1

1

1

5

-

4

-

4

-

1

1

1

1

1

1

4

-

3

-

3

-

1

1

1

1

1

3

-

2

-

2

-

1

1

1

1

1

2

-

1

—

1

1

-—

*

11

11

11

1111

1

-

1

1

11|1

O

1234,

1O

1234

nO

1234—

1

-1

-

-1

-

-1

1

1

■1

1

1

-2

-

1

1

1

-2

-

-2

1

.1

-3

一

"

-3

-

-3

1

1

•4

图①

图②

图③

（18）（本小题14分）

某志愿者服务网站在线招募志愿者，当报名人数超过计划招募人数时，将采用随机抽取

的方法招募志愿者，下表记录了四个项目最终的招募情况，其中有两个数据模糊，记为缶b.

项目

计划招募人数

报名人数

A

50

100

B

60

a

C

80

b

D

160

200

甲同学报名参加了这四个志愿者服务项目，记&为甲同扌最终被招募的项目个数，已知心0）="=4）=土.

（I）求甲同学至多获得三个项目招募的概率;

（II）求b的值;

（III）假设有十名报了项目A的志愿者（不包含甲）调整到项目试判断Eg如何变化（结

论不要求证明）.

（19）（本小题14分）

已知椭圆C:

具+匸=1（。

">0）的一个顶点坐标为",一1）,离心率为—.ab2

（I）求椭圆。

的方程；

（II）若直线y=k（x-r）（k^O）与椭圆。

交于不同的两点P,Q,线段能的中点为Af,点8（1,0）,求证：

点M不在以48为直径的圆上.

（20）（本小题15分）

己知f（x）=ex+sinx+ax（aeR）.

（I）当a=-2时，求证：

/（x）在（—oo,0）上单调递减；

（II）若对任意x>0,/（x）>l恒成立，求实数。

的取值范围；

（III）若，（x）有最小值，请直接给出实数。

的取值范围.

（21）（本小题14分）

设数歹U:

A：

%,%丄，％B歸妇L,如.已矢口at,bjg{0,1}

亠x01x”L

M

、nn丿

（1=1,2,L,〃;J=1,2,L,〃），定义e〃数表X（A,B）=:

j倾，其中

1%=b,

x=<

v[0q,服

（I）若,：

1,1,1,0,B:

0,1,0,0,写出X（4By,

（II）若48是不同的数列，求证：

伝〃数表X（A,B）满足“Xjj=Xj,

（Z=1,2,L,”；丿・=1,2,L了的充分必要条件为〃％+h=l（Sl，2,L,〃）〃；

（III）若数列』与6中的1共有〃个，求证：

心〃数表X（4方）中1的个数不大于

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

北京市东城区2019-2020学年度第二学期高三综合练习

（二）

数学参考答案及评分标准

2020.6

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

（1）B

（2）C（3）A

（4）D

（5）B

（6）B

（7）B（8）A

（9）C

（10）C

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

（11）-1+i

（12）-1

（13）①②

（14）①③④，项,

或者②③④，

（15）5

三、解答题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题14分）

（I）证明：

因为四边形，BCD中，AD//BC,CD丄BC,BC=1,40=2,

E为AD中点，

所以BELAD,

故图②中，BE丄—E,BE丄DE.

又因为-EIDE=E,&E,DEu平面A】DE,

所以BE±平面A.DE.

又因为8Eu平面&EB,

所以平面4砂丄平面

AXE±BE,BEVDE,

因此，建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz.

由&E=CD=DE=\,

得4（0,0,1）,3（1,0,0）,C（1丄0）,

&DE.

UULLUULU.

=（1,0,—1）,二（0丄—1）,

UULT

"•"=（）,即，

则X,n•AXD=0,

设平面&BD的法向量为n=（x,J,z）,

x-z=0,A,

.令2=1得4=1,〉=1,

所以〃=（1,1,1）是平面4BZ）的一个法向量.

UULL

又=（1,1,-1）,

设直线4。

与平面&BD所成角为0,所

UUL1

•3/狀1511

sinQ=|cos

15a/3-733-

14分

（17）（本小题14分）

解：

（I）由S3=3%+1，得。

］=2%，即~I-=——，

--QQ

因为％。

0,

所以q=?

，q=4.

（n）由图①知：

7；M=1,4=—3,可判断d<0，数列也｝是递减数列而（8-23-"｝

递增，由于存<§,

所以选择①不满足"存在"，使得方">况”

由图②知：

7；=腐=1,4=6,可判断d>0,数列也,｝是递增数列；

由图③知：

7；=腐=—3,4=0，可判断d>0,数列也,｝是递增数列.

所以选择②③均可能满足"存在〃,使得方”〉S”“

第一种情况:

如果选择条件②即二=烦=1,4=6,可得：

d=1

当"=1,2,345,6,7时，bn>S”不成立，

当〃=8时，/>8=8,S8=8-23-8

所以使得方”>S”成立的”的最小值为8.14分

第二种情况:

如果选择条件③即匕=存=—3,4=0,可得：

d=3,方”=3〃—6.

当"=1,2,3,4时，方”>S”不成立，

14分

当n=5时，-=9,旗=8—23t<厶成立,所以使得方”>%成立的〃的最小值为5.

（18）（本小题14分）

解：

因为F（g=O）=丄,

40

P（^）=—=-；

1002

"）=箜；

a

b

所以a>60,且/>>80.

设事件/表示“甲同学被项目/招募”，由题意可知，

设事件B表示“甲同学被项目B招募”，由题意可知，

设事件C表示“甲同学被项目C招募”，由题意可知，

设事件。

表示“甲同学被项目。

招募”，由题意可知，

''2005

（I）由于事件“甲同学至多获得三个项目招募”与事件“&=4”是对立的，

所以甲同学至多获得三个项目招募的概率是

19

”4）=1-武仍.

（II）由题意可知，

&=0）=P（诙万）=（1—?

）.（1—分.（1—*（1一：

）=土;

（II）证明：

设尹（也况），Q（x2,y2）,M（x0,y0）.

所以△=（一8号G—4x（4号+1）（4尸—4）=48尸+16.

所以当人为任何实数时，都有A>0.

因为线段的中点为

因为5（1,0）

X-1

■MU

氽寸

G+*o）xx

剪般瓯幕q8to）w（x）x•ohi—iax.ss—%h（x）&kk

二VIX.SS工AA.0叔E

•X.ss—，.0U（X）&B

V+XSOO+A.0U（X）M^.teOAX洲

（og—）

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IV%・teovx洲

v+xsoo+"（x）-y“<（I

（氽。

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画g@w叔胃K-WK/V咂K盅onwm豪mnnmnn

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•oAz+」m+心）寸.O-H.0叔Ex

•ZCI+丄寸）—

n+JrM——

Z（一+*）—（一+常+z*）0——HZ（一+丄寸）——

W+ZOI+ox——ZOXK一+0X）01+（一——ox）oxU爲g•苗

mrinirrnn

•（w。

一——。

XTW•（一+W疽tmk盅mrinmnn

所以g（x）〉2+a.

所以广（x）在（0,+3）上单调递增，且f\x）>2+a.j

①当a>-2时，广（x）>0，

所以/（X）在（0,+3）上单调递增.

因为/（0）=1,

所以/（x）〉l恒成立.

@当。

<一2时，广（0）=2+a<0，

因为广（x）在［°,+3）上单调递增，

又当x=ln（2—a）时，/"'（x）=—a+2+cosx+a=2+cosx〉0,

所以存在XoG（0,+00）,对于XG（O,Xo）,f\x）<。

恒成立.

所以y（x）在（O,xo）上单调递减，

所以当xg（O,xo）时,f（x）

综上，

当a>-2时，

对于x>0

,（x）21恒成

立.

13分

（

III

）

解：

a<0

……15分

（21）（本小题14分）

（

I

）

解：

「0100、

0100

X（A,B）=

3分

0100

b01

（II）证明

1a.二b.,

1a,=b.,

右/+h=1=1,2,L,,由于％.二v

1X■

JZ

0a.丰bp

令A：

即％丄，。

”，由此数列B：

1—%,1—%丄，1—a”.

由于a.=bjuq=1—a.<^>a.aioa.=b..

从而有气=七（，=1,2,L，名J=1,2,L,n，2j）.

!

!

!

若xy=xj7（/=1,2,L,n„j=l,2,L,n;2j」.

由于43是不同的数列，

⑴设％=1,厝=0,对任意的正整数k>\,

1若x\k=xk\=1，可得a\气=1，ak=\=0,

所以ak+bk=\.

2若xlt=xH=0,可得bk=Q,ak=\,

所以，+勿=L

同理可证％=0,存=1时，有ak+bk=\（k=1,2,L）成立.

⑵设％=1,存=1,对任意的正整数k>\,

①若xxk=xk=\,可得a=bk=\ak=bx=\

，，

所以有ak=bk=\,则刀，3是相同的数列，不符合要求.

以）若工联=%=0,可得为=0,以=0,

所以有ak=bk则43是相同的数列，不符合要求.

同理可证％=0,&=0时，A,3是相同的数列，不符合要求.

综上，有nxn数表X（A,B）满足“x广x”"的充分必要条件为/+为=1（S1,2,L,〃）”.

11分

（III）证明：

由于数列43中的1共有"个，设,中1的个数为刀，

由此有，,中。

的个数为n—p,6中1的个数为n—p,6中。

的个数为刀.

若%=1,则数表X（43）的第［行为数列B：

存，"，如,

若a=0,则数表X（4合）的第［行为数列8：

1-存，1-方2丄，l~bn,

数表X（4B）中

1的个数为

p{n—p）+（n_p）p=2p{n-p）<2（-

P+（n-P）

2

■）2=

n2

nxn数表X（A,8）中1

14分

的个数不大于