精品第09篇二重积分习题.docx
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精品第09篇二重积分习题
【关键字】精品
第九章二重积分
习题9-1
1、设
其中
;
又
其中
试利用二重积分的几何意义说明
与
之间的关系.
解：
由于二重积分
表示的立体关于坐标面
及
对称,且
位于第一卦限部分与
一致,因此
.
2、利用二重积分的几何意义说明:
（1）当积分区域
关于
轴对称,
为
的奇函数,即
时,有
;
（2）当积分区域
关于
轴对称,
为
的偶函数,即
时,有
其中
为
在
的部分.
并由此计算下列积分的值,其中
.
（I）
;（II）
;（III）
.
解：
令
其中
为
在
的部分,
（1）由于
关于
轴对称,
为
的奇函数,那么
表示的立体关于坐标面
对称,且在
的部分的体积为
在
的部分的体积为
于是
;
（2）由于
关于
轴对称,
为
的偶函数,那么
表示的立体关于坐标面
对称,且在
的部分的体积为
在
的部分的体积也为
于是
.
（I）由于
关于
轴对称,且
为
的奇函数,
于是
;
（II）由于
关于
轴对称,且
为
的奇函数,于是
;
（III）由于
关于
轴对称,且
为
的奇函数,于是
.
3、根据二重积分的性质,比较下列积分的大小:
（1）
与
其中
是由
轴、
轴与直线
所围成;
解：
由于在
内,
有
所以
.
（2）
与
其中
.
解：
由于在
内,
有
所以
.
4、利用二重积分的性质估计下列二重积分的值：
（1）
其中
；
解：
由于
的面积为
且在
内,
那么
.
（2）
其中
；
解：
由于
的面积为
且在
内,
那么
.
（3）
其中
；
解：
由于
的面积为
且在
内,
那么
.
习题9-2
1、计算下列二重积分：
（1）
其中
是矩形区域:
；
解：
.
（2）
其中
；
解：
.
.
（3）
其中
是由两坐标轴及直线
所围成的闭区域；
解：
.
（4）
其中
是顶点分别为
和
的三角形闭区域.
解：
.
2、画出积分区域,并计算下列二重积分：
（1）
其中
是由两条抛物线
所围成的闭区域；
解：
.
（2）
其中
是由直线
及
所围成的闭区域；
解：
.
（3）
其中
是由
及
所围成的闭区域；
解：
.
（4）
其中
是由
所确定的闭区域.
解：
.
a:
=0..1;
b:
=x-1..-x+1;
f:
=exp（x+y）;
int（f,y=b）;
int（int（f,y=b）,x=a）;
simplify（"）;
3、如果二重积分
的被积函数
是两个函数
及
的乘积,即
积分区域
证明这个二重积分等于两个单积分的乘积,即
.
证明：
.
4、化二重积分
为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分）,其中积分区域
是：
（1）由曲线
、直线
及
轴所围成的闭区域；
图形>
plot（[ln（x）,0,[[2,0],[2,ln
（2）]]],x=0..2,y=0..0.8,color=1）;
解：
.
（2）由
轴及右半圆
所围成的闭区域；
图形>
plot（[（1-x^2）^（1/2）,-1*（1-x^2）^（1/2）],x=0..1,color=1）;
解：
.
（3）由抛物线
与直线
所围成的闭区域.
图形>plot（[x^2,3-2*x],x=-3..1,color=1）;
解：
.
5、改换下列二次积分的积分顺序：
（1）
；
解：
.
（2）
；
解：
.
（3）
；
解：
.
（4）
；
解：
.
（5）
；
图形>plot（[sin（x）,-sin（x/2）,[[Pi,0],[Pi,-1]]],x=0..Pi,color=1）;
解：
.
（6）
.
图形>plot（[（2*x-x^2）^（1/2）,（2*x）^（1/2）,[[2,0],[2,2]]],x=0..2,color=1）;
解：
.
6、设平面薄片所占的闭区域
由直线
和
轴所围成,它的面密度
求该改薄片的质量.
图形>plot（[2-x,x],x=0..2,y=0..1,color=1）;
解：
.
7、求由平面
及
所围成的立体的体积.
图形>with（plots）:
A:
=plot3d（[x,y,1],x=0..1,y=0..1-x）:
B:
=plot3d（[x,1-x,z],x=0..1,z=1..2）:
F:
=plot3d（[x,0,z],x=0..1,z=1..1+x）:
G:
=plot3d（[0,y,z],y=0..1,z=1..1+y）:
H:
=plot3d（[x,y,1+x+y],x=0..1,y=0..1-x）:
display（{A,B,F,G,H},grid=[25,20],axes=BOXED,
scaling=CONSTRAINED,style=PATCHCONTOUR）;
解：
.
8、为修建高速公路,要在一山坡中辟出一条长
宽
的通道,据测量,以出发点一侧为原点,往另一侧方向为
轴（
）,往公路延伸方向为
轴（
）,且山坡高度为
试计算所需挖掉的土方量.
图形>plot3d（10*sin（Pi*y/500）+sin（Pi*x/20）,y=0..500,x=0..20）;
解：
.
9、画出积分区域,把积分
表示为极坐标形式的二次积分,其中积分区域
是：
（1）
；
图形>plot（[（1-x^2）^（1/2）,-（1-x^2）^（1/2）],x=0..1,color=1）;
解：
.
（2）
；
图形>plot（[1+（1-x^2）^（1/2）,1-（1-x^2）^（1/2）],x=-1..1,color=1）;
解：
于是
.
（3）
其中
；
图形>plot（[（1-x^2）^（1/2）,-（1-x^2）^（1/2）,
（4-x^2）^（1/2）,-（4-x^2）^（1/2）],x=-2..2,color=1）;
解：
.
（4）
.
图形>plot（[x^2,[[1,0],[1,1]]],x=0..1,color=1）;
解：
于是
.
10、化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：
（1）
；
图形>plot（[[0,0],[0,1],[1,1],[1,0],[0,0]],color=1）;
解：
于是
.
（2）
；
图形>plot（[（1-x^2）^（1/2）,1-x],x=0..1,color=1）;
解：
于是
.
11、把下列积分为极坐标形式,并计算积分值：
（1）
；
图形>plot（（2*x-x^2）^（1/2）,x=0..2,color=1）;
解：
于是
.
（2）
；
图形>plot（[3^（1/2）*x,x],x=0..1,color=1）;
解：
于是
.
（3）
.
图形>plot（[3^（1/2）*x/3,（1-x^2）^（1/2）],x=0..1,y=0..0.5,color=1）;
解：
于是
.
12、利用极坐标计算下列各题：
（1）
其中
为圆域
（
）；
图形>plot（[（x-x^2）^（1/2）,-（x-x^2）^（1/2）],x=0..1,color=1）;
解：
于是
.
（2）
其中
为圆
及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；
图形>plot（（1-x^2）^（1/2）,x=0..1,color=1）;
解：
.
（3）
其中
为圆周
及直线
所围成的在第一象限内的闭区域.
图形>plot（[（1-x^2）^（1/2）,-（1-x^2）^（1/2）,（4-x^2）^（1/2）,-（4-x^2）^（1/2）,x],
x=-2..2,y=0..2^（1/2）,color=1）;
解：
.
13、选择适当的坐标计算下列各题：
（1）
其中
是直线
及曲线
所围成的闭区域；
图形>plot（[x,1/x,[[2,1/2],[2,2]]],x=0..2,y=0..2,color=1）;
解：
.
（2）
其中
是圆环形区域
；
图形>plot（[（1-x^2）^（1/2）,-（1-x^2）^（1/2）,
（4-x^2）^（1/2）,-（4-x^2）^（1/2）],x=-2..2,color=1）;
解：
.
（3）
其中
是由直线
（
）所围成的闭区域；
图形>plot（[[0,1],[1,1],[3,3],[2,3],[0,1]],x=0..3,y=0..3,color=1）;
解：
.
（4）
其中
为圆域
.
图形>plot（[（1-x^2）^（1/2）,-（1-x^2）^（1/2）,
（4-x^2）^（1/2）,-（4-x^2）^（1/2）],x=-2..2,color=1）;
解：
.
14、计算以
面上的圆周
围成的闭区域为底,而以曲面
为顶的曲顶柱体的体积.
图形>plot（[（x-x^2）^（1/2）,-（x-x^2）^（1/2）],x=0..1,color=1）;
解：
于是
.
15、某水池呈圆形,半径为5米,以中心为坐标原点,距中心距离为
处的水深为
米,试求该水池的蓄水量.
图形>plot（[（x-x^2）^（1/2）,-（x-x^2）^（1/2）],x=0..1,color=1）;
解：
（米3）.
16、讨论并计算下列广义二重积分：
（1）
其中
；
解：
.
即当
时,广义二重积分收敛,且
.
（2）
其中
；
解：
.
即当
时,广义二重积分收敛,且
.
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