二元一次不等式组与简单的线性规划问题.docx

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二元一次不等式组与简单的线性规划问题

§7.3　二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

最新考纲

考情考向分析

1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．

2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．

3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元一次线性规划问题，并能加以解决.

以画二元一次不等式（组）表示的平面区域、目标函数最值的求法为主，兼顾由最优解（可行域）情况确定参数的范围，以及简单线性规划问题的实际应用，加强转化与化归和数形结合思想的应用意识．本节内容在高考中以选择、填空题的形式进行考查，难度中低档.

1．二元一次不等式表示的平面区域

（1）一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．

（2）对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点，把它的坐标（x，y）代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点（x0，y0）作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．

2．线性规划相关概念

名称

意义

约束条件

由变量x，y组成的一次不等式

线性约束条件

由x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式组

目标函数

欲求最大值或最小值的函数

线性目标函数

关于x，y的一次解析式

可行解

满足线性约束条件的解

可行域

所有可行解组成的集合

最优解

使目标函数取得最大值或最小值的可行解

线性规划问题

在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

3.重要结论

画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：

（1）直线定界：

不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．

（2）特殊点定域：

若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取（0,1）或（1,0）来验证．

知识拓展

1．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域

对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有

（1）当B（Ax＋By＋C）>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；

（2）当B（Ax＋By＋C）<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．

2．最优解和可行解的关系

最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．（　√　）

（2）不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．（　×　）

（3）点（x1，y1），（x2，y2）在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是（Ax1＋By1＋C）（Ax2＋By2＋C）>0，异侧的充要条件是（Ax1＋By1＋C）（Ax2＋By2＋C）<0.（　√　）

（4）第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy<0表示．（　√　）

（5）线性目标函数的最优解是唯一的．（　×　）

（6）最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解．（　√　）

（7）目标函数z＝ax＋by（b≠0）中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．（　×　）

题组二　教材改编

2．[P86T3]不等式组

表示的平面区域是（　　）

答案　B

解析　x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2<0表示直线x－y＋2＝0的左上方部分，故不等式组表示的平面区域为选项B中的阴影部分．

3．[P91T2]投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________．（用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨）

答案　

解析　用表格列出各数据

A

B

总数

产品吨数

x

y

资金

200x

300y

1400

场地

200x

100y

900

所以不难看出，x≥0，y≥0,200x＋300y≤1400,200x＋100y≤900.

题组三　易错自纠

4．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是（　　）

A．（0,0）B．（－1,1）

C．（－1,3）D．（2，－3）

答案　C

解析　把各点的坐标代入可得（－1,3）不适合，故选C.

5．（2017·日照一模）已知变量x，y满足

则z＝（

）2x＋y的最大值为（　　）

A.

B．2

C．2D．4

答案　D

解析　作出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，

令m＝2x＋y，则当m取得最大值时，z＝（

）2x＋y取得最大值．由图知直线m＝2x＋y经过点A（1,2）时，m取得最大值，所以zmax＝（

）2×1＋2＝4，故选D.

6．已知x，y满足

若使得z＝ax＋y取最大值的点（x，y）有无数个，则a的值为________．

答案　－1

解析　先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，

当直线z＝ax＋y和直线AB重合时，z取得最大值的点（x，y）有无数个，∴－a＝kAB＝1，∴a＝－1.

题型一　二元一次不等式（组）表示的平面区域

命题点1　不含参数的平面区域问题

典例（2017·黄冈模拟）在平面直角坐标系中，已知平面区域A＝{（x，y）|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B＝{（x＋y，x－y）|（x，y）∈A}的面积为（　　）

A．2B．1C.

D.

答案　B

解析　对于集合B，令m＝x＋y，n＝x－y，

则x＝

，y＝

，由于（x，y）∈A，

所以

即

因此平面区域B的面积即为不等式组

所对应的平面区域（阴影部分）的面积，画出图形可知，

该平面区域的面积为2×

＝1，故选B.

命题点2　含参数的平面区域问题

典例若不等式组

表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是（　　）

A．a≥

B．0

C．1≤a≤

D．0

答案　D

解析　作出不等式

表示的平面区域（如图中阴影部分所示）．

由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：

x＋y＝a在l1，l2之间（包含l2，不包含l1）或l3上方（包含l3）．故选D.

思维升华

（1）求平面区域的面积

对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形（如平行四边形或梯形），可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形，分别求解再求和即可．

（2）利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法求解．

跟踪训练

（1）不等式（x－2y＋1）（x＋y－3）≤0在坐标平面内表示的区域（用阴影部分表示），应是下列图形中的（　　）

答案　C

解析　由（x－2y＋1）（x＋y－3）≤0，

可得

或

画出平面区域后，只有选项C符合题意．

（2）已知约束条件

表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为（　　）

A．1B．－1C．0D．－2

答案　A

解析　由于x＝1与x＋y－4＝0不可能垂直，所以只有可能x＋y－4＝0与kx－y＝0垂直或x＝1与kx－y＝0垂直．

①当x＋y－4＝0与kx－y＝0垂直时，k＝1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求．

②当x＝1与kx－y＝0垂直时，k＝0，检验不符合要求．

题型二　求目标函数的最值问题

命题点1　求线性目标函数的最值

典例（2017·全国Ⅱ）设x，y满足约束条件

则z＝2x＋y的最小值是（　　）

A．－15B．－9C．1D．9

答案　A

解析　不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．

将目标函数z＝2x＋y化为y＝－2x＋z，作出直线y＝－2x，并平移该直线知，当直线y＝

－2x＋z经过点A（－6，－3）时，z有最小值，且zmin＝2×（－6）－3＝－15.故选A.

命题点2　求非线性目标函数的最值

典例（2016·山东）若变量x，y满足

则x2＋y2的最大值是（　　）

A．4B．9C．10D．12

答案　C

解析　满足条件

的可行域如图阴影部分（包括边界）所示，

x2＋y2是可行域上动点（x，y）到原点（0,0）距离的平方，显然，当x＝3，y＝－1时，x2＋y2取得最大值，最大值为10.故选C.

命题点3　求参数值或取值范围

典例（2018届广雅中学、东华中学等联考）已知实数x，y满足

若z＝x－my（m>0）的最大值为4，则z＝x－my（m>0）的最小值为________．

答案　－6

解析　作出可行域如图阴影部分所示．

目标函数化简得

y＝

x－

，

因为m>0，故只可能在A，B处取最大值．

联立

解得B（－2，－2），

联立

解得C（0,2），

联立

解得A（2,0），

若目标函数z＝x－my（m>0）过点A，z＝2不符合题意，所以过点B时取得最大值，此时4＝－2＋2m，解得m＝3，z＝x－my（m>0）过点C时，zmin＝－6.

思维升华

（1）先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．

（2）当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有

①

表示点（x，y）与原点（0,0）的距离，

表示点（x，y）与点（a，b）的距离；

②

表示点（x，y）与原点（0,0）连线的斜率，

表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．

（3）当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件．

跟踪训练

（1）已知实数x，y满足约束条件

则z＝

的取值范围为（　　）

A.

B.

C.

D.

答案　B

解析　不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，

z＝

表示点D（2,3）与平面区域内的点（x，y）之间连线的斜率．因为点D（2,3）与点B（8,1）连线的斜率为－

且C的坐标为（2，－2），故由图知，z＝

的取值范围为

，故选B.

（2）已知x，y满足约束条件

若z＝ax＋y的最大值为4，则a等于（　　）

A．3B．2

C．－2D．－3

答案　B

解析　根据已知条件，画出可行域，如图阴影部分所示．

由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z，直线的斜率k＝－a.当01，即a<－1时，由图形可知此时最优解为点（0,0），此时z＝0，不合题意；当－1≤k<0，即01时，由图形可知此时最优解为点（2,0），此时z＝2a＋0＝4，得a＝2.

题型三　线性规划的实际应用问题

典例某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．

（1）试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润ω（元）；

（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？

解　

（1）依