安徽省皖南八校届高三第一次联考数学文试题Word版含答案.docx

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安徽省皖南八校届高三第一次联考数学文试题Word版含答案

A．

B．

C．

D．

7．将函数

的图象向左平移

个单位（

），

是所得函数的图象的一个对称中心，则

的最小值为

A．

B．

C．

D．

8．设P为曲线

上的点，且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为

，则点P的横坐标的取值范围为

A．

B．

C．

D．

9．在

中，

是

边的中点，角

的对边分别是

，若

，则

的形状为

A．直角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰三角形但不是等边三角形

10．动点

在圆

上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周.已知时间

时,点

的坐标是

则当

时,动点

的纵坐标

关于

（单位:

秒）的函数的单调递增区间是

A、

B、

C、

D、

和

二、填空题

11．

。

12．已知矩形

的边长为2，

，点P在线段BD上运动，则

。

13．已知函数

，设

，若

，则

的取值范围是。

14．在

中，

分别是

的对边，若

，则

的大小为。

15．在整数集

中，被5除所得余数为

的所有整数组成一个“类”，记为

，即

，则下列结论正确的为（写出所有正确的编号）

①

；②

；③

；④“整数

属于同一类”的充要条件是“

”；⑤命题“整数

满足

，则

”的原命题与逆命题都为真命题。

三、解答题

16．设

。

（1）记

，若

，求集合A；

（2）若

是

的必要不充分条件，求

的取值范围。

17．已知函数

，若

且对任意实数

均有

成立

（1）求

表达式；

（2）当

是单调函数，求实数

的取值范围；

18．已知函数

。

（1）若

，求

的值；

（2）求函数

的单调递增区间。

19．某高速公路旁边B处有一栋楼房，某人在距地面100米的32楼阳台A处，用望远镜路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东

方向上，且俯角为

的C处，10秒后测得该客车位于楼房北偏西

方向上，且俯角为

的D处。

（假设客车匀速行驶）

（1）如果此高速路段限速80公里/小时，试问该客车是否超速；

（2）又经过一段时间后，客车到达楼房B的正西方向E处，问此时客车距离楼房B多远。

20．已知

，其中

，若函数

，且函数

的图象与直线

相邻两公共点间的距离为

（1）求

的值；

（2）在

中．

分别是

的对边，且

，求

的面积。

21．设函数

。

（1）若

时，求

处的切线方程；

（2）当

时，

，求

的取值范围。

皖南八校2014届高三第一次联考

数学文试卷参考答案

1．B　（1＋i）2＝2i虚部为2.

2．D　A＝{x|y＝log2（x2－1）}＝{x|x2－1＞0}＝{x|x＞1或x＜－1}，B＝{y|y＝（

）x－1}＝{y|y＞0}，A∩B＝{x|x＞1}．

3．A　∵当函数f（x）＝x2－2ax＋2在区间[3，＋∞）内单调递增时，对称轴x＝a≤3，∴“a＝3”是“函数f（x）＝x2－2ax＋2在区间[3，＋∞）内单调递增”的充分不必要条件．

4．C　f（x）＝

在定义域上是奇函数，但不单调；f（x）＝

为非奇非偶函数；f（x）＝－tanx在定义域上是奇函数，但不单调．所以选C.

5．D　∵点（2，e2）在曲线上，∴切线的斜率k＝y′|x＝2＝ex|x＝2＝e2，∴切线的方程为y－e2＝e2（x－2），即e2x－y－e2＝0，与两坐标轴的交点坐标为（0，－e2），（1，0），∴S＝

×1×e2＝

.

6．A　因为|a－b|＝

＝

＝

，

所以cos〈a，a－b〉＝

＝

＝

＝

，

所以向量a与a－b的夹角为

.

7．B　f（x）＝sin2x－

cos2x＝2sin（2x－

），向左平移m个单位得到g（x）＝2sin[2（x＋m）－

]＝2sin（2x＋2m－

），所以g（

）＝2sin（2×

＋2m－

）＝2sin（2m＋

）＝0，∴2m＋

＝kπ，k∈Z，∵m＞0，∴m的最小值为

，故选B.

8．D　设点P的横坐标为x0（x0>0），∵y′＝

－

x，∴点P处的切线斜率为k＝

－

x0∈[0，1]，即0≤

－

x0≤1，得2≤x0≤2

.

9．C　由题意知c

－

a（

＋

）＋

b（

－

）＝0，

∴（c－

）

－

＝0，∴（c－

）

＝

，

又

、

不共线，∴

∴a＝b＝c.

10．B　依题意可设y关于t（单位：

秒）的函数为y＝－sin（ωt＋φ）（ω>0，－π<φ<π），周期为12，

＝12，∴ω＝

，∴y＝－sin（

t＋φ），当t＝0时，y＝

，sinφ＝－

，

又－π<φ<π，∴φ＝－

或－

，又当φ＝－

时，A点坐标为（－

，

），不合题意．

∴y＝－sin（

t－

）求函数的单调增区间，只需求y＝sin（

t－

）的减区间，2kπ＋

≤

t－

≤2kπ＋

，∴12k＋5≤t≤12k＋11，k＝0时，5≤t≤11.

11.

　sin

＝sin（2π＋

）＝sin

＝

.

12．2　设AC∩BD＝O，由题可知|

|＝

|

|＝1，则

·

＝|

||

|cos∠PAO＝|

|（2|

|）cos∠PAO＝2|

|2＝2.

13．[

，2）　画出函数图象如图所示，由图象可知要使a>b≥0，f（a）＝f（b）同时成立，

≤b<1，bf（a）＝b·f（b）＝b（b＋1）＝b2＋b＝（b＋

）2－

∴

≤b·f（a）<2.

14.

＋1　由sinB＋cosB＝

，得1＋2sinBcosB＝2，即sin2B＝1，∵0

，

又∵a＝

，b＝2，∴在△ABC中，由余弦定理得4＝2＋c2－2

ccos

＝2＋c2－2c，解得c＝

＋1.

15．①③④　依题意2013被5除的余数为3，则①正确；－1＝5×（－1）＋4，则②错误；

整数集就是由被5除所得余数为0，1，2，3，4的整数构成，③正确；假设④中a＝4n1＋m1，b＝4n2＋m2，a－b＝4（n1－n2）＋m1－m2，a，b要是同类，则m1－m2＝0，所以a－b∈[0]，反之也成立；因为a∈[1]，b∈[3]，所以可设a＝5n1＋1，b＝5n2＋3，∴a＋b＝5（n1＋n2）＋4∈[4]，原命题成立，逆命题不成立，如a＝5，b＝9满足a＋b∈[4]，但是a∈[0]，b∈[4]，⑤错误．

16．解：

（1）∵a＝1，∴A＝{x|（x－1）（x－2）≤0}＝{x|1≤x≤2}．（5分）

（2）依题意易得p：

1≤x≤2，q：

a≤x≤a2＋1.（7分）

∵q是p的必要不充分条件，∴

∴a≤－1.（12分）

17．解：

（1）∵F′（x）=ax2+bx+1,

∴f（x）=ax2+bx+1.

∵f（－1）＝0，∴a－b＋1＝0，∴b＝a＋1，

∴f（x）＝ax2＋（a＋1）x＋1.∵f（x）≥0恒成立，

∴

∴

∴a＝1，从而b＝2，∴f（x）＝x2＋2x＋1.（6分）

（2）g（x）＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋（2－k）x＋1.

∵g（x）在[－2，2]上是单调函数，

∴

≤－2或

≥2，解得k≤－2，或k≥6.

∴k的取值范围为（－∞，－2]∪[6，＋∞）.（12分）

18．解：

（1）由题设知f（x）＝

[1＋cos（2x＋

）]．

因为f（）=0，所以1＋cos（2x0＋

）＝0,

cos（2x0＋

）＝－1，即x0＝kπ＋

π（k∈Z）．

所以g（x0）＝1＋

sin2x0＝1＋

sin（2kπ＋

）＝

.（6分）

（2）h（x）＝f（x）＋g（x）＝

[1＋cos（2x＋

）]＋1＋

sin2x

＝

[cos（2x＋

）＋sin2x]＋

＝

（

cos2x＋

sin2x）＋

＝

sin（2x＋

）＋

.

当2kπ－

≤2x＋

≤2kπ＋

，即kπ－

≤x≤kπ＋

（k∈Z）时，

函数h（x）＝

sin（2x＋

）＋

是增函数，

故函数h（x）的单调递增区间是[kπ－

，kπ＋

]（k∈Z）．（12分）

19．解：

（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝100米，则BC＝100

米，

在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AB＝100米，则BD＝100米，

在Rt△BCD中，∠DBC＝75°＋15°＝90°，

则DC＝

＝200米，所以客车速度v＝

＝1200米/分钟＝72公里/小时，所以此客车没有超速．（6分）

（2）在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，

又因为∠DBE＝15°，所以∠CBE＝105°，

所以∠CEB＝45°，

在△BCE中，由正弦定理可知

＝

，

所以EB＝

＝50

米．客车距楼房B50

米.（13分）

20．解：

（1）f（x）＝m·n＝（sinωx＋cosωx，

cosωx）·（cosωx－sinωx，2sinωx）＝cos2ωx－sin2ωx＋2

sinωxcosωx＝cos2ωx＋

sin2ωx＝2sin（2ωx＋

）．（3分）

∵ω＞0，∴函数f（x）的周期T＝

＝

，

∵函数f（x）的图象与直线y＝2相邻两公共点间的距离为π.

∴

＝π，∴ω＝1.（6分）

（2）由

（1）可知ω＝1，f（x）＝2sin（2x＋

）．

∵f（A）＝1，∴2sin（2A＋

）＝1.

∴sin（2A＋

）＝

，

∵0＜A＜π，∴

＜2A＋

＜

，

∴2A＋

＝

⇒A＝

.（10分）

由余弦定理知cosA＝

，

∴b2＋c2－bc＝3，又b＋c＝3，

联立解得

或

∴S△ABC＝

bcsinA＝

.（13分）

（或用配方法：

∵b2＋c2－bc＝（b＋c）2－3bc＝3，b＋c＝3，∴bc＝2，∴S△ABC＝

bcsinA＝

）

21．解：

（1）当a＝1，f（x）＝xex－x2

f′（x）＝（x＋1）ex－2x，f′

（1）＝2e－2，f

（1）＝e－1，

故所求切线方程为：

y－（e－1）＝2（e－1）（x－1），

化简得：

2（e－1）x－y－e＋1＝0.（5分）

（2）x>0，f（x）＝xex－ax2>0，

化简得：

a<

，

设g（x）＝

，

求导得：

g′（x）＝

.

当x∈（0，1）时，g′（x）<0；当x∈（1，＋∞）时，g′（x）>0.

故g（x）在（0，1）单调减少，在（1，＋∞）单调增加．

故y＝g（x）在x＝1时取极小值．

则y＝g（x）在（0，＋∞）时，gmin＝g

（1）＝e.

综上所述：

a