北师大版八年级上册第1章《勾股定理》单元练习题.docx

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北师大版八年级上册第1章《勾股定理》单元练习题

《勾股定理》单元练习题

一．选择题

1．下列四组线段中，不能作为直角三角形三条边的是（　　）

A．3，4，5B．2，2，2

C．2，5，6D．5，12，13

2．下列四组数，是勾股数的是（　　）

A．1，2，3B．2，3，4C．1，

，3D．5，12，13

3．在△ABC中，BC＝5，AC＝4，AB＝3，则（　　）

A．∠A＝90°B．∠B＝90°C．∠C＝90°D．∠A+∠B＝90°

4．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：

“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？

”翻译成数学问题是：

如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10尺，BC＝4尺，求AC的长．AC的长为（　　）

A．3尺B．4.2尺C．5尺D．4尺

5．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3．若S1+S2＝36，则S3＝（　　）

A．25B．36C．40D．49

6．校园内有两棵树，相距8米，一棵树高为13米，另一棵树高7米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞（　　）

A．10米B．11米C．12米D．13米

7．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DF∥BC，∠ABC的平分线BE交DF于点G，GH⊥DF，点E恰好为DH的中点，若AE＝3，CD＝2，则GH＝（　　）

A．1B．2C．3D．4

8．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：

今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？

题目大意是：

如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（　　）

A．50.5寸B．52寸C．101寸D．104寸

9．在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得△ABC是直角三角形，则这样的格点C的个数是（　　）

A．4B．6C．8D．10

10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8cm，AE平分∠BAC，交BC于点E．D为AE上一点，且∠ACD＝∠CAD，DE＝3cm，连接CD．过点D作DF⊥AB，垂足为点F，则下列结论正确的有（　　）

①CD＝5cm；②AC＝10cm；③DF＝3cm；④△ACD的面积为10cm2．

A．1个B．2个C．3个D．4个

二．填空题

11．如图，△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，AB＝17cm，AD＝10cm，AC＝8cm，则BD的长为　　．

12．“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，若AB＝10，EF＝2，则AH＝　　．

13．已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是边AB的中点，点E在边BC上，连接DE，当△BDE为等腰三角形时，BE的长为　　．

14．如图所示，∠ABC＝∠BAD＝90°，AC＝13，BC＝5，AD＝16，则BD的长为　　．

15．如图，一架13m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时AC为12m．如果子的顶端A沿墙下滑7m，那么梯子底端B向外移　　m．

16．如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的边长分别为2、3、4，则正方形D的面积为　　．

三．解答题

17．如图，已知CD＝3，AD＝4，BC＝12，AB＝13，∠ADC＝90°，试求阴影部分的面积．

18．我们规定：

三角形任意一条边的“线高差”等于这条边与这条边上的高之差．如图①，在△ABC中，CD为AB边上的高，AB的“线高差”等于AB﹣CD，记为h（AB）．

（1）如图②，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AD＝6，BD＝4，则h（BC）＝　　；

（2）如图③，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，求h（AB）．

19．阅读与思考

如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．

×年×月×日星期日

没有直角尺也能作出直角

今天，我在书店一本书上看到下面材料：

木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB，现根据木板的情况，要过AB上的一点C，作出AB的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？

办法一：

如图①，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD＝30cm，然后分别以D，C为圆心，以50cm与40cm为半径画圆弧，两弧相交于点E，作直线CE，则∠DCE必为90°．

办法二：

如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M，N两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M与点C重合，用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q，保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在AB上，在木板上将点M对应的位置标记为点R．然后将RQ延长，在延长线上截取线段QS＝MN，得到点S，作直线SC，则∠RCS＝90°．

我有如下思考：

以上两种办法依据的是什么数学原理呢？

我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？

……

任务：

（1）填空：

“办法一”依据的一个数学定理是　　；

（2）根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS＝90°；

（3）①尺规作图：

请在图③的木板上，过点C作出AB的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；

②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）．

20．阅读下列内容：

设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：

①若a2＝b2+c2，则该三角形是直角三角形；②若a2＞b2+c2，则该三角形是钝角三角形；③若a2＜b2+c2，则该三角形是锐角三角形．例如：

若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，62＝36＜42+52，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：

（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是　　三角形．

（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，求x的值．

21．小东和小明要测量校园里的一块四边形场地ABCD（如图所示）的周长，其中边CD上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度．

小东经测量得知AB＝AD＝15米，∠A＝60°，BC＝20米，∠ABC＝150°．小明说根据小东所得的数据可以求出CD的长度．你同意小明的说法吗？

若同意，请求出CD的长度；若不同意，请说明理由．

参考答案

一．选择题

1．解：

A，32+42＝25＝52，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；

B，22+22＝8＝（2

）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；

C，22+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形；

D、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形．

故选：

C．

2．解：

A、∵12+22≠32，

∴1，2，3不是勾股数，故本选项不符合题意；

B、∵32+22≠42，

∴4，2，3不是勾股数，故本选项不符合题意；

C、∵12+（

）2≠32，

∴1，

，3不是勾股数，故本选项不符合题意；

D、∵52+122＝132，

∴5，12，13是勾股数，故本选项符合题意；

故选：

D．

3．解：

∵在△ABC中，AB＝3，BC＝5，AC＝4，

∴AC2+AB2＝BC2，

∴△ABC是直角三角形，且∠A＝90°，

故选：

A．

4．解：

设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，

根据勾股定理得：

x2+42＝（10﹣x）2．

解得：

x＝4.2，

∴折断处离地面的高度为4.2尺，

故选：

B．

5．解：

∵在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2，

又由正方形面积公式得S1＝AB2，S2＝AC2，S3＝BC2，

∴S3＝S1+S2＝36．

故选：

B．

6．解：

如图所示，AB，CD为树，且AB＝13米，CD＝7米，BD为两树距离8米，

过C作CE⊥AB于E，

则CE＝BD＝8米，AE＝AB﹣CD＝6米，

在直角三角形AEC中，

AC＝

＝10米，

答：

小鸟至少要飞10米．

故选：

A．

7．解：

过E作EM⊥BC，交FD于点N，

∵DF∥BC，

∴EN⊥DF，

∴EN∥HG，

∴

＝

，

∵E为HD中点，

∴

＝

，

∴

＝

，即HG＝2EN，

∴∠DNM＝∠NMC＝∠C＝90°，

∴四边形NMCD为矩形，

∴MN＝DC＝2，

∵BE平分∠ABC，EA⊥AB，EM⊥BC，

∴EM＝AE＝3，

∴EN＝EM﹣MN＝3﹣2＝1，

则HG＝2EN＝2．

故选：

B．

8．解：

如图2所示：

由题意得：

OA＝OB＝AD＝BC，

设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，

则AB＝2r，DE＝10，OE＝

CD＝1，AE＝r﹣1，

在Rt△ADE中，

AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，

解得：

r＝50.5，

∴2r＝101（寸），

∴AB＝101寸，

故选：

C．

9．解：

如图所示：

格点C的个数是8，

故选：

C．

10．解：

①∵在△ABC中，AB＝AC，BC＝8cm，AE平分∠BAC，

∴AE⊥BC，BE＝CE＝4cm，

在Rt△DEC中，CD＝

＝5cm，故①正确；

②∵∠ACD＝∠CAD，

∴AD＝CD＝5cm，

∴AE＝8cm，

在Rt△AEC中，AC＝

＝4

cm，故②错误；

③∵∠DAF＝∠BAE，∠AFD＝∠AEB，

∴△DAF∽△BAE，

∴DF：

AD＝BE：

AB，即DF：

5＝4：

4

，

解得DF＝

．

故DF＝

cm，故③错误；

④△ACD的面积为5×4÷2＝10cm2，故④正确．

故选：

B．

二．填空题（共6小题）

11．解：

∵△ABC中，∠C＝90°，AB＝17cm，AD＝10cm，AC＝8cm，

∴CD＝

，BC＝

，

∴BD＝15﹣6＝9（cm），

故答案为：

9cm．

12．解：

∵AB＝10，EF＝2，

∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，

∴四个直角三角形面积和为100﹣4＝96，设AE为a，DE为b，即4×

ab＝96，

∴2ab＝96，a2+b2＝100，

∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196，

∴a+b＝14，

∵a﹣b＝2，

解得：

a＝8，b＝6，

∴AE＝8，AH＝DE＝6，

∴AH＝8﹣2＝6．

故答案为：

6．

13．解：

如图，

在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，

∴AB＝

＝

＝10，

∵D是AB的中点，

∴BD＝AD＝5，

当DB＝DE2时，点E2与C重合，此时BE2＝8，

当BD＝BE1时，BE1＝5，

当ED＝EB时，过点E作EH⊥BD于H，则DH＝BH＝

，

∵cosB＝

＝

，

∴

＝

，

∴BE＝

，

综上所述，满足条件的BE的值为8或5或

．

14．解：

∵∠ABC＝90°，AC＝13，BC＝5，

∴AB＝

＝12，

又∵∠BAD＝90°，AD＝16，

∴BD＝

＝20，

故答案为：

20．

15．解：

∵∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，

∴BC＝

＝5，

∵AE＝7，

∴CE＝12﹣7＝5，

∴CD＝

＝12，

∴BD＝CD﹣BC＝7，

∴梯子底端B向外移7m，

故答案为：

7．

16．解：

设正方形D的面积为x，

∵正方形A、B、C的边长分别为2、3、4，

∴正方形的面积分别为4、9、16，

根据图形得：

4+16＝x﹣9，

解得：

x＝29，

故答案为：

29．

三．解答题（共5小题）

17．解：

由勾股定理可知：

AC＝

，

又∵AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2，

∴△ABC是直角三角形

故所求面积＝S△ABC﹣S△ACD＝

×5×12﹣

×3×4＝30﹣6＝24，

答：

阴影部分的面积为24．

18．解：

（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，

∴BC＝2BD＝2×4＝8，

（2）∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，

∴AB＝

，

故答案为：

（1）8．

19．解：

（1）∵CD＝30，DE＝50，CE＝40，

∴CD2+CE2＝302+402＝502＝DE2，

∴∠DCE＝90°，

故“办法一”依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理；

故答案为：

勾股定理的逆定理；

（2）由作图方法可知，QP＝QC，QS＝QC，

∴∠QCR＝∠QRC，∠QCS＝∠QSC，

∵∠SRC+∠RCS+∠QRC+∠QSC＝180°，

∴2（∠QCR+∠QCS）＝180°，

∴∠QCR+∠QCS＝90°，

即∠RCS＝90°；

（3）①如图③所示，直线PC即为所求；

②答案不唯一，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

20．解：

（1）∵72+82＝113，92＝81，

∴92＜72+82，

∴该三角形是锐角三角形，

故答案为：

锐角；

（2）当最长边是12时，x＝

＝

；

当最长边是x时，x＝

＝13，

即x＝13或

．

21．解：

同意小明的说法．

理由：

连接BD，

∵AB＝AD＝15m，∠A＝60°，

∴△ABD为等边三角形，

∴AB＝AD＝BD＝15m，且∠ABD＝60°，

∵∠ABC＝150°，

∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝90°，

在Rt△BCD中，∠DBC＝90°，BC＝20m，BD＝15m，

根据勾股定理得：

BC2+BD2＝CD2，

即CD＝

＝

＝25（m），

答：

CD的长度为25m．