初中数学概念.docx
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初中数学概念
初中数学概念
一、数
正数:
正数大于0
负数:
负数小于0
0既不是正数,也不是负数;正数大于负数
整数包括:
正整数,0,负整数
分数包括:
正分数,负分数
有理数包括:
整数,分数/有限小数,无限循环小数
数轴:
在直线上取一点表示0(原点),选取单位长度,规定直线上向右的方向为正方向
任何一个有理数(实数)都可以用数轴上的一个点表示,点和数是一一对应的
两个数只有符号不同,其中一个数为另一个的相反数;两个互为相反数
0的相反数就是0
在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点两侧,且与原点距离相等
数轴上的两个点表示的数,右边的总比左边的大
绝对值:
数轴上,一个数所对应的点与原点的距离
正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0
两个负数比较大小,绝对值大的反而小
有理数加法法则:
同号相加,不变符号,绝对值相加
异号相加,绝对值相等得0;不等,符合和绝对值大的相同,绝对值相减
一个数加0,仍是这个数
加法交换律:
A+B=B+A
加法结合律:
(A+B)+C=A+(B+C)
有理数减法法则:
减去一个数,等于加上这个数的相反数
有理数乘法法则:
两数相乘,同号得正,异号的负,绝对值相乘;任何数与0相乘,积为0
乘积为1的两个有理数互为倒数;0没有倒数
乘法交换律:
AB=BA
乘法结合律:
(AB)C=A(BC)
乘法分配律:
A(B+C)=AB+AC
有理数除法法则:
两个有理数相除,同号得正,异号的负,绝对值相除
0除以任何非0的数都得0;0不能做除数
乘方:
求n个相同因数a的积的运算;结果叫幂;a是底数;n是指数;an读作a的n次幂
有理数混和运算法则:
先算乘方,再乘除,后加减;括号里的先算
无理数:
无限不循环小数,有正负之分。
算数平方根:
一个正数x的平方等于a,即x2=a,则x是a的算数平方根,读作“根号a”
0的算数平方根是0
平方根:
一个数x的平方根等于a,即x2=a,则x是a的平方根(又叫:
二次方根)
一个正数有两个平方根,且互为相反数;0只有一个,是它本身;负数没有平方根
开平方:
求一个数的平方根的运算;a叫做被开方数
立方根:
一个数x的立方等于a,即x3=a,则x是a的立方根(又叫:
三次方根)
每个数只有一个立方根,正数的是正数;0的是0;负数的是负数
开立方:
求一个数的立方根的运算;a叫做被开方数
实数:
有理数和无理数的统称,包括有理数,无理数。
相反数、倒数、绝对值的意义相同和有理数的。
实数的运算法则和有理数相同。
计算后出现带根号的无理数要化简,使被开方数不含分母和开得尽的因数
二、式
代数式:
用基本运算符号连接数字或字母的式子;单独的数字或字母也是代数式
单项式:
数字和字母的积;单独的数字或字母也是单项式;数字因数叫做单项式的系数
多项式:
几个单项式的和;每个单项式叫做多项式的项,不含字母的叫常数项
单项式的次数:
一个单项式中,所有字母的指数和;单独的一个非零数的次数是0
多项的次数:
次数最高的项的次数
同类项:
所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项
合并同类项:
把同类项合并成一项;合并同类项时,系数相加,字母和字母的指数不变
去括号法则:
括号前面是加号,去括号运算符号不变
括号前面是减号,去括号(一级运算)运算符号变
多重括号,由里面的括号开始去
整式:
单项式和多项式的统称
整式加减运算:
先去括号,再合并同类项,知道式子最简
同底数幂的乘法:
同底数幂相乘,底数不变,指数相加,如am?
an=am+n(m、n为正整数)
幂的乘方:
幂的乘方,底数不变,指数相乘,如(am)n=amn(m、n为正整数)
积的乘方:
积的乘方等于积中每个因数乘方的积,如(ab)n=anbn(n为正整数)
同底数幂的除法:
同底数幂相除,底数不变,指数相减,如am÷n=am-n(m、n为正整数,a≠0,且m>n);a0=1(a≠0);a—p=1/ap(a≠0,p是正整数)
整式的乘方:
单项式与单项式,把系数、相同字母的幂分别相加,其余字母连同其指数不变,作为积的因式
单项式与多项式,根据分配律用单项式去成多项式的每一项,再把积相加
多项式与多项式,先用一个多项式的每一项乘另一个的每一项,再把积相加
平方差公式:
两数和与这两数差的积,等于它们的平方差(a+b)(a-b)=a2-b2
完全平方公式:
(a-b)2=(b-a)2=a2-2ab+b2
(a+b)2=(-a-b)2=a2+2ab+b2
整式除法:
单项式相除,把系数、同底数幂分别相除后,作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式
多项式除以单项式,先把多项式的每一项分别除以单项式,再把所得商相加
分解因式:
把一个多项式化成几个整式的积的形式
公因式:
多项式各项都含有的相同因式
提公因式:
多项式的各项含有公因式,把这个公因式提出来,将多项式化成两个因式的乘积
完全平方式:
形如a2-2ab+b2和a2+2ab+b2的式子
运用公式法:
把乘法公式反过来,用来把某些多项式分解因式
分式:
整式A除以整式B,表示成A/B。
A为分式的分子;B为分式的分母(B不为0)
分式的基本性质:
分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于0的整式,分式值不变
约分:
把一个分式的分子和分母的公因式约去的变形
最简分式:
分子和分母没有公因式的分式
分式乘除法法则:
分式相乘,分子相乘作分子,分母相乘作分母
分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘
分式加减法则:
同分母分式加减,分母不变,分子相加;异分式先通分,再加减
通分:
根据分式的基本性质,异分母分式化为同分母分式的过程;通分时常取最简公分母
分式方程:
分母中含有未知数的方程
增根:
使原分式方程的分母为0的原方程的根;解分式方程必须检验
三、方程(组)
等式:
用等号表示相等关系的式子;等式具有传递性
方程:
含有未知数的等式
一元一次方程:
一个方程中,只含一个未知数(元),且未知数的指数为1(次)的方程
等式性质:
等式两边同时加上(或减去)同一个代数式,结果还是等式
等式两边同时乘以同一个数(或除以同一个不为0的数),结果还是等式
移项:
从方程一边移到另一边的变形
二元一次方程:
含有两个未知数,且所含未知数的项数的次数都是1的方程
二元一次方程组:
含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程
二元一次方程的一个解:
适合一个二元一次方程的一组未知数的值
二元一次方程组的解:
二元一次方程组中各个方程的公共解;它们成对出现
代入消元法:
简称“代入法”,将其中一个方程的某未知数用含有另一个未知数的代数式表示,并代入另一个方程中,从而消去一个未知数,化二元一次方程组为一元一次方程的方法
加减消元法:
简称“加减法”,通过两式相加(减)消去其中一个未知数的方法
图像法:
根据二元一次方程的解和一次函数图像的关系,找出两直线的交点坐标求解的方法
整式方程:
等号两边都是关于未知数的整式方程
一元二次方程:
只含有一个未知数的整式方程,化成ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)
配方法:
通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根的方法
公式法:
对于ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数),当b2-4ac≥0时(当b2-4ac≤0时,方程无解),可用一元二次方程的求根公式求解的方法
分解因式法:
又称“十字相乘法”,当一元二次方程的一边为0,另一边能分解成两个一次因式的乘积时,求方程的根的方法
四、不等式(组)
不大于:
等于或小于,符号“≤”,读作“小于等于”
不小于:
大于或大于,符号“≥”,读作“大于等于”
不等式:
用符号“<”(或“≤”),“>”(或“≥”)连接的式子;不等有传递性(除“≠”)
不等式基本性质:
不等式两边加上(或减去)同一个整式,不等号方向不变
不等式两边乘以(或除以)同一个正数,不等号方向不变
不等式两边乘以(或除以)同一个负数,不等号方向变
不等式的解:
能使不等式成立的未知数的值
解集:
一个含有未知数的不等式的所有解的统称
解不等式:
求不等式解集的过程
一元一次不等式:
不等式的左右两边是整式,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是1的不等式
一元一次不等式组:
由关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起组成
一元一次不等式组的解集:
一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分
解不等式组:
求不等式解集的过程
一元一次不等式组的解集:
同大取大,同小取小,大小不一是无解
五、函数
函数:
有两个变量x和y,给定x值就对应找到一个y值
函数图像:
把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标,在直角坐标系里描出它的对应点,所以点组成的图像
变量包括:
自变量和因变量
关系式:
表示变量之间关系的方法,根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值
表格法:
表示因变量随自变量的变化而变化的情况
图像法:
表示变量之间关系的方法,比较直观
平面直角坐标系:
在平面内,由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的;两条坐标轴把平面直角坐标系分成4部分:
右上为第一象限,右下为第四象限,左上第二,左下第三
坐标:
过一点分别向x轴、y轴作垂线,垂足在x轴、y轴上所对应的数a、b,则(a,b)
坐标加减,图形大小和形状不变;坐标乘除,图形会变化
一次函数:
若两个变量x,y的关系能表示成y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式
正比例函数:
当y=kx+b(k,b为常数,k≠0),b=0的时候,即y=kx,其图像过原点
一次函数的图像:
k>0直线向左;k<0直线向右。
与x轴(-b/k,0);与y轴(0,b)
反比例函数:
若两个变量x,y的关系能表示成y=k/x(k为常数,k≠0)的形式,x不为0
反比例函数的图像:
k<0双曲线在二、四象限,在每一象限内,y随x增大而减小
k>0双曲线在一、三象限,在每一象限内,y随x增大而增大
二次函数:
两个变量x,y的关系表示成y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)的函数
二次函数的图像:
函数图像是抛物线;a>0时,开口向上有最小值,a<0时,向下有最大值
y=a(x-h)2+k的图像,开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k有关
二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点就是ax2+bx+c=0的根:
0,1,2个
六、三角函数
正切(坡比):
Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比,记做tanA;tanA越大,梯子越陡
正弦:
∠A的对边与斜边的比记做sinA;sinA越大,梯子越陡
余弦:
∠A的邻边与斜边的比记做cosA;cosA越小,梯子越陡
锐角A的正切、正弦、余弦都是∠A的三角函数
仰角:
当从低处观测高处目标时,视线与水平线所成的锐角
俯角:
当从高处观测低处目标时,视线与水平线所成的锐角
七、统计和概率
科学记数法:
把一个数字写成a*10n的形式的记数方法
统计图:
形象地表示收集到的数据的图
扇形统计图:
用圆和扇形来表示总体和部分的关系,扇形大小反映部分占总体的百分比的大小;在扇形统计图中,每个部分占总体的百分比等于该部分对应的扇形圆心角与3600的比
条形统计图:
清楚地表示出每个项目的具体数目
折线统计图:
清楚地反映事物的变化情况
确定事件包括:
肯定会发生的必然事件(P=1)和一定不会发生的不可能事件(P=0)
不确定事件:
可能发生也可能不发生的事件(0
可用事件结果除以所以可能结果求得理论概率
有效数字:
对于一个近似数,从左边第一个不是0的数字起,到精确到的数位为止的数字
游戏双方公平:
双方获胜的可能性相同
算数平均数:
简称“平均数”,最常用,受极端值得影响较大;加权平均数
中位数:
数据按大小排列,处于中间位置的数,计算简单,受极端值得影响较小
众数:
一组数据中出现次数最多的数据,受极端值得影响较小,跟其他数据关系不大
平均数、众数、中位数都是数据的代表,刻画了一组数据的“平均水平”
普查:
为了一定目的对考察对象进行全面调查;考察对象全体叫总体,每个考察对象叫个体
抽样调查:
从总体中抽取部分个体进行调查;从总体中抽出的一部分个体叫样本(有代表性)
随机调查:
按机会均等的原则进行调查,总体中每个个体被调查的概率相同
频数:
每次对象出现的次数
频率:
每次对象出现的次数与总次数的比值
级差:
一组数据中最大数据与最小数据的差,刻画数据的离散程度
方差:
各个数据与平均数之差的平方的平均数,刻画数据的离散程度
方差计算公式s2=[(x1-x)2+(x2-x)2+……+(xn-x)2]/n=(x12+x22+……+xn2-nx2)/n
标准方差:
方差的算数平方根刻画数据的离散程度
一组数据的级差、方差、标准方差越小,这组数据就越稳定
利用树状图或表格方便求出某事件发生的概率
两个对比图像中,坐标轴上同一单位长度表示的意义一致,纵坐标从0开始画
八、几何基本概念
圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱(直棱柱和斜棱柱)、棱锥和球都是几何体
多面体:
一个各个面都是平面的几何体
图形由点、线、面组成;点动成线,线动成面,面动成体;面面相交得线,线线相交等点
棱:
在棱柱中,任何相邻两个面的交线,相邻两个侧面的交线叫侧棱。
截面:
用一个平面去截一个几何体所截出的面
主视图:
从正面看到的图;左视图:
从左面看到的图;俯视图:
从上面看到的图
扇形:
由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形
等腰三角形是轴对称图形,它的两个底角相等
轴对称的性质:
对应点的连线被对称轴垂直平分;对应线段相等,对应角相等
平移:
在平面内,将图形沿某方向移动一定距离的运动;平移不改变图形的形状和大小
经过平移,对应点的连线平行且相等;对应线段平行且相等,对应教相等
旋转:
在平面内,将图形绕一个顶点转动一个角度的运动;旋转不改变图形的形状和大小
定点称为旋转中心,转动的角是旋转角;经过旋转,图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动相同的角度;任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等
线段:
直线上两点,及其中间的部分;两点之间的所有连线中,线段最短;叫两点之间的距离
射线:
直线上一点,及其一旁的部分
直线:
两端可无限延伸;经过两点有且只有一条直线
中点:
在线段上,把线段分为相等的两条线段的点
角:
由两条具有公共端点的射线组成,公共端点是这个角的顶点
平角:
一条射线绕它的端点旋转,当终边和始边成一条线时所成的角
周角:
平角的一边继续旋转,当终边和始边再一次成一条线时所成的角
角平分线:
从角的顶点引出,把这个角分成两个相等的角的射线
平行线:
在同一平面内,不相交的两条直线
经过线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行
两条线段平行指这两条线段所在的直线平行
垂直:
相交成直角的两条直线;互相垂直的两条直线的交点叫垂足
平面内,过一点,有且只有一条直线与已知直线垂直
两条线段垂直指这两条线段所在的直线垂直
七巧板、图案设计
投影现象:
物体在光线的照射下,在地面留下影子的现象
平行投影:
太阳光线看成平行光线所形成的投影
中心投影:
点光源的光线形成的投影
视点、视线、盲区
九、相交线、平行线与三角形
余角:
如果两个角的和是直角,那么称这两个角互为余角
补角:
如果两个角的和是平角,那么称这两个角互为补角
同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等
对顶角:
相交线的两边互为反向延长线的两个角;对顶角相等
同位角:
同位角相等,两直线平行
内错角:
内错角相等,两直线平行
同旁内角:
同旁内角互补,两直线平行
两直线平行,则同位角相等,内错角相等,同旁内角互补
如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也平行
勾股定理:
如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2
勾股定理逆定理:
如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形
两线段的比:
同一长度单位量得两条线段AB,CD长m,n,则
合比性质:
如果 ,那么
等比性质:
如果 (b+d+……+n≠0),那么
黄金分割:
长边:
;短边:
相似多边形:
各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形
相似比:
相似多边形对应边的比
相似三角形:
三角形对应相等、三边对应成比例的两个三角形
三角形相似条件:
两角对应相等;三边对应成比例;两边对应成比例且夹角相等
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比
相似多边形的周长比等于相似比,面积等于相似比的平方
位似图形:
不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一个点的两个图形;这个点是位似中心,相似比又叫位似比
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比
定义:
对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定
命题:
判断一件事情的句子;命题包括条件和结论。
条件是已知事项,结论是推断处的事项
真命题是正确的命题;假命题是不正确的命题
反例:
具备命题条件,而不具有命题结论的例子
公理:
公认的真命题;推理的过程叫证明;经过证明的真命题叫定理
推论:
由公理和定理直接推出的定理
三角形内角和定理:
三角形三个内角和等于180o
四边形的内角和等于360o;n边形的内角和等于180o*(n-2)
三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和;三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角
三角形全等:
SSS,SAS,ASA,AAS,HL
等腰三角形的两个底角相等(等边对等角),两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)
等腰三角形“三线合一”;
等边三角形:
一个角是60o的等腰三角形是正三角形;三个角都相等的三角形是正三角形
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;一条边上的中线等于它的一半的是直角三角形
线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等;到线段两端距离相等的点,在垂直平分线上
角平分线上的点到角两边距离相等;在角内部,到角两边距离相等的点,在角平分线上
互逆命题:
一个命题的条件和结论分别是另一个的结论和条件;一个是另一个的逆命题
互逆定理:
一个定理的逆命题是真命题;一个是另一个的逆定理
十、特殊的四边形
平行四边形:
两组对边分别平行的四边形;对角相等;对边平行且相等;对角相互平分
夹在两条平行线间的平行线段相等
平行四边形的判定:
两条对角线互相平分;一组对边平行且相等;两组对边分别相等
菱形:
一组邻边相等的平行四边形;四边相等;对角线相互平分且垂直;对角线平分一组对角
菱形的判定:
一组邻边相等的平行四边形;四边相等的四边形;对角线相互垂直的平行四边行
矩形:
有一个内角是直角的平行四边形;对角线相等;四个角都是直角
矩形的判定:
对角线相等的平行四边形
正方形:
一组邻边相等的矩形;正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质
梯形:
一组对边平行而另一组不平行的四边形;平行的两边是上、下底,不平行的是腰;等腰梯形对角线相等;同一底上的内角相等的梯形是等腰梯形
两条腰相等的梯形叫等腰梯形,同一底上的内角相等;一条腰和底垂直的梯形叫直角梯形
多边形:
在平面内,由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形
正多边形:
在平面内,内角、和边都相等的多边形
多边形的外角:
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角;多边形外角和是360o
三角形、四边形和正六边形都可以密铺
中心对称图形:
在平面内,绕某个点转180o和原图形重合的图形;这个点叫对称中心
中心对称图形上的每对对应点的连线段都被对称中心平分
三角形的中位线:
连接三角形两边中点的线段;三角形的中位线平行与第三边且是它的一半
十一、圆
圆:
平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形;定点是圆心;定长是半径
点与圆的:
点在圆外,d>r;点在圆上,d=r;点在圆内,d圆是轴对称图形,也是中心对称图形,对称中心是圆心,其对称轴是任意一条过圆心的直线
圆弧:
圆上任意两点间的部分,简称“弧”;连接圆上任意两点的线段是弦
垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,且平分弦所对的弧
垂径定理逆定理:
平分线弦(不是直径)的直径垂直于弦,且平分弦所对的弧
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对弦相等;如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组相等,那么它们所对应的其余各族量都分别相等
圆周角:
顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点的角;在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等;直径所对圆周角是直角;90o的圆周角所对弦是直径
圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
不在同一条直线上的三个点确定一个圆;过不共线三点,有且只有一个圆
外接圆:
三角形的三个顶点确定的圆;外接圆的圆心是三角形的外心(三边垂直平分线交点)
内切圆:
与三角形三边内切的圆;内切圆的圆心是三角形的内心(三角平分线交点)
直线与圆:
相交,dr,没有交点
切线:
和圆只有一个交点的直线;切线垂直于过切点的直径;经过直径一段且垂直,是切线
圆与圆:
外离,d>R+r,0;外切,d=R+r,1;相交,R-r弧长计算公式:
l=
扇形面积计算公式:
S扇形= =
圆锥的全面积:
圆锥的侧面积与底面积的和
圆锥的侧面积计算公式:
S圆锥侧=
公式分类
公式表达式
平方差
a2-b2=(a+b)(a-b)
和差的平方
(a+b)2=a2+b2+2ab
(a-b)2=a2+b2-2ab
和差的立方
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
三角不等式
|a+b|≤|a|+|b|
|a-b|≤|a|+|b|
|a|≤b<=>-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b|
-|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解
-b+√(b2-4ac)/2a
-b-b+√(b2-4ac)/2a
根与系数的关系
X1+X2=-b/a
X1*X2=c/a
注:
韦达定理
判别式
b2-4a=0
注:
方程有相等的两实根
b2-4ac>0
注:
方程有一个实根
b2-4ac<0
注:
方程有共轭复数根
三角函数公式
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)
ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)
倍角公式
tan2A=2tanA/(1-tan2A)
ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
半角公式
sin(A/2)=√((1-cosA)/2)
sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2)
cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=√((1-cosA)/((