中考数学二轮复习重难题型突破类型三二次函数与图形面积问题.docx
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中考数学二轮复习重难题型突破类型三二次函数与图形面积问题
中考数学二轮复习重难题型突破类型三二次函数与图形面积问题
中考数学二轮复习重难题型突破类型三二次函数与图形面积问题
类型三二次函数与图形面积问题
例1、如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标;
（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积;
（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG 轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．
[解析]解：
（1）令，得 解得
令，得
∴A B C
（2）∵OA=OB=OC= ∴BAC=ACO=BCO=
∵AP∥CB， ∴PAB=
过点P作PE 轴于E，则APE为等腰直角三角形
令OE=，则PE= ∴P
∵点P在抛物线上∴
解得，（不合题意，舍去）
∴PE=
∴四边形ACBP的面积=AB•OC+AB•PE=
（3）．假设存在
∵PAB=BAC= ∴PAAC
∵MG 轴于点G， ∴MGA=PAC=
在Rt△AOC中，OA=OC= ∴AC=
在Rt△PAE中，AE=PE= ∴AP=
设M点的横坐标为，则M
①点M在轴左侧时，则
（ⅰ）当AMG PCA时，有=
∵AG=，MG=即 解得（舍去） （舍去）
（ⅱ）当MAG PCA时有=
即
解得：
（舍去）
∴M
②点M在轴右侧时，则
（ⅰ）当AMG PCA时有=
∵AG=，MG=
∴
解得（舍去）
∴M
（ⅱ）当MAG PCA时有=
即
解得：
（舍去）
∴M
∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似
M点的坐标为，，
例2、如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D．
（1）求b,c的值；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在
（2）的条件下：
①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形?
若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.
[解析]解：
（1）由已知得：
A（-1，0） B（4，5）
∵二次函数的图像经过点A（-1，0）B（4,5）
∴
解得：
b=-2 c=-3
（2）如２６题图：
∵直线AB经过点A（-1，0） B（4,5）
∴直线AB的解析式为：
y=x+1
∵二次函数
∴设点E（t，t+1）,则F（t，）
∴EF=
=
∴当时，EF的最大值=
∴点E的坐标为（，）
（3）①如２６题图：
顺次连接点E、B、F、D得四边形ＥＢＦＤ．
可求出点F的坐标（，）,点D的坐标为（1，-4）
S = S + S
=
=
②如２６题备用图：
ⅰ）过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P（m,）
则有：
解得:
∴,
ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于，设（n，）
则有：
解得：
，（与点F重合，舍去）
∴
综上所述：
所有点P的坐标：
， （. 能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．
例3、如图,已知二次函数的图象与轴交于A、B两点，与轴交于点P，顶点为C（1，－2）.
（1）求此函数的关系式；
（2）作点C关于轴的对称点D，顺次连接A、C、B、D.若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；
（3）在
（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？
若存在，求出点F的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由.
[解析]
（1）∵的顶点为C（1，－2），
∴，．
（2）设直线PE对应的函数关系式为
由题意，四边形ACBD是菱形.
故直线PE必过菱形ACBD的对称中心M．
由P（0，－1），M（1，0），得．从而，
设E（，），代入，得．
解之得，，根据题意，得点E（3，2）
（3）假设存在这样的点F，可设F（，）．
过点F作FG⊥轴，垂足为点G.
在Rt△POM和Rt△FGP中，∵∠OMP+∠OPM=90°，∠FPG+∠OPM=90°，
∴∠OMP=∠FPG，又∠POM=∠PGF，∴△POM∽△FGP.
∴．又OM=1，OP=1，∴GP=GF，即．
解得，，根据题意，得F（1，－2）．
故点F（1，－2）即为所求． ．
例4、如图，已知抛物线的顶点坐标为Q，且与轴交于点C，与轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥轴，交AC于点D．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；
（3）在问题
（2）的结论下，若点E在轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？
若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
[解析]解：
（1）∵抛物线的顶点为Q（2，－1）∴设
将C（0，3）代入上式，得
∴，即
（2）分两种情况：
①当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合（如图）
令=0, 得
解之得,
∵点A在点B的右边, ∴B（1,0）,A（3,0）∴P1（1,0）
②解:
当点A为△APD2的直角顶点是（如图）
∵OA=OC, ∠AOC=, ∴∠OAD2=
当∠D2AP2=时,∠OAP2=, ∴AO平分∠D2AP2
又∵P2D2∥轴, ∴P2D2⊥AO, ∴P2、D2关于轴对称
设直线AC的函数关系式为
将A（3,0）,C（0,3）代入上式得
, ∴∴
∵D2在上,P2在上,
∴设D2（,）,P2（,）∴（）+（）=0
, ∴, （舍）∴当=2时, ==－1∴P2的坐标为P2（2,－1）（即为抛物线顶点）
∴P点坐标为P1（1,0）, P2（2,－1）
（3）解:
由题
（2）知,当点P的坐标为P1（1,0）时,不能构成平行四边形
当点P的坐标为P2（2,－1）（即顶点Q）时,
平移直线AP（如图）交轴于点E,交抛物线于点F.
当AP=FE时,四边形PAFE是平行四边形
∵P（2,－1）, ∴可令F（,1）∴
解之得:
, ∴F点有两点,
即F1（,1）,F2（,1）
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