判定定理3:
三边对应成比例的两个三角形相似。
几何语言:
(如上图)在△ABC和△DEF中
如果
,那么△ABC∽△DEF
例1:
如图,
(1)若AE
________,则△ABC∽△AEF;
(2)若∠E=________,
AB
则△ABC∽△AEF。
直角三角形相似判定定理:
○1.有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
○2.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
3.补充:
直角三角形中的相似问题:
斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.
射影定理:
CD2=AD·BD,
AC2=AD·AB,
BC2=BD·BA
(在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用).
例:
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,
(1)
2
2
求证:
AC=AD·AB;BC=BD·BA;
(2)
2
求证:
CD=AD·AD;
(3)
求证:
AC·BC=AB·CD.
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4.相似图形中常见的基本图形:
5.相似三角形的性质①相似三角形对应角相等、对应边成比例.
②相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比(对应边的比).
③相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.④两个相似三角形的相似比等于面积比的算术平方根⑤任意两个相似多边形的周长比都等于相似比,面积比都等于相似比的平
方。
例1:
已知△ABC∽△DEF,BD和EG是它们的对应中线,,,求BD的长。
例2:
如果两个相似三角形的面积比为16:
25,那么这两个相似三角形对应边的比是_______。
例3:
如图,在△ABC中,点D、E分别是AB和AC上的点,DE//BC,AD=3BD,S⊿ABC=48
求S⊿ADE
相似的应用:
位似
(1)定义:
如果两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比。
需注意:
①位似是一种具有位置关系的相似,所以两个图形是位似图形,必定是相似图形,而相似图形不一定是位似图形。
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②两个位似图形的位似中心只有一个。
③两个位似图形可能位于位似中心的两侧,也可能位于位似中心的一侧。
④位似比就是相似比。
(2)性质:
①位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比(相似比)。
②位似图形上任意位似对应点和位似中心在同一条直线上。
③位似图形上的对应线段平行或在同一条直线上。
④位似图形是特殊的相似图形,所以它具有相似图形的一切性质。
画位似图形的一般步骤:
(1)确定位似中心(位似中心可能在图形内部也可能在图形外部也可能在图形上)
(2)确定原图形的关键点(通常是多边形的顶点)
(3)确定位似比
(4)根据位似比,找出新图形的关键点,最后将各点顺次连接。
坐标变换与图形的关系:
在直角坐标系中,将一个多边形每个顶点的横、纵坐标都乘以同一个数k(k≠0),所对应的图形与原图形位似,位似中心是坐标原点,他们的相似比为∣k∣。
例1:
下列说法中正确的有()
(1)位似多边形一定是相似多边形。
(2)相似多边形一定是位似多边形
(3)两个位似多边形每一对对应点到位似中心的距离之比为2︰3,则两个
多边形的面积之比为4︰9。
(4)两个位似多边形的对应边互相平行或在同一直线上。
例2:
若△ABC与△DEF关于点O位似,其位似比是1:
2,AO=5,则对应点A、D之间的距
离是。
例3:
在平面直角坐标系中,已知A(6,3)、B(6,0)两点,以坐标原点O为位似
11,
11,
。
中心,相似比为,把线段AB缩短后得到线段AB则AB的长度等于
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历年中考试题练习
一、选择题
1、如图1,已知AD与BC相交于点O,AB//CD,如果∠=4°,∠=°,则∠O的大小为()
.6°.7°.8°.°
C
D
A
O
D
E
A
B
B
图1
C
2、如图,已知D、E分别是
ABC的AB、AC边上的点,DEBC,且SADE
S四边形DBCE1
那么AE:
AC等于(
)
A.1:
9
B.1:
3
C.1:
8
D.1
:
3、如图,△DEF是由△ABC经过位似变换得到的,点
O是位似中心,
D,E,F分别
是OA,OB,OC的中点,则△DEF与△ABC的面积比是(
)
A.1:
6
B.1:
5
C.1:
4
D.1:
2
第3题图第4题图
4、如上图,直角梯形ABCD中,∠BCD=90°,AD∥BC,BC=CD,E为梯形内一点,且∠BEC
=90°,将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合,得到△DCF,连EF交CD于M.已知BC
=5,CF=3,则DM:
MC的值为()
A.5:
3B.3:
5C.4:
3D.3:
4
5、如图,在ABC中,D、E分别是AB、AC边的中点,若BC6,则DE等于()
A.5B.4
C.3D.2
A
DE
BC
第5题
6、已知△ABC∽△DEF,相似比为3,且△ABC的周长为18,则△DEF的周长为
()
A.2B.3C.6D.54
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7、如图,Rt△
中,
⊥
=3,
=4,
P
是
ABC
AB
ACAB
AC
D,设BP=x,则PD+PE=(
)
A.x
3
B.4
x
C.
7
D.
12x
5
5
2
5
边上一点,作
⊥
于E,⊥
于
BC
PEAB
PDAC
A
D
12x2
C
25
E
P
B
8、如图,在Rt△ABC内有边长分别为
a,b,c的三个正方形,则a,b,c满足的关系式是(
)
A、b
a
c
B、bac
C、b2
a2
c2
D、b2a2c
9、如图,△ABC是等边三角形,被一平行于
BC的矩形所截,AB被截成三等分,则图中阴影
部分的面积是△ABC的面积的
(
)
A
A.1
B.2
C.1
D.4
E
H
9
9
3
9
FG
BC
10、下列四个三角形,与左图中的三角形相似的是()
(第10题)
A.
B.
C.
D.
二、填空题
A
1、如图,D,E两点分别在△ABC的边AB,AC上,DE与BC
D
不平行,当满足
条件(写出一个即可)时,
△ADE∽△ACB.
E
2、如果两个相似三角形的相似比是
1:
3,那么这两个三角形面积的
C
比是
.
B
C
3、如图,在Rt△ABC中,∠C为直角,CD⊥AB于点D,
BC=3,AB=5,写出其中的一对相似三角形是
和
;
B
A
并写出它的面积比
.
D
第3题图
4、两个相似三角形的面积比S1:
S2与它们对应高之比h1:
h2之间的关系为.
5、如图4,已知AB⊥BD,ED⊥BD,C是线段BD的中点,且AC⊥CE,ED=1,BD=4,那么AB=
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第9题
9、如图,要测量A、B两点间距离,在O点打桩,取OA的中点C,OB的中点D,测得CD=30
米,则AB=______米.
11、在同一时刻,身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米,一棵大树的影长为4.8米,
则树的高度为______米.
三、解答题
1、如图,在△ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线CF交AD于F,
点E是AB的中点,连结EF.
(1)求证:
EF∥BC.
(2)若四边形BDFE的面积为6,求△ABD的面积.
2、如图,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG,AE与CG相交于点M,CG与AD相交于点N.
求证:
(1)
(2)
AECG;
ANDNCNMN.
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3、如图,四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形,点R为DE的中点,BR分
别交AC,CD于点P,Q.
(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外);AD
(2)求BP:
PQ:
QR.
O
R
P
B
C
E
4、如图,□ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,DE1CD。
2
⑴求证:
△ABF∽△CEB;
⑵若△DEF的面积为2,求□ABCD的面积。
E
AF
D
BC
5、如图所示,E是正方形ABCD的边AB上的动点,
EF⊥DE交BC于点F.
(1)求证:
∽
;
ADE
BEF
(2)设正方形的边长为
4,=
,=
y
.当
x
取什么值时,
y
有最大值?
并求出
AEx
BF
这个最大值.
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