立体几何中的向量方法83862.docx
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立体几何中的向量方法83862
立体几何中的向量方法
一、知识要点：
1•基本概念
!
（1）直线的方向向量：
如果表示非零向量a的有向线段所在直线与
!
直线I或，则称此向量a为直线I的方向向量・
确定方法：
在直线i上任取两点，这两点确定的向量即为直线i的方向向量.
（2）平面的法向量：
与平面的任何一个向量都可作为平面的法
向量.显然一个平面的法向量也不唯一.
确定方法：
平面的法向量可利用方程组求解，设：
b是平面a内两个不共线的向量，n为平面a的法向量，则求法向量的方程组为把,
=0
I
其中可设n=（X,y,z）
1955
即时应用：
设A（0,2,§）,B（1,-1,5）,C（-2,1,刁是平面a内的三点,设平
!
面a的法向量n=（x,y,z），则x:
y:
z=・
2•空间位置关系的向量表示
II
（1）直线l1,l2的方向向量分别为ni,n2，则
IIIIIIII
444^4^
①l1IIl2=ni“n2=ni=亦2;②|1Xl2=ni丄n2=ni•n2=0
（2）直线l的方向向量为n，平面a的法向量为m，贝S
①lIan丄m=n•m=0；②l丄anIm=n=7m
（3）
平面aB的法向量分别为n和m，则
m：
=n•m=0
【即时应用】
II
⑴若平面aB的法向量分别为a=（-1,2,4）,b=（x,-1,-2）,并且
a丄B，贝Sx的值为
（2）若直线M，l2的方向向量分别为a=（2,4,-4）,b=（-6,9,6）,
则直线l1,l2的位置关系是.
3•空间角的向量求法
（1）异面直线所成角的求法：
II
设a、b分别是两异面直线
（2）直线和平面所成角的求法
II
如图所示，设直线l的方向向量为e，平面a的法向量为n,
II
sin©=|cos0|=
|e||n|
直线l与平面a所成的角为©,两向量e与n的夹角为0，则有
⑶二面角的求法
1如图a,AB、CD是二面角a-I-B的两个半平面内与棱I垂直的直线，则二面角的大小0=.
2如图b、C,n1和n2分别是二面角a-I-B的两个半平面a,[3的法向量，则二面角的大小0满足COS0=COS<1,n2>或-COS<1,n2>・
【即时应用】
（1）已知向量m和n分别是直线I和平面a的方向向量和法向量,
1
若COS=-Q,则I与a所成角的大小为.
（2）长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=AAQ=2,AD=1,E为CCQ
的中点，则异面直线BCq与AE所成角的余弦值为
4.点到平面的距离的向量求法
!
如图，设AB为平面a的一条斜线段，n为平面a的法向量则点B到平面a的距离d=|^Bnl（即向量AB在向量n上的投
|n|
影长）・
【即时应用】
已知在长方体ABCD—A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方
形，高为4,则点Aq到截面ABQDQ的距离是,
、应用举例
1•利用空间向量证明平行和垂直
1）•用向量证平行的方法
（1）线线平行：
证明两直线的方向向量共线.
（2）线面平行:
①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直;
②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行
（3）面面平行:
①证明两平面的法向量为共线向量；
②转化为线面平行、线线平行问题
2）.用向量证明垂直的方法
（1）线线垂直：
证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.
（2）线面垂直：
证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.
（3）面面垂直：
证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.
II
【例1】
（1）若直线I的方向向量为a,平面a的法向量为n,能使
（2）如图所示，在四棱锥P-ABCD中,PC丄平面ABCD,PC=2,在四边形
ABCD中，/B=/C=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与
平面ABCD成30°的角・
1求证:
CM//平面PAD;
2求证:
平面PAB丄平面PAD.
2•用空间向量求空间的角
1）•异面直线所成角的求法
利用空间向量求异面直线所成的角可利用直线的方向向量转化成向量所成的角・
2）•利用向量求线面角的方法
（1）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两
个方向向量的夹角（或其补角）；
（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角・
3•求二面角的常用方法
（1）分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面
的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.
（2）分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个
向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小
【例2】如图，在五面体ABCDEF中，FA丄平
为EC的中点，
面ABCD,AD//BC//FE,AB丄AD,M
AF=AB=BC=FE=推・
（1）求异面直线BF与DE所成角的大小;
⑵证明：
平面AMD丄平面CDE;
（3）求二面角A-CD-E的余弦值・
3•求空间的距离
求平面a外一点P到平面a的距离的步骤
!
（1）求平面a的法向量n;
（2）在平面a内取一点A,确定向量AP的坐标；
（3）代入公式d=吐巳求解.
|n|
【例3]
（1）在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E为
BB1的中点，则点C1到平面A1ED的距离是・
（2）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.
①求点C1到平面AB1D1的距离；
②求平面CDD1C1与平面AB1D1所成的二面角的余弦值.
4•用空间向量解决探索性问题
探索性问题的类型及解题策略
探索性问题分为存在判断型和位置判断型两种：
（1）存在判断型
存在判断型问题的解题策略是：
先假设存在，并在假设的前提下进行推理，若不出现矛盾则肯定存在，若出现矛盾则否定假设.
（2）位置判断型
1与平行、垂直有关的探索性问题的解题策略为：
将空间中的
平行与垂直转化为向量的平行或垂直来解决・
2与角有关的探索性问题的解题策略为：
将空间角转化为与向
nnth
量有关的问题后应用公式cos9=^1n（其中n,n2是两平面的
|ni||n2|
法向量或两直线的方向向量）即可解决.
【例4】如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC,D为BC的中点，PO丄平面ABC,垂足0落在线段AD上，已知BC=8,PO=4,A0=3,0D=2・
（1）证明：
AP丄BC;
（2）
在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？
【例5】如图，四棱锥P-ABCD中，
PA丄底面ABCD.四边形ABCD中，AB丄AD,AB+AD=4,CD=2,
/CDA=45°・
（1）求证：
平面PAB丄平面PAD;
（2）设AB=AP.
①若直线PB与平面PCD所成的角为30°,求线段AB的长;
②在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P,B,C,D的
P
D
距离都相等？
说明理由・
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