10、如图，在平行四边形
中，
，
为垂足，如果
，那么
的度数是（）
A.
B.
C.
D.
11、如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，AD，则∠CAD的度数是.
二、平行四边形的判定
1、平行四边形的判定（包括边、角、对角线三方面）：
边：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
角：
④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线：
⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形.
2、三角形中位线：
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
3、三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.
4、平行线间的距离：
两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离。
两条平行线间的距离处处相等。
※典型例题：
考向3：
平行四边形的判定
1、如图，在平行四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上，分别取点K、L、M、N，使AK=CM、BL=DN，求证：
四边形KLMN是平行四边形．
2、如图,在□ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F是对角线AC上的两点,当E,F满足下列哪个条件时,四边形DEBF不一定是平行四边形（）
A.AE=CFB.DE=BFC.∠ADE=∠CBFD.∠AED=∠CFB
3、如图，在□ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知点E、F分别为AO、OC的中点，证明:
四边形BFDE是平行四边形．
考向4：
三角形中位线定理
4、如图，△ABC中∠ACB=90°，点D、E分别是AC，AB的中点，点F在BC的延长线上，且∠CDF=∠A. 求证：
四边形DECF是平行四边形.
思路点拨：
∵点D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线
∴DE//CB
∴∠ADE=∠ACB=90°
AD=CD，∠ADE=∠CDE=90°，
DE=DE，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠A=∠ECD，
∵∠CDF=∠A，
∴∠ECD=∠CDF，
∴EC//DF，
∴四边形DECF是平行四边形。
三、矩形的性质
1、矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2、矩形的性质：
①矩形具有平行四边形的所有性质；
②矩形的四个角都是直角；
③矩形的对角线相等；
④矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，有两条对称轴，对称中心是对角线的交点.
※典型例题：
考向5：
矩形的性质
1、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）
A.对角相等B.对边相等C.对角线相等D.对角线互相平分
2、如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K，分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1（ ）S2 （填“＞”或“=”或“＜”）.
思路点拨：
观察三角形面积.
3、如图,矩形ABCD中,AC与BD交于O点,BE⊥AC于E,CF⊥BD于F.求证:
BE=CF.
4、如图,在矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD,交BC于E，若
∠CAE=15°，求∠BOE的度数.
思路点拨：
∵AE平分∠BAD交BC于E，
∴∠BAE=45°，AB=BE，
∵∠CAE=15°，
∴∠BAO=∠BAE+∠CAE=60°，∠OCB=30°,
又∵OA=OB，
∴△BOA是等边三角形，
∴OA=OB=AB，
∵AB=BE
∴OB=BE，
∴△BOE是等腰三角形，且∠OBE=∠OCB=30°，
∴∠BOE=
（180°-30°）=75°．
四、矩形的判定
1、矩形的判定：
①有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②对角线相等的平行四边形是矩形；
③有三个角是直角的四边形是矩形.
2、证明一个四边形是矩形的步骤：
方法一：
先证明该四边形是平行四边形，再证一角为直角或对角线相等；
方法二：
若一个四边形中的直角较多，则可证三个角为直角.
3、直角三角形斜边中线定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
※典型例题：
考向6：
矩形的判定
1、如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形．
求证：
四边形ADCE是矩形.
思路点拨：
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BC，AB=DE，AE=BD
∵D为BC的中点，
∴CD=DB
∴CD∥AE，CD=AE
∴四边形ADCE是平行四边形
∵AB=AC，
∴AC=DE
∴平行四边形ADCE是矩形.
2、已知：
如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，点M、N分别为AD、BC的中点．
求证：
四边形BMDN是矩形．
思路点拨：
∵△ABD和△BCD是两个全等的正三角形，
∴AD=BD=AB=BC，∠ADB=∠DBC=60°，
∴MD∥BN．
又∵M为AD中点，
∴MD=
AD，MB⊥AD，
∴∠DMB=90°．
同理BN=
BC，
∴MD=BN，
∴四边形BMDN是平行四边形，
又∵∠DMB=90°，
∴平行四边形BMDN是矩形．即四边形BMDN是矩形．
3、已知：
如图，AB=AC，AE=AF，且∠EAB=∠FAC，EF=BC．求证：
四边形EBCF是矩形．
思路点拨：
∵AE=AF，∠EAB=∠FAC，AB=AC，
∴△A
EB≌△AFC，
∴EB=FC，∠ABE=∠ACF，
∵AB=AC，
∴∠A
BC=∠ACB，
∴∠EBC=∠FCB，
∵EB=FC，EF=BC，
∴四边形EBCF是平行四边形，
∴EB∥FC，
∴∠EBC+∠FCB=180°，
∴∠EBC=∠FCB=90°，
∴□EBCF是矩形.
考向7：
直角三角形斜边中线定理
4、如图，在平行四边形ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，且∠BED是直角．
求证：
平行四边形ABCD是矩形．
思路点拨：
连接EO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
在Rt△EBD中，
∵O为BD中点，
∴EO=
BD，
在Rt△AEC中，∵O为AC中点，
∴EO=
AC，
∴AC=BD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形．
5、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，求证：
MN⊥BD．
思路点拨：
∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，
∴BM=
AC，DM=
AC，
∴BM=DM，
∴△DBM是等腰三角形
∵N是BD的中点，
∴MN⊥BD
6、如图，已知BD、CE分别是△ABC的AC、BC边上的高，G、F分别是BC、DE的中点．求证：
GF⊥DE．
思路点拨：
如图，连接EG、FG，
∵BD、CE分别是△ABC的AC、BC边上的高，点G是BC的中点
∴DG=EG=
BC，
∴△EGD是等腰三角形
∵点F是DE的中点，
∴GF⊥DE．
五、菱形的性质
1、菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2、菱形的性质：
①菱形具有平行四边形的所有性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，有两条对称轴，对称中心是对角线交点.
3、菱形的面积公式：
菱形的两条对角线的长分别为
，则
※典型例题：
考向8：
菱形的性质
1、如图，已知菱形ABCD的边长为4cm，∠BAD=120°，对角线AC、BD相交于点O，试求这个菱形的两条对角线AC与BD的长．
思路点拨：
（1）在菱形ABCD中，∠BAO=
∠BAD=
×120°=60°
又在△ABC中，AB=BC，
∴∠BCA=∠BAC=60°，
∠ABC=180°-∠BCA-∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形
∴AC=AB=4cm．
（2）在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∴△AOB为直角三角形，
∴OB=
＝
＝
∴BD=2BO=
考向9：
菱形的面积公式
1、菱形ABCD的对角线交于O点，AC=16cm，BD=12cm．求菱形ABCD的高．
思路点拨：
作DE⊥AB于E．
∵ABCD是菱形，AC=16，BD=12，
∴AC⊥BD，OB=6，OA=8．
∴AB=10．
∵面积S=
AC•BD=AB•DE，
∴
×16×12=10×DE，
∴DE=9.6（cm）．
即菱形ABCD的高为9.6cm．
2、如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．
（1）求证：
BE=BF；
（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．
思路点拨：
（1）证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB，∠A=∠C，
∵BE⊥AD、BF⊥CD，
∴∠AEB=∠CFB=90°，
在△ABE和△CBF中，
∠A=∠C
AB=CB
∠AEB=∠CFB=90°
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴BE=BF．
（2）如图
∵对角线AC=8，BD=6，
∴对角线的一半分别为4、3，
∴菱形的边长为
=5，
菱形的面积=5BE=
AC·BD=
×8×6，
解得BE=
六、菱形的判定
1、菱形的判定：
①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
③四条边都相等的四边形是菱形.
2、证明一个四边形是菱形的步骤：
方法一：
先证明它是一个平行四边形，然后证明“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”；
方法二：
直接证明“四条边相等”.
※典型例题：
考向10：
菱形的判定
1、如图所示，已知□ABCD，AC，BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________．（只写出符合要求的一个即可）
2、如图所示，已知△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，再过E，F作EG⊥AC，FH⊥AB，垂足分别为G，H，且EG，FH相交于点K，试说明EF和DK之间的关系．
思路点拨：
EF与DK互相垂直平分,证明四边形DEKF是菱形.
3、已知：
如图，在□ABCD中，O为AC的中点，过点O作AC的垂线，与AD、BC相交于点E、F，求证：
四边形AFCE是菱形．
思路点拨：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
七、正方形的性质
1、正方形的定义：
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
2、正方形的性质：
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质，即①正方形的四条边都相等；②四个角都是直角；③对角线互相垂直平分且相等，并且每条对角线平分一组对角.
3、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有四条对称轴，对角线的交点是对称中心.
※典型例题：
考向11：
正方形的性质
1、下列性质中，平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ A ）
A．对角线互相平分B．对角线互相垂直
C．对角线相等D．对角线互相垂直且相等
2、如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有（ A ）
A、1个B、2个C、3个D、4个
思路点拨：
错误的结论是：
③AO=OE，若其成立必有AF=EF，而AF=DE3、如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（ A ）
A.
B.
C.
D.
思路点拨：
连接BP，过C作CM⊥BD，
∵S△BCE=S△BPE+S△BPC
=BC×PQ×
+BE×PR×
=BC×（PQ+PR）×
=BE×CM×
，BC=BE，
∴PQ+PR=CM，
∵BE=BC=1且正方形对角线BD=
=
，
又BC=CD，CM⊥BD，
∴M为BD中点，又△BDC为直角三角形，
∴CM=
BD=
，
即PQ+PR值是
，故选A．
八、正方形的判定
1、正方形的判定：
①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；
②有一组邻边相等的矩形是正方形；
③对角线互相垂直的矩形是正方形；
④有一个角是直角的菱形是正方形；
⑤对角线相等的菱形是正方形；
⑥对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
※典型例题：
考向12：
正方形的判定
1、四边形ABCD的对角线AC=BD，AC⊥BD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线，所成的四边形EFMN是（ A ）
A．正方形B．菱形C．矩形D．任意四边形
2、下列命题中是假命题的是（ B ）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
C．一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
3、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（ D ）
A．BC=ACB．CF⊥BFC．BD=DFD．AC=BF
4、如图：
在菱形ABCD中，E、F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE．
求证：
（1）△ABF≌△DCE；
（2）四边形ABCD是正方形．
思路点拨：
（1）∵BE=CF，
∴BF=CE，
又∵AF=DE，AB=DC，
∴△ABF≌△DCE．
（2）由△ABF≌△DCE得∠B=∠C，
由AB∥CD得∠B+∠C=180°，
得∠B=∠C=90°，
四边形ABCD是正方形．
5、已知：
如图，▱ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．
（1）求证：
△AOD≌△EOC；
（2）连接AC，DE，当∠B=∠AEB=°时，四边形ACED是正方形？
请说明理由．
思路点拨：
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠D=∠OCE，∠DAO=∠E．
∵O是CD的中点，
∴OC=OD，
在△ADO和△ECO中，
∠D＝∠OCE
∠DAO＝∠CEO
DO＝CO，
∴△AOD≌△EOC（AAS）；
（2）当∠B=∠AEB=45°时，四边形ACED是正方形．
∵△AOD≌△EOC，
∴OA=OE．
又∵OC=OD，
∴四边形ACED是平行四边形．
∵∠B=∠AEB=45°，
∴AB=AE，∠BAE=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∴∠COE=∠BAE=90°．
∴□ACED是菱形．
∵AB=AE，AB=CD，
∴AE=CD．
∴菱形ACED是正方形．
6、如图，四边形ABCD为矩形，四边形AEDF为菱形．
（1）求证：
△ABE≌△DCE；
（2）试探究：
当矩形ABCD边长满足什么关系时，菱形AEDF为正方形？
请说明理由．
思路点拨：
（1）证明：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=∠C=90°，AB=DC，
∵四边形AEDF为菱形，
∴AE=DE，
在Rt△ABE和Rt△DCE中，
AB＝DC，AE＝DE
∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL）；
（2）当BC=2AB时，菱形AEDF为正方形．
理由：
∵Rt△ABE≌Rt△DCE，
∴BE=CE，∠AEB=∠DEC，
又∵BC=2AB，
∴AB=BE，
∴∠BAE=∠AEB=45°，
同理可得，∠DEC=45°，
∵∠AEB+∠AED+∠DEC=180°，
∴∠AED=180°-∠AEB-∠DEC=90°，
∴菱形AEDF是正方形．
九、梯形
1、梯形的定义：
一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形.
2、等腰梯形的定义：
两腰相等的梯形叫做等腰梯形.
3、直角梯形的定义：
有一个角是直角的梯形叫做直角梯形.
4、等腰梯形的性质：
（包括角、边、对角线三方面）
角：
①等腰梯形同一底边上的两个角相等；
边：
②等腰梯形的两腰相等；
对角线：
③等腰梯形的两条对角线相等.
5、等腰梯形是轴对称图形，对称轴是过两底中点的直线.
6、梯形的面积公式：
梯形的上底长为
，下底长为
，高为
，则
7、等腰梯形的判定：
①两腰相等的梯形是等腰梯形；
②同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形；
③对角线相等的梯形是等腰梯形.
8、梯形的中位线定义：
连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.
9、梯形中位线的性质：
梯形的中位线平行于上下底且等于上下底和的一半.
※典型例题：
考向13：
等腰梯形的性质
1、下列说法中正确的是（ B ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
C．有一组对边相等的四边形是平行四边形
D．等腰梯形的对角线互相平分
2、顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是（ B ）
A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形
3、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，BC=8，∠BAD的平分线交BD于点E，且AE∥CD，则梯形ABCD的周长为（ A ）
A．21B．18C．
D．10
思路点拨：
延长AE交BC于F，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAF=∠DAF，
∵AD∥CB，
∴∠DAF=∠AFB，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，
∵AB=5，BC=8，
∴CF=8-5=3，
∵AD∥BC，AE∥CD，
∴四边形AFCD是平行四边形，
∴AD=CF=3．
∴梯形ABCD的周长=3+5+5+8=21．
故选A．
4、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，线段AG，BG分别交CD于点E，F，DE=CF．求证：
△GAB是等腰三角形．
考向14：
等腰梯形的判定
5、在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（ C ）
A．∠BDC=∠BCDB．∠ABC=∠DAB
C．∠ADB=∠DACD．∠AOB=∠BOC
思路点拨：
∵∠ADB=∠DAC，AD∥BC，
∴∠ADB=∠DAC=∠DBC=∠ACB，
∴OA=OD，OB=OC，
∴AC=BD，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是等腰梯形，故C选项正确.
6、下列说法错误的是（ C ）
A．矩形的对角线相等
B．四条边相等的四边形是正方形
C．同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
D．菱形的对角线互相垂直
7、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，∠DEC=∠C，求证：
梯形ABCD是等腰梯形．
思路点拨：
∵AB∥DE，
∴∠DEC=∠B，
∵∠DEC=∠C，
∴∠B=∠C，
∴梯形ABCD是等腰梯形．
8、如图：
已知，四边形ABCD是平行四边形，AE∥BD，交CD的延长线于点E，EF⊥BC交BC延长线于点F，求证：
四边形ABFD是等腰梯形．
思路点拨：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC；AB∥CD，AB=CD，
∴AB∥DE；
又∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形．
∴AB=DE．
∴CD=DE．
∵EF⊥BC，
∴DF=CD=DE．
∴AB=DF．
∵CD、DF交于点D，
∴线段AB与线段DF不平行．
∴四边形ABFD是等腰梯形．
考向15：
梯形的中位线
9、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD的中点且EF=6，则AD+BC的值是（ C ）
A．9B．10.5C．12D．15
10、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，两条对角线AC与BD互相垂直，中位线EF的长度为10，则梯形ABCD的面积为（ C ）
A．200B．20C．100D．50
思路点拨：
∵梯形ABCD的中位线EF的长度为10，
∴AD+BC=2EF=20，
过点D作DM∥AC交BC延长线于点M，
作DN⊥BC于点N，则AD=CM，
∵AC⊥BD，
∴△BDM是等腰直角三角形，
∴DN=
（BC+CM）=EF=10，
又∵EF是梯形的中位线，
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