山东莱芜中考数学.docx
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山东莱芜中考数学
2015年山东莱芜中考数学
一、选择题（共12小题；共60分）
1.的相反数是（）
A.B.C.D.
2.将数字化为小数是（）
A.B.C.D.
3.下列运算正确的是（）
A.B.
C.D.
4.要使二次根式有意义，则的取值范围是（）
A.B.C.D.
5.如图，，平分，若，那么的度数为
A.B.C.D.
6.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）
A.
B.
C.
D.
7.为了解当地气温变化情况，某研究小组记录了寒假期间连续天的最高气温，结果如下（单位：
）：
，，，，，．若这组数据的中位数是，则下列结论错误的是（）
A.方差是B.极差是C.众数是D.平均数是
8.下列几何体中，主视图和左视图都为矩形的是（）
A.
B.
C.
D.
9.一个多边形除一个内角外其余内角的和为，则这个多边形对角线的条数是（）
A.B.C.D.
10.甲乙两人同时从地出发到地，如果甲的速度保持不变，而乙先用的速度到达中点，再用的速度到达地，则下列结论中正确的是（）
A.甲乙同时到达地B.甲先到达地
C.乙先到达地D.谁先到达地与速度有关
11.如图，在矩形中，，，矩形边上一动点沿的路径移动．设点经过的路径长为，，则下列能大致反映与的函数关系的图象是
A.
B.
C.
D.
12.如图，在直角梯形中，，，以为直径的与相切，点为的中点，下列结论正确的个数是
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
A.B.C.D.
二、填空题（共5小题；共25分）
13.计算：
．
14.已知，，则．
15.不等式组的解集为．
16.如图，在扇形中，，扇形半径为，点在上，，垂足为，当的面积最大时，的长为．
17.如图，反比例函数（）的图象经过点，过点作轴，垂足为，在轴的正半轴上取一点，过点作直线的垂线．若点关于直线的对称点在此反比例函数的图象上，则．
三、解答题（共7小题；共91分）
18.先化简，再求值：
，其中．
19.为了解今年初四学生的数学学习情况，某校在第一轮模拟测试后，对初四全体同学的数学成绩作了统计分析，绘制如下图表：
请结合图表所给出的信息解答系列问题：
（1）该校初四学生共有多少人？
（2）求表中，，的值，并补全条形统计图．
（3）初四
（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
20.为保护渔民的生命财产安全，我国政府在南海海域新建了一批观测点和避风港．某日在观测点处发现在其北偏西的处有一艘渔船正在作业，同时检测到在渔船的正西处有一股强台风正以每小时海里的速度向正东方向移动，于是马上通知渔船到位于其正东方向的避风港处进行躲避．已知避风港在观测点的正北方向，台风中心在观测点的北偏西的方向，渔船与观测点相距海里，台风中心的影响半径为海里，渔船的速度为每小时海里，问渔船能否顺利躲避本次台风的影响？
（，，，）
21.如图，是等腰直角三角形，，分别以，为直角边向外作等腰直角和等腰直角，为的中点，连接，，，与交于点．
（1）判断四边形的形状，并说明理由．
（2）求证：
，．
22.今年我市某公司分两次采购了一批大蒜，第一次花费万元，第二次花费万元．已知第一次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格上涨了元，第二次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格下降了元，第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍．
（1）试问去年每吨大蒜的平均价格是多少元？
（2）该公司可将大蒜加工成蒜粉或蒜片，若单独加工成蒜粉，每天可加工吨大蒜，每吨大蒜获利元；若单独加工成蒜片，每天可加工吨大蒜，每吨大蒜获利元．由于出口需要，所有采购的大蒜必需在天内加工完毕，且加工蒜粉的大蒜数量不少于加工蒜片的大蒜数量的一半，为获得最大利润，应将多少吨大蒜加工成蒜粉？
最大利润为多少？
23.如图，已知是的直径，是上任一点（不与，重合），于，为的切线，，连接，，与交于点，与交于点，连接．
（1）求证：
是的切线；
（2）求证：
；
（3）若，的半径为，求的长．
24.如图，已知抛物线（）经过点，，其对称轴为直线，为轴上一点，直线与抛物线交于另一点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）试在线段下方的抛物线上求一点，使得的面积最大，并求出最大面积；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是直角三角形？
如果存在，求点的坐标；如果不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1.A2.C3.D4.B5.C
6.D7.A8.B9.C10.B
11.D12.D
第二部分
13.
14.
15.
16.
17.
第三部分
18.
（1）
当时，．
19.
（1）由题意可得：
该校初四学生共有（人），
答：
该校初四学生共有人．
19.
（2）由
（1）得（人），
，
；
如图所示
19.（3）画树形图得：
一共有种情况，抽取到甲和乙的有种，
．
20.
（1）由题意可知，，海里．
在中，
，，海里，
海里，
海里．
渔船到达避风港处所用时间小时．
在中，
，，
海里，
海里．
设强台风移动到渔船后面海里时所需时间为小时．
根据题意得，
解得，
，
渔船能顺利躲避本次台风的影响．
21.
（1）是等腰直角三角形，，
，．
和均为等腰直角三角形，
，，
．
为的中点，
，
四边形为平行四边形．
21.
（2），
，
．
在与中，
，
，，
，
，即．
22.
（1）设去年每吨大蒜的平均价格是元．由题意得
解得
经检验：
是原分式方程的解，且符合题意，
答：
去年每吨大蒜的平均价格是元．
22.
（2）由
（1）得，今年的大蒜数为（吨），
设应将吨大蒜加工成蒜粉，则应将吨加工成蒜片．
由题意得
解得
总利润为
当时，利润最大，为元．
答：
应将吨大蒜加工成蒜粉，最大利润为元．
23.
（1），
，．
，
，
．
在和中，
，
．
点在上，
是的切线．
23.
（2）如下图：
延长，交点为．
由
（1）可知，
，．
，
，．
．
．
．
，
，．
，．
．
，
．
23.（3）如下图所示：
，
，．
在中，．
在中，．
，
．
，
，即．
．
．
在中，．
是的切线，为弦，
．
，
．
，即．
．
24.
（1）根据题意得
解得
所以抛物线解析式为．
24.
（2）作轴交于，如图，
设直线的解析式为，
把，分别代入得
解得
所以直线的解析式为．
解方程组
得
则．
设（），
则，
，
当时，的面积最大，最大面积为，此时点坐标为．
24.（3）存在．
设，如图，
，，
，
，
，
当，是直角三角形，
则，
解得，
此时点坐标为；
当，是直角三角形，
则，
解得，
此时点坐标为；
当，是直角三角形，
则，
解得，
此时点坐标为或，
综上所述，点的坐标为或或或．
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