第一章 第一章 集合与逻辑语言 步步高一轮复习专用.docx
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第一章第一章集合与逻辑语言步步高一轮复习专用
1.全称量词与存在量词
(1)常见的全称量词有“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等.
(2)常见的存在量词有“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等.
2.全称命题与特称命题
(1)含有全称量词的命题叫全称命题.
(2)含有存在量词的命题叫特称命题.
3.命题的否定
(1)全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题.
(2)p或q的否定:
非p且非q;p且q的否定:
非p或非q.
4.简单的逻辑联结词
(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词.
(2)简单复合命题的真值表:
p
q
綈p
綈q
p或q
p且q
真
真
假
假
真
真
真
假
假
真
真
假
假
真
真
假
真
假
假
假
真
真
假
假
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)命题p且q为假命题,则命题p、q都是假命题.( × )
(2)命题p和綈p不可能都是真命题.( √ )
(3)若命题p、q至少有一个是真命题,则p或q是真命题.( √ )
(4)全称命题一定含有全称量词,特称命题一定含有存在量词.( × )
(5)写特称命题的否定时,存在量词变为全称量词.( √ )
(6)存在x0∈M,p(x0)与任意x∈M,綈p(x)的真假性相反.( √ )
1.设a,b,c是非零向量.已知命题p:
若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:
若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是( )
A.p或qB.p且q
C.(綈p)且(綈q)D.p或(綈q)
答案 A
解析 由题意知命题p为假命题,命题q为真命题,所以p或q为真命题.故选A.
2.命题p:
任意x∈R,sinx<1;命题q:
存在x∈R,cosx≤-1,则下列结论是真命题的是( )
A.p且qB.綈p且q
C.p或綈qD.綈p且綈q
答案 B
解析 ∵p是假命题,q是真命题,
∴綈p且q是真命题.
3.(2015·浙江)命题“任意n∈N+,f(n)∈N+且f(n)≤n”的否定形式是( )
A.任意n∈N+,f(n)∉N+且f(n)>n
B.任意n∈N+,f(n)∉N+或f(n)>n
C.存在n0∈N+,f(n0)∉N+且f(n0)>n0
D.存在n0∈N+,f(n0)∉N+或f(n0)>n0
答案 D
解析 写全称命题的否定时,要把量词,任意改为存在,并且否定结论,注意把“且”改为“或”.故选D.
4.(2015·山东)若“任意x∈
,tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为________.
答案 1
解析 ∵函数y=tanx在
上是增函数,∴ymax=tan
=1.依题意,m≥ymax,即m≥1.∴m的最小值为1.
5.(教材改编)给出下列命题:
①任意x∈N,x3>x2;
②所有可以被5整除的整数,末位数字都是0;
③存在x0∈R,x
-x0+1≤0;
④存在一个四边形,它的对角线互相垂直.
则以上命题的否定中,真命题的序号为________.
答案 ①②③
题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
例1
(1)已知命题p:
m,n为直线,α为平面,若m∥n,nα,则m∥α,命题q:
若a>b,则ac>bc,则下列命题为真命题的是( )
A.p或qB.綈p或q
C.綈p且qD.p且q
(2)已知命题p:
若x>y,则-x<-y;命题q:
若x>y,则x2>y2.在命题①p且q;②p或q;③p且(綈q);④(綈p)或q中,真命题是( )
A.①③B.①④
C.②③D.②④
答案
(1)B
(2)C
解析
(1)命题q:
若a>b,则ac>bc为假命题,命题p:
m,n为直线,α为平面,若m∥n,nα,则m∥α也为假命题,因此只有“綈p或q”为真命题.
(2)当x>y时,-x<-y,故命题p为真命题,从而綈p为假命题.
当x>y时,x2>y2不一定成立,故命题q为假命题,从而綈q为真命题.
由真值表知:
①p且q为假命题;②p或q为真命题;③p且(綈q)为真命题;④(綈p)或q为假命题.故选C.
思维升华 “p或q”“p且q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤:
(1)确定命题的构成形式;
(2)判断其中命题p、q的真假;
(3)确定“p且q”“p或q”“綈p”等形式命题的真假.
(1)已知命题p:
对任意x∈R,总有2x>0;q:
“x>1”是“x>2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( )
A.p且qB.(綈p)且(綈q)
C.(綈p)且qD.p且(綈q)
(2)若命题p:
关于x的不等式ax+b>0的解集是{x|x>-
},命题q:
关于x的不等式(x-a)(x-b)<0的解集是{x|a答案
(1)D
(2)綈p、綈q
解析
(1)p为真命题,q为假命题,故綈p为假命题,綈q为真命题.从而p且q为假,(綈p)且(綈q)为假,(綈p)且q为假,p且(綈q)为真,故选D.
(2)依题意可知命题p和q都是假命题,所以“p且q”为假、“p或q”为假,“綈p”为真、“綈q”为真.
题型二 含有一个量词的命题
命题点1 全称命题、特称命题的真假
例2
(1)下列命题中,为真命题的是( )
A.任意x∈R,x2>0B.任意x∈R,-1C.存在x0∈R,
<0D.存在x0∈R,tanx0=2
(2)下列四个命题
p1:
存在x0∈(0,+∞),
;
p2:
存在x0∈(0,1),
>
;
p3:
任意x∈(0,+∞),
x>
;
p4:
任意x∈
,
x<
.
其中真命题是( )
A.p1,p3B.p1,p4
C.p2,p3D.p2,p4
答案
(1)D
(2)D
解析
(1)任意x∈R,x2≥0,故A错;任意x∈R,-1≤sinx≤1,故B错;任意x∈R,2x>0,故C错,故选D.
(2)根据幂函数的性质,对任意x∈(0,+∞),
x>
x,故命题p1是假命题;由于
-
=
-
=
,故对任意x∈(0,1),
>
,所以存在x0∈(0,1),
>
,命题p2是真命题;当x∈
时,0<
x<1,
>1,故
x>
不成立,命题p3是假命题;任意x∈
,0<
x<1,
>1,故
x<
,命题p4是真命题.
故p2,p4为真命题.
命题点2 含一个量词的命题的否定
例3
(1)命题“存在实数x,使x>1”的否定是( )
A.对任意实数x,都有x>1
B.不存在实数x,使x≤1
C.对任意实数x,都有x≤1
D.存在实数x,使x≤1
(2)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:
任意x∈A,2x∈B,则綈p为:
______________.
答案
(1)C
(2)存在x0∈A,2x0∉B
解析
(1)利用特称命题的否定是全称命题求解,“存在实数x,使x>1”的否定是“对任意实数x,都有x≤1”.故选C.
(2)命题p:
任意x∈A,2x∈B是一个全称命题,其命题的否定应为特称命题.
∴綈p:
存在x0∈A,2x0∉B.
思维升华
(1)判定全称命题“任意x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内至少找到一个x=x0,使p(x0)成立.
(2)对全(特)称命题进行否定的方法
①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词.
②对原命题的结论进行否定.
(1)下列命题中的真命题是( )
A.存在x∈R,使得sinx+cosx=
B.任意x∈(0,+∞),ex>x+1
C.存在x∈(-∞,0),2x<3x
D.任意x∈(0,π),sinx>cosx
(2)(2015·课标全国Ⅰ)设命题p:
存在n∈N,n2>2n,则綈p为( )
A.任意n∈N,n2>2nB.存在n∈N,n2≤2n
C.任意n∈N,n2≤2nD.存在n∈N,n2=2n
答案
(1)B
(2)C
解析
(1)因为sinx+cosx=
sin(x+
)≤
<
,故A错误;当x<0时,y=2x的图像在y=3x的图像上方,故C错误;因为x∈(0,
)时有sinx(2)将命题p的量词“存在”改为“任意”,“n2>2n”改为“n2≤2n”.
题型三 由命题的真假求参数的取值范围
例4 已知p:
存在x∈R,mx2+1≤0,q:
任意x∈R,x2+mx+1>0,若p或q为假命题,则实数m的取值范围为( )
A.m≥2B.m≤-2
C.m≤-2或m≥2D.-2≤m≤2
答案 A
解析 依题意知p,q均为假命题,当p是假命题时,mx2+1>0恒成立,则有m≥0;
当q是真命题时,则有Δ=m2-4<0,-2因此由p,q均为假命题得
即m≥2.
引申探究
1.本例条件不变,若p且q为真,则实数m的取值范围为________.
答案 (-2,0)
解析 依题意,当p是真命题时,有m<0;
当q是真命题时,有-2由
可得-22.本例条件不变,若p且q为假,p或q为真,则实数m的取值范围为________________.
答案 (-∞,-2]∪[0,2)
解析 若p且q为假,p或q为真,则p、q一真一假.
当p真q假时
∴m≤-2;
当p假q真时
∴0≤m<2.
∴m的取值范围是(-∞,-2]∪[0,2).
3.本例中的条件q变为:
存在x∈R,x2+mx+1<0,其他不变,则实数m的取值范围为________.
答案 [0,2]
解析 依题意,当q是真命题时,Δ=m2-4>0,
∴m>2或m<-2.
由
得0≤m≤2,
∴m的取值范围是[0,2].
思维升华 根据命题真假求参数的方法步骤
(1)先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况);
(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围;
(3)最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.
(1)已知命题p:
“任意x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:
“存在x∈R,使x2+2ax+2-a=0”,若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围是( )
A.{a|a≤-2或a=1}
B.{a|a≥1}
C.{a|a≤-2或1≤a≤2}
D.{a|-2≤a≤1}
(2)命题“存在x∈R,2x2-3ax+9<0”为假命题,则实数a的取值范围为________.
答案
(1)A
(2)[-2
,2
]
解析
(1)∵“p且q”为真命题,∴p、q均为真命题,
∴p:
a≤1,q:
a≤-2或a≥1,
∴a≤-2或a=1.
(2)因题中的命题为假命题,则它的否定“任意x∈R,2x2-3ax+9≥0”为真命题,也就是常见的“恒成立”问题,因此只需Δ=9a2-4×2×9≤0,即-2
≤a≤2
.
1.常用逻辑用语及其应用
一、命题的真假判断
典例 已知命题p:
存在x∈R,x2+1<2x;命题q:
若mx2-mx-1<0恒成立,则-4A.“綈p”是假命题
B.q是真命题
C.“p或q”为假命题
D.“p且q”为真命题
解析 由于x2-2x+1=(x-1)2≥0,
即x2+1≥2x,所以p为假命题;
对于命题q,当m=0时,有-1<0,恒成立,
所以命题q为假命题.
综上可知:
綈p为真命题,
p且q为假命题,p或q为假命题,故选C.
答案 C
温馨提醒 判断与一元二次不等式有关命题的真假,首先要分清是要求解一元二次不等式,还是要求一元二次不等式恒成立(有解、无解),然后再利用逻辑用语进行判断.
二、求参数的取值范围
典例 已知命题p:
“任意x∈[0,1],a≥ex”;命题q:
“存在x∈R,使得x2+4x+a=0”.若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围是________.
解析 若命题“p且q”是真命题,那么命题p,q都是真命题.由任意x∈[0,1],a≥ex,得a≥e;由存在x∈R,使x2+4x+a=0,知Δ=16-4a≥0,a≤4,因此e≤a≤4.
答案 [e,4]
温馨提醒 含逻辑联结词的命题的真假要转化为简单命题的真假,解题时要首先考虑简单命题为真时参数的范围.
三、利用逻辑推理解决实际问题
典例
(1)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,
甲说:
我去过的城市比乙多,但没去过B城市;
乙说:
我没去过C城市;
丙说:
我们三人去过同一城市.
由此可判断乙去过的城市为________.
(2)对于中国足球参与的某次大型赛事,有三名观众对结果作如下猜测:
甲:
中国非第一名,也非第二名;
乙:
中国非第一名,而是第三名;
丙:
中国非第三名,而是第一名.
竞赛结束后发现,一人全猜对,一人猜对一半,一人全猜错,则中国足球队得了第________名.
解析
(1)由题意可推断:
甲没去过B城市,但比乙去的城市多,而丙说“三人去过同一城市”,说明甲去过A,C城市,而乙“没去过C城市”,说明乙去过城市A,由此可知,乙去过的城市为A.
(2)由上可知:
甲、乙、丙均为“p且q”形式,所以猜对一半者也说了错误“命题”,即只有一个为真,所以可知丙是真命题,因此中国足球队得了第一名.
答案
(1)A
(2)一
温馨提醒 在一些逻辑问题中,当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时,应从语句的陈述中搞清含义,并根据题目进行逻辑分析,找出各个命题之间的内在联系,从而解决问题.
[方法与技巧]
1.把握含逻辑联结词的命题的形式,特别是字面上未出现“或”、“且”时,要结合语句的含义理解.
2.要写一个命题的否定,需先分清其是全称命题还是特称命题,再对照否定结构去写,并注意与否命题区别;否定的规律是“改量词,否结论”.
[失误与防范]
1.p或q为真命题,只需p、q有一个为真即可;p且q为真命题,必须p、q同时为真.
2.两种形式命题的否定
p或q的否定:
非p且非q;p且q的否定:
非p或非q.
3.命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p,则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题,它既否定其条件,又否定其结论;“命题的否定”即“非p”,只是否定命题p的结论.
A组 专项基础训练
(时间:
30分钟)
1.已知命题p:
所有有理数都是实数;命题q:
正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是( )
A.綈p或qB.p且q
C.綈p且綈qD.綈p或綈q
答案 D
解析 不难判断命题p为真命题,命题q为假命题,从而上述叙述中只有綈p或綈q为真命题.
2.已知命题p,q,“綈p为真”是“p且q为假”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由“綈p为真”可得p为假,故p且q为假;反之不成立.
3.下列命题中的假命题是( )
A.存在x∈R,sinx=
B.存在x∈R,log2x=1
C.任意x∈R,(
)x>0D.任意x∈R,x2≥0
答案 A
解析 因为任意x∈R,sinx≤1<
,所以A是假命题;对于B,存在x=2,log2x=1;对于C,根据指数函数图像可知,任意x∈R,(
)x>0;对于D,根据二次函数图像可知,任意x∈R,x2≥0.
4.下列命题中的假命题是( )
A.任意x∈R,2x-1>0
B.任意x∈N+,(x-1)2>0
C.存在x0∈R,lgx0<1
D.存在x0∈R,tan
=5
答案 B
解析 A项,∵x∈R,∴x-1∈R,由指数函数性质得2x-1>0;B项,∵x∈N+,∴当x=1时,(x-1)2=0与(x-1)2>0矛盾;C项,当x0=
时,lg
=-1<1;D项,当x∈R时,tanx∈R,∴存在x0∈R,tan
=5.
5.已知命题p:
若a>1,则ax>logax恒成立;命题q:
在等差数列{an}中,m+n=p+q是an+am=ap+aq的充分不必要条件(m,n,p,q∈N+).则下面选项中真命题是( )
A.(綈p)且(綈q)B.(綈p)或(綈q)
C.p或(綈q)D.p且q
答案 B
解析 当a=1.1,x=2时,
ax=1.12=1.21,logax=log1.12>log1.11.21=2,
此时,ax命题q,由等差数列的性质,
当m+n=p+q时,an+am=ap+aq成立,
当公差d=0时,由am+an=ap+aq不能推出m+n=p+q成立,故q是真命题.
故綈p是真命题,綈q是假命题,
所以p且q为假命题,p或(綈q)为假命题,(綈p)且(綈q)为假命题,(綈p)或(綈q)为真命题.
6.已知命题“存在x∈R,使2x2+(a-1)x+
≤0”是假命题,则实数a的取值范围是( )
A.(-1,3)B.(2,3)
C.[-1,3)D.(-1,3]
答案 A
解析 原命题的否定为任意x∈R,2x2+(a-1)x+
>0,由题意知,其为真命题,
则Δ=(a-1)2-4×2×
<0,
则-27.已知命题p:
所有指数函数都是单调函数,则綈p为( )
A.所有的指数函数都不是单调函数
B.所有的单调函数都不是指数函数
C.存在一个指数函数,它不是单调函数
D.存在一个单调函数,它不是指数函数
答案 C
解析 命题p:
所有指数函数都是单调函数,则綈p:
存在一个指数函数,它不是单调函数.
8.已知命题p:
存在x0∈R,ex0-mx0=0,q:
任意x∈R,x2+mx+1≥0,若p或(綈q)为假命题,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,0)∪(2,+∞)B.[0,2]
C.RD.∅
答案 B
解析 若p或(綈q)为假命题,则p假q真.命题p为假命题时,有0≤m9.命题“存在x∈R,使得x2+2x+5=0”的否定是________________.
答案 任意x∈R,x2+2x+5≠0
解析 否定为全称命题:
“任意x∈R,x2+2x+5≠0”.
10.若命题“存在x0∈R,x
+(a-1)x0+1<0”是真命题,则实数a的取值范围是________________.
答案 (-∞,-1)∪(3,+∞)
解析 因为命题“存在x0∈R,x
+(a-1)x0+1<0”等价于x
+(a-1)x0+1=0有两个不等的实根,所以Δ=(a-1)2-4>0,即a2-2a-3>0,解得a<-1或a>3.
11.已知命题p:
x2+2x-3>0;命题q:
>1,若“綈q且p”为真,则x的取值范围是________.
答案 (-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞)
解析 因为“綈q且p”为真,即q假p真,而q为真命题时,
<0,得20,解得x>1或x<-3,由
解得x<-3或1所以x的取值范围是x<-3或112.下列结论:
①若命题p:
存在x∈R,tanx=1;命题q:
任意x∈R,x2-x+1>0.则命题“p且(綈q)”是假命题;
②已知直线l1:
ax+3y-1=0,l2:
x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是
=-3;
③命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题:
“若x≠1,则x2-3x+2≠0”.其中正确结论的序号为________.
答案 ①③
解析 ①中命题p为真命题,命题q为真命题,
所以p且(綈q)为假命题,故①正确;
②当b=a=0时,有l1⊥l2,故②不正确;
③正确,所以正确结论的序号为①③.
B组 专项能力提升
(时间:
15分钟)
13.已知命题p:
存在x∈R,x-2>lgx,命题q:
任意x∈R,x2>0,则( )
A.p或q是假命题
B.p且q是真命题
C.p且(綈q)是真命题
D.p或(綈q)是假命题
答案 C
解析 ∵x=10时,x-2=8,lg10=1,x-2>lgx成立,∴命题p为真命题,又x2≥0,命题q为假命题,
∴p且(綈q)是真命题.
14.四个命题:
①任意x∈R,x2-3x+2>0恒成立;②存在x∈Q,x2=2;③存在x∈R,x2+1=0;④任意x∈R,4x2>2x-1+3x2.其中真命题的个数为( )
A.0B.1
C.2D.4
答案 A
解析 ∵x2-3x+2>0,Δ=(-3)2-4×2>0,
∴当x>2或x<1时,x2-3x+2>0才成立,
∴①为假命题.
当且仅当x=±
时,x2=2,∴不存在x∈Q,使得x2=2,∴②为假命题.
对任意x∈R,x2+1≠0,∴③为假命题.
4x2-(2x-1+3x2)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,
即当x=1时,4x2=2x-1+3x2成立,
∴④为假命题.
∴①②③④均为假命题.
15.下列结论正确的是( )
A.若p:
存在x∈R,x2+x+1<0,则綈p:
任意x∈R,x2+x+1<0
B.若p或q为真命题,则p且q也为真命题
C.“函数f(x)为奇函数”是“f(0)=0”的充分不必要条件
D.命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的否命题为真命题
答案 D
解析 ∵x2+x+1<0的否定是x2+x+1≥0,∴A错;若p或q为真命题,则p、q中至少有一个为真,∴B错;f(x)为奇函数,但f(0)不一定有意义,∴C错;命题“若x2-3x+2=0则x=1”的否命题为“若x2-3x-2≠0,则x≠1”,是真命题,D对.
16.已知命题p:
“任意x∈R,存在m∈R,4x-2x+1+m=0”,若命题綈p是假命题,则实数m的取值范围是________.
答案 (-∞,1]
解析 若綈p是假命题,则p是真命题,
即关于x的方程4x-2·2x+m=0有实数解,
由于m=-(4x-2·2x)=-(2x-1)2+1≤1,∴m≤1.
17.设p:
方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根;q:
方程x2+2(m-2)x-3m+10=0无实根.则使p或q为真,p且q为假的实数m的取值范围是_____________________.
答案 (-∞,-2]∪[-1,3)
解析 设方程x2+2mx+1=0的两根分别为x1,x2,
由
得m<-1,
所以命题p为真时,m<-1.
由方程x2+2(m-2)x-3m+10=0无实根,可知Δ2=4(m-2)2-4(-3m+10)<0,得-2