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计数原理专题
计数原理专题（七十八）
1．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有（ ）
A．21种 B．315种
C．143种D．153种
答案 C
解析 可分三类：
一类：
语文、数学各1本，共有9×7＝63种；
二类：
语文、英语各1本，共有9×5＝45种；
三类：
数学、英语各1本，共有7×5＝35种；
∴共有63＋45＋35＝143种不同选法．
2．（优质试题·武汉市二中月考）从1到10的正整数中，任意抽取两个相加所得和为奇数的不同情形的种数是（ ）
A．10B．15
C．20D．25
答案 D
解析 当且仅当偶数加上奇数后和为奇数，从而不同情形有5×5＝25（种）．
3.
现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ）
A．24种B．30种
C．36种D．48种
答案 D
解析 共有4×3×2×2＝48（种），故选D.
4．5名应届毕业生报考3所高校，每人报且仅报1所院校，则不同的报名方法的种数是（ ）
A．35B．53
C．A32D．C53
答案 A
解析 第n名应届毕业生报考的方法有3种（n＝1，2，3，4，5），根据分步计算原理，不同的报名方法共有3×3×3×3×3＝35（种）．
5．（优质试题·沧州七校联考）高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（ ）
A．16种B．18种
C．37种D．48种
答案 C
解析 自由选择去四个工厂有43种方法，甲工厂不去，自由选择去乙、丙、丁三个工厂有33种方法，故不同的分配方案有43－33＝37种．
6．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目．如要将这2个节目插入原节目单中，那么不同插法的种类为（ ）
A．42B．30
C．20D．12
答案 A
解析 将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中，插入第一个有6种插法，插入第2个时有7个空，共7种插法，所以共6×7＝42（种）．
7．（优质试题·绵阳二诊）小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈，包括他，一共7人，一天爸爸从果园里摘了7个大小不同的梨，给家里每人一个，小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿了最大的一个，则梨子的不同分法共有（ ）
A．96种B．120种
C．480种D．720种
答案 C
解析 由题意知，小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿了最大的一个的拿法有C41＝4种，其余人的拿法有A55＝120种，故梨子的不同分法共有4×120＝480种．
8．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为（ ）
A．5B．4
C．6D．8
答案 D
解析 分类考虑，当公比为2时，等比数列可为1，2，4；2，4，8，当公比为3时，可为1，3，9，当公比为
时，可为4，6，9，将以上各数列颠倒顺序时，也是符合题意的，因此，共有4×2＝8个．
9．（2014·安徽，理）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（ ）
A．24对B．30对
C．48对D．60对
答案 C
解析 先找出正方体一个面上的对角线与其余面对角线成60°角的对数，然后根据正方体六个面的特征求解．
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与面对角线AC成60°角的面对角线有B1C，BC1，A1D，AD1，AB1，A1B，D1C，DC1，共8条，同理与DB成60°角的面对角线也有8条．因此一个面上的2条面对角线与其相邻的4个面上的8条对角线共组成16对．又正方体共有6个面，所以共有16×6＝96（对）．又因为每对被计算了2次，因此成60°的面对角线有
×96＝48（对）．
10．（优质试题·定州一模）将“福”、“禄”、“寿”填入到如图所示的4×4小方格中，每格内只填入一个汉字，且任意的两个汉字既不同行也不同列，则不同的填写办法有（ ）
A.288种B．144种
C．576种D．96种
答案 C
解析 依题意可分为以下3步：
（1）先从16个格子中任选一格放入第一个汉字，有16种方法；
（2）任意的两个汉字既不同行也不同列，第二个汉字只有9个格子可以放，有9种方法；（3）第三个汉字只有4个格子可以放，有4种方法．根据分步乘法计数原理可得不同的填写方法有16×9×4＝576种．
11.
（优质试题·福建福州闽侯二中期中）把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在下图图案中的1，2，3，4，5，6，7所示的位置上，其中三盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法有（ ）
A．2680种B．4320种
C．4920种D．5140种
答案 B
解析 由题图可知7个点可组成的三角形有C73－5＝30个，∵三盆兰花不能放在一条直线上，∴可放入三角形的三个顶点上，有C301A33＝180种放法，再放4盆不同的玫瑰花，没有限制，放在剩余4个位置，有A44＝24种放法，∴不同的摆放方法有180×24＝4320种．
12．已知I＝{1，2，3}，A，B是集合I的两个非空子集，且A中所有数的和大于B中所有数的和，则集合A，B共有（ ）
A．12对B．15对
C．18对D．20对
答案 D
解析 依题意，当A，B均有一个元素时，有3对；当B有一个元素，A有两个元素时，有8对；当B有一个元素，A有三个元素时，有3对；当B有两个元素，A有三个元素时，有3对；当A，B均有两个元素时，有3对；共20对，选择D.
13．（优质试题·邯郸一中模拟）我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2013是“六合数”），则“六合数”中首位为2的“六合数”共有（ ）
A．18个B．15个
C．12个D．9个
答案 B
解析 依题意知，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4，0，0组成有3个数，分别为400，040，004；由3，1，0组成有6个数，分别为310，301，130，103，013，031；由2，2，0组成有3个数，分别为220，202，022；由2，1，1组成有3个数，分别为211，121，112，共3＋6＋3＋3＝15个．
14．直线方程Ax＋By＝0，若从0，1，2，3，5，7这6个数字中任取两个不同的数作为A，B的值，则可表示________条不同的直线．
答案 22
解析 分成三类：
A＝0，B≠0；A≠0，B＝0和A≠0，B≠0，前两类各表示1条直线；第三类先取A有5种取法，再取B有4种取法，故5×4＝20种．
所以可以表示22条不同的直线．
15．由1到200的自然数中，各数位上都不含8的有________个．
答案 162
解析 一位数8个，两位数8×9＝72个．
3位数
1
×
×
有9×9＝81个，
另外
2
×
×
1个（即200），共有8＋72＋81＋1＝162个．
16．某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是________种（用数字作答）．
答案 266
解析 分两类：
第一类，买5本2元的有C85种；第二类，买4本2元的和2本1元的有C84×C32种．故共有C85＋C84×C32＝266种不同的买法种数．
17．（优质试题·东北三校联考）在平面直角坐标系内，点P（a，b）的坐标满足a≠b，且a，b都是集合{1，2，3，4，5，6}中的元素，又点P到原点的距离|OP|≥5，则这样的点P的个数为______．
答案 20
解析 依题意可知：
当a＝1时，b＝5，6，两种情况；
当a＝2时，b＝5，6，两种情况；
当a＝3时，b＝4，5，6，三种情况；
当a＝4时，b＝3，5，6，三种情况；
当a＝5或6时，b各有五种情况．
所以共有2＋2＋3＋3＋5＋5＝20种情况．
18．标号为A，B，C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个不同的白色小球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球．
（1）若取出的两个球颜色不同，有多少种取法？
（2）若取出的两个球颜色相同，有多少种取法？
答案
（1）11
（2）4
解析
（1）若两个球颜色不同，则应在A，B袋中各取一个或A，C袋中各取一个，或B，C袋中各取一个．
∴应有1×2＋1×3＋2×3＝11种．
（2）若两个球颜色相同，则应在B或C袋中取出2个．
∴应有1＋3＝4种．
19．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少？
答案 36个
解析 设较小的两边长为x、y且x≤y，则
当x＝1时，y＝11；
当x＝2时，y＝10，11；
当x＝3时，y＝9，10，11；
当x＝4时，y＝8，9，10，11；
当x＝5时，y＝7，8，9，10，11；
当x＝6时，y＝6，7，8，9，10，11；
当x＝7时，y＝7，8，9，10，11；
……
当x＝11时，y＝11.
所以不同三角形的个数为
1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个．
1．如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1A．240B．204
C．729D．920
答案 A
解析 当中间数为2时，有1×2＝2个；当中间数为3时，有2×3＝6个；当中间数为4时，有3×4＝12个；当中间数为5时，有4×5＝20个；当中间数为6时，有5×6＝30个；当中间数为7时，有6×7＝42个；当中间数为8时，有7×8＝56个；当中间数为9时，有8×9＝72个．故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240个凸数．
2．从2，3，4，5，6，7，8，9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为（ ）
A．56B．54
C．53D．52
答案 D
解析 在8个数中任取2个不同的数共有8×7＝56个对数值；但在这56个数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，即满足条件的对数值共有56－4＝52个．
3．（优质试题·山东济宁模拟）6人分乘两辆不同的出租车，每辆车最多乘4人，则不同的乘车方案数为（ ）
A．70B．60
C．50D．40
答案 C
解析 C62＋C63＋C64＝50，故选C.
4．从集合{1，2，3，4，…，10}中，选出5个数组成该集合的子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有（ ）
A．32个B．34个
C．36个D．38个
答案 A
解析 先把数字分成5组：
{1，10}，{2，9}，{3，8}，{4，7}，{5，6}，由于选出的5个数中，任意两个数的和都不等于11，所以从每组中任选一个数字即可，故共可组成2×2×2×2×2＝32个这样的子集．
5．某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（ ）
A．1205秒B．1200秒
C．1195秒D．1190秒
答案 C
解析 要实现所有不同的闪烁且需要的时间最少，只要所有闪烁连续地、不重复地依次闪烁一遍．而所有的闪烁共有A55＝120个；因为在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，即每个闪烁的时长为5秒，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒，所以要实现所有不同的闪烁，需要的时间至少是120×（5＋5）－5＝1195秒．
6．若从集合P到集合Q＝{a，b，c}所有的不同映射共有81个，则从集合Q到集合P所有的不同映射共有（ ）
A．32个B．27个
C．81个D．64个
答案 D
解析 可设P集合中元素的个数为x，由映射的定义以及分步乘法计数原理，可得P→Q的映射种数为3x＝81，可得x＝4.反过来，可得Q→P的映射种数为43＝64.
7.
（优质试题·山东日照模拟）将1，2，3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大．当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法为（ ）
A．6种B．12种
C．18种D．24种
答案 A
解析 因为每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，1，2，9只有一种填法，5只能填在右上角或左下角，5填好后之相邻的空格可填6，7，8任一个，余下两个数字按从小到大只有一种方法．共有2×3＝6种结果，故选A.
8．（优质试题·郑州市市高三第二次质量预测）将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为（ ）
A．72B．120
C．192D．240
答案 D
解析 将“数字124467”重新排列后所得数字为偶数，则末位数应为偶数，
（1）若末位数字为2，因为含有2个4，所以有
＝60种情况；
（2）若末位数字为6，同理有
＝60种情况；（3）若末位数字为4，因为有两个相同数字4，所以共有5×4×3×2×1＝120种情况．综上，共有60＋60＋120＝240种情况．
9.
如图所示，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________种．
答案 180
解析 按区域分四步：
第一步，A区域有5种颜色可选；
第二步，B区域有4种颜色可选；
第三步，C区域有3种颜色可选；
第四步，D区域也有3种颜色可选．
由分步乘法计数原理，可得共有5×4×3×3＝180种不同的涂色方法．
10.
用红黄蓝三种颜色给如图所示的六连圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案共有________种．
答案 30
解析 由题意知每种颜色涂两个圆，共有5类，每类A33种涂法，所以总数为5A33＝30.
注：
将六圆依次编号①②③④⑤⑥，
可分如下5类：
①③，②⑤，④⑥，
①④，②⑤，③⑥，
①④，②⑥，③⑤，
①⑤，②④，③⑥，
①⑥，②④，③⑤.
11．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值日，共有5个人，每个人都可以值多天或不值班，但相邻两天不能同一个人值班，则此值日表共有________种不同的排法．
答案 1280
解析 完成一件事是安排值日表，因而需一天一天地排，用分步计数原理，分步进行：
第一天有5种不同排法，第二天不能与第一天已排人的相同，所以有4种不同排法，依次类推，第三、四、五天都有4种不同排法，所以共有5×4×4×4×4＝1280种不同的排法．
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