变量与函数.docx

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变量与函数

变量与函数

一、一周知识概述

1、常量和变量

　　在事物的变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，而数值始终保持不变的量称为常量．常量与变量必须存在于一个变化过程中．判断一个量是常量还是变量，需看两个方面：

①看它是否在一个变化的过程中，②看它在这个变化过程中的取值情况．

2、函数

　　一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．

3、函数自变量的取值范围的确定

　　自变量的取值范围：

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做函数自变量的取值范围．

　　自变量的取值范围的确定方法：

首先要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．当解析式为整式时，自变量的取值范围是全体实数；当解析式是分数的形式时，自变量的取值范围是使分母不为零的所有实数；当解析式中含有平方根时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；当函数解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义．

4、函数的图象

（1）图象的概念：

对于一个函数，如果把自变量x和函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象．

（2）由函数解析式画其图象的一般步骤：

　　①列表：

列表给出自变量与函数的一些对应值；

　　②描点：

以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；

　　③连线：

按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来．

5、函数的表示方法

（1）解析法：

两个变量之间的关系有时可以用含有这两个变量及数学运算符号的等式来表示，这种表示方法叫做解析法．

（2）列表法：

把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表格来表示函数关系，这种表示方法叫做列表法．

　　（3）图象法：

用图象表示函数关系的方法叫做图象法．

二、重难点知识归纳

1、变量和常量往往是相对的，相对于某个变化过程，在不同研究过程中，作为变量与常量的“身份”是可以相互转换的．

2、理解函数的概念应扣住下面三点：

（1）函数的概念由三句话组成：

“两个变量”，“x的每一个值”，“y有唯一确定的值”．

（2）判断两个变量是否有函数关系不仅看它们之间是否有关系式存在，更重要地是看对于x的每一个确定的值．y是否有唯一确定的值和它对应．

　　（3）函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．

3、自变量的取值范围有无限的，也有有限的，还有的是单独一个（或几个）数的；在一个函数解析式中，同时有几种代数式时，函数的自变量的取值范围应是各种代数式中自变量的取值范围的公共部分．

4、利用函数的图象解决实际问题，其关键是正确识别横轴和纵轴的意义，正确理解函数图象的性质，正确地识图、用图．

5、函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系

　　由图象的定义可知图象上任意一点P（x，y）中的x，y是解析式方程的一个解，反之，以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数图象上．

　　通常判定点是否在函数图象上的方法是：

将这个点的坐标代入函数解析式，如果满足函数解析式，这个点就在函数的图象上，如果不满足函数解析式，这个点就不在其函数的图象上，反之亦然．

三、典型例题剖析

例1、函数

中自变量x的取值范围是．

分析：

　　函数解析式中所含开平方运算中的被开方数必须为非负数，所含的分母必不为零．

　　所以

解得3＜x≤5．

答案：

3＜x≤5

例2、根据如图所示的程序计算函数值，若输入的x值为

，则输出的结果是（　）

A．

　　　　　　　　　　　B．

C．

　　　　　　　　　　　D．

分析：

　　因为输入的x值

在1≤x≤2的范围内，故应将

代入y=－x＋2来求函数值．

解：

　　∵

在1≤x≤2的范围内，

　　∴

故选C．

例3、已知等腰三角形的周长为10cm，求底边长y（cm）与腰长x（cm）之间的函数关系式及自变量x的取值范围．

解：

依题意，得2x＋y=10

　　∴y=10－2x

　　∵

，∴

　　∴

　　即y与x的函数关系式为y=10－2x，自变量x的范围是

例4、我省是水资源比较贫乏的省份之一，为了加强公民的节约用水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控等手段达到节约用水的目的，某市规定了如下用水收费标准，每户每月的用水不超过6米3时，水费按a元/米3收费；超过6米3时，未超过的部分仍按a元/米3收费，超过部分按c元/米3收费，该市某户今年3、4月份的用水量和水费如下表所示．

月份

用水量（米3）

水费（元）

3

5

7.5

4

9

27

　　设该户用水量为x（米3）；应交水费为y（元）．

（1）求a，c的值，并求出用水量不超过6米3和超过6米3时，y与x之间的函数关系式；

（2）若该户5月份的用水量为8米3，求该户5月份的水费是多少元？

分析：

　　此题的函数关系为分段函数关系，根据题设条件，可分两种情况讨论，列出关于a，c的方程组，进而确定函数关系．

解：

（1）依题意，得当x≤6时，y=ax，当x>6时，y=6a＋c（x－6）

　　　　　由已知，得

，解得

　　　　　∴

（2）将x=8代入y=6x－27（x>6），得y=6×8－27=21，即该户5月份的水费是21元．

例5、已知一水池中有600m3的水，每小时抽50m3．

（1）写出剩余水的体积Q（m3）与时间t（h）之间的函数关系式；

（2）写出自变量t的取值范围；

　　（3）8h后，池中还有水多少立方米？

　　（4）几小时后，池水还有水100m3？

分析：

　　池中剩余水的体积Q（m3）=600－50t（h），由于Q≥0，t≥0．可求出自变量的取值范围；利用Q与t的函数关系式易求出（3）、（4）中的问题的解．

解：

（1）由题意，得Q=600－50t．

（2）∵

　　　　∴0≤t≤12

　　（3）当t=8时，Q=600－50×8=200，故8h后池中还有水200m3．

　　（4）由Q=100得，100=600－50t，∴t=10．故10h后池中还有水100m3．

例6、已知函数y=2x－3，求：

（1）函数图象与x轴、y轴的交点坐标；

（2）x取什么值时，函数值大于1；

　　（3）若该函数图象和函数y=－x＋k相交于x轴上的一点，试求k的值．

分析：

（1）求函数图象与x轴的交点坐标，此时纵坐标为0，即令y=0，求出x的值即为交点的横坐标，求与y轴的交点坐标，令x=0；

（2）中的函数值大于1即可以用画图象来求，也可以用不等式求解；（3）由于函数y=2x－3与x轴的交点坐标已求出来，而题设已知函数y=2x－3和y=－x＋k相交于x轴上一点，即函数y=2x－3的图象与x轴上的交点在函数y=－x＋k的图象上，故其交点坐标满足函数解析式．

解：

（1）由2x－3=0得

由x=0得y=－3，

　　　　故函数图象与x轴交于

与y轴交于（0，－3）．

（2）由2x－3>1得x>2即当x>2时，函数y=2x－3的值大于1；

　　（3）∵函数y=2x－3与x轴相交于点

　　　　　将

y=0代入y=－x＋k得

　　　　　∴k的值为

例7、小刚、爸爸和爷爷同时从家中出发到达同一目的地后都立即返回，小刚去时骑自行车，返回时步行；爷爷去时步行，返回时骑自行车；爸爸往返都步行．三个人步行的速度不等，小刚与爷爷骑车的速度相等．每个人的行走路程与时间的关系是图中所示的三个图象中的一个，走完一个往返．

问：

（1）三个图象中哪个对应小刚、爸爸、爷爷？

（2）离家所去的地点多远？

　　（3）小刚与爷爷骑自行车的速度各是多少？

三人步行的速度各是多少？

分析：

读清题目，理解好题意，结合实际问题，再解决问题．

解：

（1）因为小刚去时骑自行车，返回时步行，所以去时需要的时间少于回来所需的时间，故图

（2）对应小刚．用同样的方法可以判断爸爸对应图（3），爷爷对应图

（1）．

（2）他们离家所去的地点有1200m远．

　　（3）由图象知，小刚去时的时间是6min，所以小刚骑自行车的速度为：

　　用同样的方法可以求得，爷爷骑自行车的速度为200m/min，小刚步行的速度为80m/min，爸爸步行速度为100m/min，爷爷步行的速度为60m/min．

例8、一个弹簧，不挂重物时长为10cm，挂上物体时，弹簧会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量如下表所示，在弹性限度内，所挂物品的质量不能超过10kg．

所挂物品质量（kg）

1

2

3

4

5

6

…

弹簧总长度（cm）

10.5

11.0

11.5

12

12.5

13

…

（1）求在弹性限度内弹簧的总长y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式，并画出函数的图象．

（2）在弹性限度内，弹簧的最大长度是多少？

分析：

　　表格中已经通过挂重1至6kg时弹簧的长度y之间的对应关系，我们应先分析出这些数量找出这两个变量之间的一般联系规律，由它写出函数解析式，画出函数图象，继而确定最大长度．

解：

（1）由表中观察到弹簧原长10cm，以后每增加1kg物品，弹簧伸长0.5m，这样其变化规律可以表示为y=0.5x＋10（0≤x≤10）

　　这个函数的图象如图所示．

（2）由图象可知弹簧最大长度为15cm．

例1、（湖北黄冈）小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示，下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位回到家门口需要的时间是（　）

A．12分钟　　　　　　　　　　　　　B．15分钟

C．25分钟爱　　　　　　　　　　　　D．27分钟

答案：

Ｂ

解析：

　　由图象可得到

从单位回到家门口的上坡路程２千米，下坡１千米，平路１千米，故回家时间为15分钟，故选Ｂ．

例2、（重庆）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，动点P从点B出发，沿路线B→C→D作匀速运动，那么△ABP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是（　）

答案：

B

解析：

根据题意得，0

即s=x；当1

即S=1，故选B．

例3、（陕西）在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回，设汽车从甲地出发x（h）时，汽车与甲地的距离为y（km）,y与x的函数关系如所示：

　　根据图象信息，解答下列问题：

（1）这辆汽车的往返速度是否相同？

请说明理由；

（2）求返程中y与x之间的函数表达式；

（3）求这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离．

解析：

（1）不同，理由如下：

　　∵往、返距离相等，去时用了2小时，而返回时用了2.5小时，

　　∴往返速度不同．

（2）设返程中y与x之间的表达式为y=kx＋b,

　　∴y=－48x＋240（2.5≤x≤5）.

　　（3）当x=4时，汽车在返程中，

　　∴y=－48×4＋240=48．

　　∴这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离为48km.

例4、（南充市）下列函数中，自变量x的取值范围是

的是（　）

　A．

　　　　　　　　　　　　　B．

　C．

　　　　　　　　　　　　　D．

分析：

自变量的取值范围应使解析式有意义用使实际问题有意义．

答案：

B

例5、（昆明）某公司到果园基地购买优质水果，慰问医务工作者，果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案，甲方案：

每千克9元，由基地送货上门；乙方案：

每千克8元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元．

（1）分别写出该公司两种购买方案的付款y（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

（2）当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款最少？

并说明理由．

解：

（1）y甲=9x（x≥3000）

　　　　y乙=8x＋5000（x≥3000）

（2）∵y甲－y乙=x－5000

　　　　∴①当

，即x>5000时，y甲>y乙

　　　　　②当

，即3000≤x<5000时，y甲

　　故当购买量多于5000千克时，选择乙方案付款最少；当购买量不低于3000千克而少于5000千克时，选择甲方案付款最少．

例6、（河南省）某校八年级同学到距学校6千米的郊外春游，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，如图，

、

分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程y（千米）与所用时间x（分钟）之间的函数图象，则以下判断错误的是（　）

A．骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟

B．步行的速度是6千米/时

C．骑车的同学从出发到追上步行的同学用了20分钟

D．骑车的同学和步行的同学同时达到目的地

分析：

　　从图中可看出骑车的同学到达目的地的时间是步行同学出发后的54分钟，而步行同学到达目的地的时间是他们出发后60分钟，因此选D．

答案：

D