秋人教版八年级数学上册第12章《三角形全等之倍长中线》讲义随堂测试习题及答案.docx
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秋人教版八年级数学上册第12章《三角形全等之倍长中线》讲义随堂测试习题及答案
人教版八年级数学上册12章
三角形全等之倍长中线(讲义)
Ø课前预习
1.填空
(1)三角形全等的判定有:
三边分别___________的两个三角形全等,即(____);
两边和它们的_____分别相等的两个三角形全等,即(____);两角和它们的_____分别相等的两个三角形全等,即(____);两角和其中一个角的______分别相等的两个三角形全等,即(____);
斜边和_______边分别相等的两个直角三角形全等,即(____).
(2)要证明两条边相等或者两个角相等,可以考虑放在两个三角形中证________;要证明两个三角形全等需要准备______组条件,这三组条件里面必须有______;然后依据判定进行证明,其中AAA,SSA不能证明两个三角形全等,请举出对应的反例.
2.想一想,证一证
已知:
如图,AB与CD相交于点O,且O是AB的中点.
(1)当OC=OD时,求证:
△AOC≌△BOD;
(2)当AC∥BD时,求证:
△AOC≌△BOD.
Ø知识点睛
1.“三角形全等”辅助线:
见中线,要__________,________之后______________.
2.中点的思考方向:
①(类)倍长中线
延长AD到E,使DE=AD,延长MD到E,使DE=MD,
连接BE连接CE
②平行夹中点
延长FE交BC的延长线于点G
Ø精讲精练
1.如图,在△ABC中,AD为BC边上的中线.
(1)按要求作图:
延长AD到点E,使DE=AD;连接BE.
(2)求证:
△ACD≌△EBD.
(3)求证:
AB+AC>2AD.
(4)若AB=5,AC=3,求AD的取值范围.
2.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,且BD=CD.
求证:
AB=AC.
3.如图,CB是△AEC的中线,CD是△ABC的中线,且AB=AC.
求证:
①CE=2CD;②CB平分∠DCE.
4.如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是AD上一点,BE=AC,BE的延长线交AC于点F.
求证:
∠AEF=∠EAF.
5.如图,在△ABC中,AD交BC于点D,点E是BC的中点,EF∥AD交CA的延长线于点F,交AB于点G,BG=CF.
求证:
AD为△ABC的角平分线.
6.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E在BC上,点F是CD的中点,且AF⊥AB,已知AD=2.7,AE=BE=5,求CE的长.
7.如图,在正方形ABCD中,CD=BC,∠DCB=90°,点E在CB的延长线上,过点E作EF⊥BE,且EF=BE.连接BF,FD,取FD的中点G,连接EG,CG.
求证:
EG=CG且EG⊥CG.
【参考答案】
Ø课前预习
1.
(1)相等,SSS;夹角,SAS;夹边,ASA;对边,AAS;
直角,HL
(2)全等,三,边
2.
(1)证明:
如图
∵O是AB的中点
∴AO=BO
在△AOC和△BOD中
∴△AOC≌△BOD(SAS)
(2)证明:
如图
∵O是AB的中点
∴AO=BO
∵AC∥BD
∴∠A=∠B
在△AOC和△BOD中
∴△AOC≌△BOD(ASA)
Ø精讲精练
1.解:
(1)如图,
(2)证明:
如图,
∵AD为BC边上的中线
∴BD=CD
在△BDE和△CDA中
∴△BDE≌△CDA(SAS)
(3)证明:
如图,
∵△BDE≌△CDA
∴BE=AC
∵DE=AD
∴AE=2AD
在△ABE中,AB+BE>AE
∴AB+AC>2AD
(4)在△ABE中,
AB-BE由(3)得AE=2AD,BE=AC
∵AC=3,AB=5
∴5-3∴2<2AD<8
∴12.
证明:
如图,延长AD到E,使DE=AD,连接BE
在△ADC和△EDB中
∴△ADC≌△EDB(SAS)
∴AC=EB,∠2=∠E
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
∴∠1=∠E
∴AB=BE
∴AB=AC
3.
证明:
如图,延长CD到F,使DF=CD,连接BF
∴CF=2CD
∵CD是△ABC的中线
∴BD=AD
在△BDF和△ADC中
∴△BDF≌△ADC(SAS)
∴BF=AC,∠1=∠F
∵CB是△AEC的中线
∴BE=AB
∵AC=AB
∴BE=BF
∵∠1=∠F
∴BF∥AC
∴∠1+∠2+∠5+∠6=180°
又∵AC=AB
∴∠1+∠2=∠5
又∵∠4+∠5=180°
∴∠4=∠5+∠6
即∠CBE=∠CBF
在△CBE和△CBF中
∴△CBE≌△CBF(SAS)
∴CE=CF,∠2=∠3
∴CE=2CD
CB平分∠DCE
4.
证明:
如图,延长AD到M,使DM=AD,连接BM
∵D是BC边的中点
∴BD=CD
在△ADC和△MDB中
∴△ADC≌△MDB(SAS)
∴∠1=∠M,AC=MB
∵BE=AC
∴BE=MB
∴∠M=∠3
∴∠1=∠3
∵∠3=∠2
∴∠1=∠2
即∠AEF=∠EAF
5.
证明:
如图,延长FE到M,使EM=EF,连接BM
∵点E是BC的中点
∴BE=CE
在△CFE和△BME中
∴△CFE≌△BME(SAS)
∴CF=BM,∠F=∠M
∵BG=CF
∴BG=BM
∴∠1=∠M
∴∠1=∠F
∵AD∥EF
∴∠3=∠F,∠1=∠2
∴∠2=∠3
即AD为△ABC的角平分线
6.
解:
如图,延长AF交BC的延长线于点G
∵AD∥BC
∴∠3=∠G
∵点F是CD的中点
∴DF=CF
在△ADF和△GCF中
∴△ADF≌△GCF(AAS)
∴AD=CG
∵AD=2.7
∴CG=2.7
∵AE=BE
∴∠1=∠B
∵AB⊥AF
∴∠1+∠2=90°
∠B+∠G=90°
∴∠2=∠G
∴EG=AE=5
∴CE=EG-CG
=5-2.7
=2.3
7.证明:
如图,延长EG交CD的延长线于点M
由题意,∠FEB=90°,∠DCB=90°
∴∠DCB+∠FEB=180°
∴EF∥CD
∴∠FEG=∠M
∵点G为FD的中点
∴FG=DG
在△FGE和△DGM中
∴△FGE≌△DGM(AAS)
∴EF=MD,EG=MG
∵△FEB是等腰直角三角形
∴EF=EB
∴BE=MD
在正方形ABCD中,BC=CD
∴BE+BC=MD+CD
即EC=MC
∴△ECM是等腰直角三角形
∵EG=MG
∴EG⊥CG,∠3=∠4=45°
∴∠2=∠3=45°
∴EG=CG
三角形全等之倍长中线(随堂测试)
1.在△ABC中,AC=5,中线AD=4,则边AB的取值范围是_______________.
思路分析:
①画出草图,标注条件:
②根据题目条件,见_________,考虑_____________;添加辅助线是______________________________________;
③倍长之后证全等:
__________≌___________(),证全等转移边:
______=_______;
④全等转移条件后,利用三角形三边关系可以得到AB的取值范围.
2.如图,在正方形ABCD中,AD∥BC,E为AB边的中点,G,F分别为AD,BC边上的点,且AG=1,BF=2.若GE⊥EF,则GF的长为多少?
【参考答案】
1.3①图略
②中线AD倍长中线延长AD到点E,使DE=AD,连接CE
③△ADC△EDBSASACEB
④略
2.AD∥BC,E为AB边的中点,平行夹中点;
AG=BH,GE=HE;
到线段两端点的距离相等,FH,AG+BF
解:
如图,延长GE交CB的延长线于点H
∵AD∥BC
∴∠GAE=∠HBE
∵E为AB边的中点
∴AE=BE
在△AGE和△BHE中,
∴△AGE≌△BHE(ASA)
∴BH=AG,HE=GE
∵GE⊥EF
∴GF=HF
∵BF=2,AG=1
∴GF=HF=BF+BH
=BF+AG
=2+1
=3
三角形全等之倍长中线(习题)
Ø例题示范
例1:
已知:
如图,在△ABC中,AB≠AC,D,E在BC上,且DE=EC,过D作DF∥BA交AE于点F,DF=AC.
求证:
AE平分∠BAC.
【思路分析】
读题标注:
见中线,要倍长,倍长之后证全等.
结合此题,DE=EC,点E是DC的中点,考虑倍长,有两种考虑方法:
①考虑倍长FE,如图所示:
②考虑倍长AE,如图所示:
(这个过程需要考虑倍长之后具体要连接哪两个点)
倍长中线的目的是为了证明全等:
以方法①为例,可证△DEF≌△CEG,由全等转移边和角,重新组织条件证明即可.
【过程书写】
证明:
如图,延长FE到G,使EG=EF,连接CG.
在△DEF和△CEG中,
∴△DEF≌△CEG(SAS)
∴DF=CG,∠DFE=∠G
∵DF=AC
∴CG=AC
∴∠G=∠CAE
∴∠DFE=∠CAE
∵DF∥AB
∴∠DFE=∠BAE
∴∠BAE=∠CAE
∴AE平分∠BAC
Ø巩固练习
1.已知:
如图,在△ABC中,AB=4,AC=2,点D为BC边的中点,且AD是整数,则AD=________.
2.
已知:
如图,BD平分∠ABC交AC于D,点E为CD上一点,且AD=DE,EF∥BC交BD于F.
求证:
AB=EF.
3.已知:
如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,分别以AB,AC为直角边向外作等腰直角三角形,AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠CAF=90°.
求证:
EF=2AD.
4.
如图,在△ABC中,AB>AC,E为BC边的中点,AD为∠BAC的平分线,过E作AD的平行线,交AB于F,交CA的延长线于G.
求证:
BF=CG.
5.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E在BC上,点F是CD的中点,连接AF,EF,AE,若∠DAF=∠EAF,求证:
AF⊥EF.
Ø思考小结
1.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,且BD=CD.
求证:
AB=AC.
比较下列两种不同的证明方法,并回答问题.
方法1:
如图,延长AD到E,使DE=AD,连接BE
在△BDE和△CDA中
∴△BDE≌△CDA(SAS)
∴AC=BE,∠E=∠2
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
∴∠1=∠E
∴AB=BE
∴AB=AC
方法2:
如图,过点B作BE∥AC,交AD的延长线于点E
∵BE∥AC
∴∠E=∠2
在△BDE和△CDA中
∴△BDE≌△CDA(AAS)
∴BE=AC
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
∴∠1=∠E
∴AB=BE
∴AB=AC
相同点:
两种方法都是通过辅助线构造全等,利用全等转移条件进而解决问题.方法1是看到中点考虑通过___________构造全等,方法2是通过平行夹中点构造全等.
不同点:
倍长中线的方法在证明全等时,利用的判定是________,实质是构造了一组对应边相等;利用平行夹中点证明全等时,利用的判定是_____,实质是利用平行构造了一组_____相等.
2.利用“倍长中线”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理:
直角三角形斜边中线等于斜边的一半.请你尝试进行证明.
已知:
如图,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是斜边AB的中线.求证:
CD
AB.
【参考答案】
Ø巩固练习
1.2
2.证明略(提示:
延长FD到点G,使得DG=DF,连接AG,证明△ADG≌△EDF,转角证明AB=EF)
3.证明略(提示:
延长AD到点G,使得GD=AD,连接CG,证明△ABD≌△GCD,△EAF≌△GCA)
4.证明略(提示:
延长FE到点H,使得EH=FE,连接CH,证明△BFE≌△CHE,转角证明BF=CG)
5.证明略(提示:
延长AF交BC的延长线于点G,证明△ADF≌△GCF,转角证明AF⊥EF)
Ø思考小结
1.倍长中线SASAAS角
2.证明略