秋人教版八年级数学上册第12章《三角形全等之倍长中线》讲义随堂测试习题及答案.docx

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秋人教版八年级数学上册第12章《三角形全等之倍长中线》讲义随堂测试习题及答案

人教版八年级数学上册12章

三角形全等之倍长中线（讲义）

Ø课前预习

1.填空

（1）三角形全等的判定有：

三边分别___________的两个三角形全等，即（____）；

两边和它们的_____分别相等的两个三角形全等，即（____）；两角和它们的_____分别相等的两个三角形全等，即（____）；两角和其中一个角的______分别相等的两个三角形全等，即（____）；

斜边和_______边分别相等的两个直角三角形全等，即（____）．

（2）要证明两条边相等或者两个角相等，可以考虑放在两个三角形中证________；要证明两个三角形全等需要准备______组条件，这三组条件里面必须有______；然后依据判定进行证明，其中AAA，SSA不能证明两个三角形全等，请举出对应的反例．

2.想一想，证一证

已知：

如图，AB与CD相交于点O，且O是AB的中点．

（1）当OC=OD时，求证：

△AOC≌△BOD；

（2）当AC∥BD时，求证：

△AOC≌△BOD．

Ø知识点睛

1.“三角形全等”辅助线：

见中线，要__________，________之后______________．

2.中点的思考方向：

①（类）倍长中线

延长AD到E，使DE=AD，延长MD到E，使DE=MD，

连接BE连接CE

②平行夹中点

延长FE交BC的延长线于点G

Ø精讲精练

1.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．

（1）按要求作图：

延长AD到点E，使DE=AD；连接BE．

（2）求证：

△ACD≌△EBD．

（3）求证：

AB+AC>2AD．

（4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．

2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．

求证：

AB=AC．

3.如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC．

求证：

①CE=2CD；②CB平分∠DCE．

4.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F．

求证：

∠AEF=∠EAF．

5.如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，BG=CF．

求证：

AD为△ABC的角平分线．

6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，且AF⊥AB，已知AD=2.7，AE=BE=5，求CE的长．

7.如图，在正方形ABCD中，CD=BC，∠DCB=90°，点E在CB的延长线上，过点E作EF⊥BE，且EF=BE．连接BF，FD，取FD的中点G，连接EG，CG．

求证：

EG=CG且EG⊥CG．

【参考答案】

Ø课前预习

1.

（1）相等，SSS；夹角，SAS；夹边，ASA；对边，AAS；

直角，HL

（2）全等，三，边

2.

（1）证明：

如图

∵O是AB的中点

∴AO=BO

在△AOC和△BOD中

∴△AOC≌△BOD（SAS）

（2）证明：

如图

∵O是AB的中点

∴AO=BO

∵AC∥BD

∴∠A=∠B

在△AOC和△BOD中

∴△AOC≌△BOD（ASA）

Ø精讲精练

1.解：

（1）如图，

（2）证明：

如图，

∵AD为BC边上的中线

∴BD=CD

在△BDE和△CDA中

∴△BDE≌△CDA（SAS）

（3）证明：

如图，

∵△BDE≌△CDA

∴BE=AC

∵DE=AD

∴AE=2AD

在△ABE中，AB+BE>AE

∴AB+AC>2AD

（4）在△ABE中，

AB-BE

由（3）得AE=2AD，BE=AC

∵AC=3，AB=5

∴5-3

∴2<2AD<8

∴1

2.

证明：

如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE

在△ADC和△EDB中

∴△ADC≌△EDB（SAS）

∴AC=EB，∠2=∠E

∵AD平分∠BAC

∴∠1=∠2

∴∠1=∠E

∴AB=BE

∴AB=AC

3.

证明：

如图，延长CD到F，使DF=CD，连接BF

∴CF=2CD

∵CD是△ABC的中线

∴BD=AD

在△BDF和△ADC中

∴△BDF≌△ADC（SAS）

∴BF=AC，∠1=∠F

∵CB是△AEC的中线

∴BE=AB

∵AC=AB

∴BE=BF

∵∠1=∠F

∴BF∥AC

∴∠1+∠2+∠5+∠6=180°

又∵AC=AB

∴∠1+∠2=∠5

又∵∠4+∠5=180°

∴∠4=∠5+∠6

即∠CBE=∠CBF

在△CBE和△CBF中

∴△CBE≌△CBF（SAS）

∴CE=CF，∠2=∠3

∴CE=2CD

CB平分∠DCE

4.

证明：

如图，延长AD到M，使DM=AD，连接BM

∵D是BC边的中点

∴BD=CD

在△ADC和△MDB中

∴△ADC≌△MDB（SAS）

∴∠1=∠M，AC=MB

∵BE=AC

∴BE=MB

∴∠M=∠3

∴∠1=∠3

∵∠3=∠2

∴∠1=∠2

即∠AEF=∠EAF

5.

证明：

如图，延长FE到M，使EM=EF，连接BM

∵点E是BC的中点

∴BE=CE

在△CFE和△BME中

∴△CFE≌△BME（SAS）

∴CF=BM，∠F=∠M

∵BG=CF

∴BG=BM

∴∠1=∠M

∴∠1=∠F

∵AD∥EF

∴∠3=∠F，∠1=∠2

∴∠2=∠3

即AD为△ABC的角平分线

6.

解：

如图，延长AF交BC的延长线于点G

∵AD∥BC

∴∠3=∠G

∵点F是CD的中点

∴DF=CF

在△ADF和△GCF中

∴△ADF≌△GCF（AAS）

∴AD=CG

∵AD=2.7

∴CG=2.7

∵AE=BE

∴∠1=∠B

∵AB⊥AF

∴∠1+∠2=90°

∠B+∠G=90°

∴∠2=∠G

∴EG=AE=5

∴CE=EG-CG

=5-2.7

=2.3

7.证明：

如图，延长EG交CD的延长线于点M

由题意，∠FEB=90°，∠DCB=90°

∴∠DCB+∠FEB=180°

∴EF∥CD

∴∠FEG=∠M

∵点G为FD的中点

∴FG=DG

在△FGE和△DGM中

∴△FGE≌△DGM（AAS）

∴EF=MD，EG=MG

∵△FEB是等腰直角三角形

∴EF=EB

∴BE=MD

在正方形ABCD中，BC=CD

∴BE+BC=MD+CD

即EC=MC

∴△ECM是等腰直角三角形

∵EG=MG

∴EG⊥CG，∠3=∠4=45°

∴∠2=∠3=45°

∴EG=CG

三角形全等之倍长中线（随堂测试）

1.在△ABC中，AC=5，中线AD=4，则边AB的取值范围是_______________．

思路分析：

①画出草图，标注条件：

②根据题目条件，见_________，考虑_____________；添加辅助线是______________________________________；

③倍长之后证全等：

__________≌___________（），证全等转移边：

______=_______；

④全等转移条件后，利用三角形三边关系可以得到AB的取值范围．

2.如图，在正方形ABCD中，AD∥BC，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，且AG=1，BF=2．若GE⊥EF，则GF的长为多少？

【参考答案】

1.3

①图略

②中线AD倍长中线延长AD到点E，使DE=AD，连接CE

③△ADC△EDBSASACEB

④略

2.AD∥BC，E为AB边的中点，平行夹中点；

AG=BH，GE=HE；

到线段两端点的距离相等，FH，AG+BF

解：

如图，延长GE交CB的延长线于点H

∵AD∥BC

∴∠GAE=∠HBE

∵E为AB边的中点

∴AE=BE

在△AGE和△BHE中，

∴△AGE≌△BHE（ASA）

∴BH=AG，HE=GE

∵GE⊥EF

∴GF=HF

∵BF=2，AG=1

∴GF=HF=BF+BH

=BF+AG

=2+1

=3

三角形全等之倍长中线（习题）

Ø例题示范

例1：

已知：

如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E在BC上，且DE=EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF=AC．

求证：

AE平分∠BAC．

【思路分析】

读题标注：

见中线，要倍长，倍长之后证全等．

结合此题，DE=EC，点E是DC的中点，考虑倍长，有两种考虑方法：

①考虑倍长FE，如图所示：

②考虑倍长AE，如图所示：

（这个过程需要考虑倍长之后具体要连接哪两个点）

倍长中线的目的是为了证明全等：

以方法①为例，可证△DEF≌△CEG，由全等转移边和角，重新组织条件证明即可．

【过程书写】

证明：

如图，延长FE到G，使EG=EF，连接CG．

在△DEF和△CEG中，

∴△DEF≌△CEG（SAS）

∴DF=CG，∠DFE=∠G

∵DF=AC

∴CG=AC

∴∠G=∠CAE

∴∠DFE=∠CAE

∵DF∥AB

∴∠DFE=∠BAE

∴∠BAE=∠CAE

∴AE平分∠BAC

Ø巩固练习

1.已知：

如图，在△ABC中，AB=4，AC=2，点D为BC边的中点，且AD是整数，则AD=________．

2.

已知：

如图，BD平分∠ABC交AC于D，点E为CD上一点，且AD=DE，EF∥BC交BD于F．

求证：

AB=EF．

3.已知：

如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°．

求证：

EF=2AD．

4.

如图，在△ABC中，AB>AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．

求证：

BF=CG．

5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，连接AF，EF，AE，若∠DAF=∠EAF，求证：

AF⊥EF．

Ø思考小结

1.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．

求证：

AB=AC．

比较下列两种不同的证明方法，并回答问题．

方法1：

如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE

在△BDE和△CDA中

∴△BDE≌△CDA（SAS）

∴AC=BE，∠E=∠2

∵AD平分∠BAC

∴∠1=∠2

∴∠1=∠E

∴AB=BE

∴AB=AC

方法2：

如图，过点B作BE∥AC，交AD的延长线于点E

∵BE∥AC

∴∠E=∠2

在△BDE和△CDA中

∴△BDE≌△CDA（AAS）

∴BE=AC

∵AD平分∠BAC

∴∠1=∠2

∴∠1=∠E

∴AB=BE

∴AB=AC

相同点：

两种方法都是通过辅助线构造全等，利用全等转移条件进而解决问题．方法1是看到中点考虑通过___________构造全等，方法2是通过平行夹中点构造全等．

不同点：

倍长中线的方法在证明全等时，利用的判定是________，实质是构造了一组对应边相等；利用平行夹中点证明全等时，利用的判定是_____，实质是利用平行构造了一组_____相等．

2.利用“倍长中线”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：

直角三角形斜边中线等于斜边的一半．请你尝试进行证明．

已知：

如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是斜边AB的中线．求证：

CD

AB．

【参考答案】

Ø巩固练习

1.2

2.证明略（提示：

延长FD到点G，使得DG=DF，连接AG，证明△ADG≌△EDF，转角证明AB=EF）

3.证明略（提示：

延长AD到点G，使得GD=AD，连接CG，证明△ABD≌△GCD，△EAF≌△GCA）

4.证明略（提示：

延长FE到点H，使得EH=FE，连接CH，证明△BFE≌△CHE，转角证明BF=CG）

5.证明略（提示：

延长AF交BC的延长线于点G，证明△ADF≌△GCF，转角证明AF⊥EF）

Ø思考小结

1.倍长中线SASAAS角

2.证明略