电路基础教案1.docx
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电路基础教案1
教案首页
第__1__次(单元)课授课时间:
2006.2.27
课程名称
电路基础
专业班级
层次
高职
授课教师
职称
课型(大、小)
小
学时
2
授课题目(章、节)
第一章
授课方式
理论课(理论课;讨论课;实验课;实习/实训课;其他)
教材及主要参考书
电路基础
教学目的与要求:
1.深刻理解、牢固掌握电路的基本概念、基本定律和常用定理。
2.掌握直流电路中回路和支路概念,掌握KCL和KVL的基本应用,对支路电流法有深层次的应用。
教学过程设计(内容、时间安排、教学方法等):
直流电路的概述部分安排大约30分钟;
支路电流部分安排1小时。
采用多媒体教学,老师授课。
教学重点、难点:
重点:
KCL、KVL,支路电流等解析方法。
难点:
采用这些定理进行电路的分析。
教研室审阅意见:
教研室主任签名:
年月日
第2章电阻电路分析
2.1图与电路方程
一、图
如前(1.3节)所述,当仅研究电路中各元件的相互连接关系时,一个二端元件可用一条线段来表示,称为支路;各支路的连接点画为黑点,称为节点(或结点),这样,就能画出与原电路图相对应的线形图或拓扑图,简称为图。
有时为了方便,也可把某些元件的串联组合(如数个电阻串联或电压源与电阻串联等)或并联组合(如数个电阻并联或电流源与电阻并联等)当作一条支路来看待。
这里用图论图论是研究点和线连接关系的一门学问,是数学的一个分支。
的一些知识来研究元件相互连接的规律性。
图是节点和支路(图论中分别常称为顶点和边)的集合。
每条支路的两端都必须连接到相应的节点上。
移去一条支路并不把它相应的节点移去;而移去一个节点,则应当把与该节点相连的全部支路都同时移去。
所以,图中不能有不与节点相连的支路,但可以有孤立的节点,如图2.1-1(a)所示。
全部节点都被支路所连通的图称为连通图,否则称为非连通图。
图2.1-1(a)是非连通图,由图可知,它由相互分离的四个部分组成,称其分离度ρ=4;图2.1-1(b)是连通图,其分离度ρ=1。
我们主要关心的是连通图。
全部支路都标有方向对于不同的问题,支路方向的含义也不同。
单向通行的道路、信号流图等,其中的方向表示只能按箭头方向运动,不能作反方向运动。
我们这里的方向是支路电流的参考方向。
的图称为有向图(如图2.1-1(b)),否则称为无向图。
如果有一个图G,从图G中去掉某些支路和某些节点所形成的图H,称为图G的子图。
显然,子图H的所有支路和节点都包含在图G中。
因此,子图可定义为,包含在图G内的图H称为图G的子图。
例如,图2.1-2(b)和(c)都是图(a)中图G的子图。
能够画在一个平面上,并且除端点外所有支路都没有交叉的图称为平面图,否则称为非平面图。
图2.1-3(a),无论把支路伸缩或是把支路拉伸到外侧,要想把该图画在平面上,而各支路都不交叉是不可能的,因而它是非平面图。
对于图2.1-3(b),只要将支路2和3拉伸到外侧,如图2.1-3(c),则各支路都不交叉,因而图(b)是平面图。
二、回路、割集、树
1.回路
与某一节点相连的支路数称为该节点的次数或度数。
如图2.1-4中,节点a的次数为3,节点b的次数为4。
在图中,从某一节点(可称为始点)出发,连续经过一些支路和节点,且各节点只经过一次(显然,其所经支路也只经过一次),最后到达另一节点(终点)的支路序列称为路径。
图2.1-4中支路序列{1},{2,3},{4,8,7},{4,5,6,7}等都是节点a至c的路径。
显然,路径中始节点和终节点的次数为1,其余节点的次数为2。
一个闭合路径,即始节点和终节点为同一节点的路径,称为回路。
这样,始节点以及终节点的次数也为2。
因此,回路可定义为:
全部节点的次数均为2的连通子图称为回路。
图2.1-4中,支路集{1,3,2}、{1,3,5,4}、{2,5,4}、{2,3,7,8,4}等都是图G的回路。
在平面图中,构成回路的各支路围成一个区域。
在区域内部不包含支路和节点的回路常称为网孔。
图2.1-4中,{1,3,2}、{2,5,4}、{5,6,8}、{3,7,6}都是网孔。
支路集{1,7,8,4}称为外网孔,因为如果将平面图G画在球面上,则从另一侧看去,支路集{1,7,8,4}也将围成一个区域,且该区域中没有其它支路和节点。
2.割集
在连通图G中,这样的支路集S称为割集,若从图G中移去(或割断)属于S的所有支路,则图G恰好被分成两个互相分离的部分,但只要少移去其中的一条支路,则图仍然是连通的。
割集可定义为:
把连通图分割为两个连通子图所需移去的最少支路集。
图2.1-5中,支路集{1,2,4}、{2,3,6,5}、{4,5,6,3,1}、{4,5,6,7}等都是割集,如图中的虚线所示。
3.树
树是图论中一个非常重要的概念。
包含连通图G中的所有节点,但不包含回路的连通子图,称为图G的树。
图2.1-6中画出了图G(图(a)所示)的几种树(如图(b))。
可见,同一个图有许多种树。
图G中,组成树的支路称为树支,不属于树的支路称为连支。
例如图2.1-6中,若选树支为{4,5,6,7},则支路{1,2,3,8}为连支。
一个有n个节点,b条支路的连通图G,其任何一个树的树支数
T=n-1(2.1-1)
对应于任一棵树的连支数
L=b-T=b-n+1(2.1-2)
这是因为,若把图G的n个节点连接成一棵树时,第一条支路连接2个节点,此后每增加1条新支路就连接上1个新节点,直到把n个节点连接成树,所以树支数比节点数少1。
例如2.1-6(a)的连通图G,共有5个节点,8条支路,其树支数T=4,连支数L=4。
由树以及回路、割集的定义可知,在连通图G中,由于树是连通的,因而任何割集至少包含1条树支;由于树不包含回路,因而任何回路至少包含1条连支。
4.基本回路和基本割集
在连通图G中,任意选定一个树,由于树连接了图G的全部节点(但不包含回路),因而在树上增加一条连支,此连支与其它树支就构成一个回路。
仅包含一条连支(其余为树支)的回路称为单连支回路或基本回路。
全部单连支回路组成了基本回路组。
对于有n个节点,b条支路的连通图,一个基本回路组中有且仅有L=b-n+1个基本回路。
图2.1-7(a)中,支路{2,3,5,8}是树,回路{1,3,2}、{2,5,4}、{5,6,8}和{3,7,8,5}都是基本回路。
在连通图G中,任意选定一个树,由于树是连通的,因而移去一条树支,此树支与移去的其它连支就形成一个割集仅包含一条树支(其余为连支)的割集称为单树支割集或基本割集。
全部单树支割集组成基本割集组。
对于有n个节点的连通图,一个基本割集组中有且仅有T=n-1个基本割集。
图2.1-7(b)中,支路集{2,3,5,8}是树,割集{1,2,4}、{1,3,7}、{4,5,6,7}和{8,6,7}都是基本割集。
在有向图中还应规定基本回路和基本割集的方向。
我们选定,基本回路的方向与该回路中连支的方向一致;基本割集的方向与该割集中树支的方向一致,如图2.1-8所示。
三、KCL和KVL的独立方程
设某电路的拓扑图如图2.1-9(a)所示,对其各节点和支路分别编号,支路的参考方向(即支路电流的方向,支路电压取关联参考方向)如图所示。
对于节点a、b、c、d可列出KCL方程(电流流出节点取“+”号,流入取“-”号)为
i1+i2+i4=0
-i2+i3+i5=0
-i1-i3+-i6=0
–i4–i5–i6=0
在以上方程组中,每一个支路电流都出现两次,其前面的符号一次为“+”,另一次为“-”,这是因为每一个支路都连接2个节点,支路电流必从一个节点流出,而从另一节点流入。
因此,将以上其中的任意3个方程相加,就得到另一个方程。
也就是说,式(2.1-3)中的4个方程中,最多有3个是相互独立的。
如果取图2.1-9(a)中的树为{4,5,6},如图(b)所示,容易看出,与节点a、b、c相连的支路集{1,2,4}、{2,3,5}、{1,3,6}都是基本割集。
由于每个基本割集都包含一条其它基本割集所不包含的树支,因此,按KCL所列的基本割集的电流方程是互相独立的。
也就是说,图2.1-9(a)的方程式(2.1-3)中有3个方程是互相独立的。
对于有n个节点的连通图,有n-1个基本割集,因而根据KCL可列出n-1个独立方程。
由于按KCL列写基本割集电流方程需要选树和确定基本割集,手续较繁,因而在电路分析中,通常都列写节点电流方程。
可以证明,对于有n个节点的连通图,任选n-1个节点所列的KCL方程都是独立的。
这些方程所对应的节点称为独立节点,另外一个节点选为参考节点。
对于图2.1-9(a)的连通图,若选树支为{4,5,6},如图2.1-10中实线所示,则支路{1,2,3}为连支(图中虚线所示)。
于是有基本回路{1,6,4}、{2,5,4}、{3,6,5},将它们分别编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ,选基本回路方向与连支方向一致。
按KVL,可列出回路电压方程(支路电压与回路方向一致取“+”号,支路电压与回路方向相反取“-”号)为
u1-u4+u6=0
u2-u4+u6=0
-u3-u5+u6=0
由于每个基本回路都包含一条其它基本回路所不包含的连支,因此,上述基本回路方程是互相独立的,即图2.1-10的基本回路方程式(2.1-4)的3个方程是互相独立的。
对于n个节点,b条支路的连通图,有L=b-n+1个基本回路,根据KVL可列出L=b-n+1个相互独立的电压方程。
在电路分析中,对于平面图,也常根据KVL列写网孔方程。
可以证明,平面电路中网孔数为b-n+1个,按KVL所列写的网孔电压方程也是相互独立的。
2.22b法和支路法
一、2b法
对一个具有b条支路和n个节点的电路,当以支路电压和支路电流为变量列写方程时,共有2b个未知变量。
根据KCL可列出(n-1)个独立方程;根据KVL可列出(b-n+1)个独立方程;根据元件的伏安关系,每条支路又可列出b个支路电压和电流关系方程。
于是所列出的2b个方程,足以用来求解b个支路电压和b个支路电流。
这种选取未知变量列方程求解电路的方法称为2b法。
下面通过一个示例来介绍它的具体步骤。
设有如图2.2-1(a)的电路,其各电源和电阻均已知。
我们把R1和受控源ri2的串联组合、R4与电压源的串联组合以及R6与电流源的并联组合各看作为一条支路。
这样,图2.2-1(a)便有4个节点,6条支路,其拓扑图如图(b)所示。
各支路电流与电压均为关联参考方向,图(a)所标示。
图2.2-1(b)的独立节点数为n-1=3。
选节点a、b、c为独立节点,根据KCL可列得电流方程为
i1+i3-i4=0
-i2+i3+i5=0
-i1–i3+i6=0
这样,共得到6个独立方程
u1=R1i1+ri2
u2=R2i2
u3=R3i3
u4=R4i4-uS4
u5=R5i5
u6=R6(i6+iS6)=R6i+R6is6
6条支路共列出6个方程,显然,它们是独立的。
这样,图2.2-1(a)的电路共有12个未知量,恰有12个独立方程。
求解方程式(2.2-1)、(2.2-2)和(2.2-3),就可求得各支路电压和电流。
二、支路法
如果以支路电流(或电压)为电路变量列出方程,求解支路电流(或电压),则称为支路电流(或电压)法。
下面主要介绍支路电流法。
以图2.2-1(a)为例。
将式(2.2-3)的各支路电压代入式(2.2-2),消去各电压变量得
R1i1+ri2-R3i3-R2i2=0
R2i2+R5i5+R4i4-us4=0
R3i3+R6i6+R6is6-R5i5=0
整理后,可得
R1i1+(r-R2)i2-R3i3=0
R2i2+R4i4+R5i5=us4
R3i3+R6i6-R5i5=-R6is6
综上所述,支路电流法列写电路方程的步骤为:
(1)选定各支路电流的参考方向;
(2)对(n-1)个独立节点,按KCL列出电流方程;
(3)选定(b-n+1)个独立回路,指定回路绕行方向,根据KVL,按式(2.2-5)的形式列出电压方程。
支路电流法共有b个方程,能直接解得b个支路电流,这比2b法方便了许多。
不过支路电流法要求每一条支路的电压都能用支路电流来表示,否则就难以写成如式(2.2-5)的形式。
例2.2-1如图2.2-2的电路,求各支路电流。
解图2.2-2的电路中,如将电压源(受控电压源)与电阻的串联组合看作是1条支路,则该电路共有2个节点,3条支路。
用支路电流法可列出1个KCL方程,2个KVL方程。
选节点a为独立节点,可列出KCL方程为
-i1+i2+i3=0(2.2-6a)
选网孔为独立回路,如图所示。
可列出KVL方程为
3i1+i2=9
-i2+2i3=-2.5i1(2.2-6b)
或写为
2.5i1-i2+2i3=0(2.2-6c)
由式(2.2-6)的3个方程可解得i1=2A,i2=3A,i3=-1A。
例2.2-2如图2.2-3(a)的电路,求电流i1、i5和电压u2、u2。
解在图2.2-3(a)的电路中,我们把us与R1的串联组合看作是1条支路,把受控源和R5分别看作是2条支路。
这样,共有5条支路,3个节点。
因而可列出2个KCL方程和3个KVL方程选节点a和b为独立节点,可列出KCL方程为
-i1–i2+i3=0
-i3+i4+i5=0
考虑到i2=iS,i4=-0.5i1,将它们代入上式得
-i1+i3=iS
-0.5i1-i3+i5=0(2.2-7)
可见,由于电路中有无伴独立电流源和受控电流源存在,5个支路电流变量中,有的是已知量(iS),有的是非独立的(i4=-0.5i1),从而只剩下3个未知量i1、i3和i5。
不过电流源和受控电流源的端电压u2和u4无法用支路电流表示,因而只能当作未知量对待。
这样,仍是5个未知量。
选网孔为独立回路,并设电流源和受控源的端电压u2、u4为未知量,根据KVL可列出回路Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的电压方程为
R1i1-u2=us
u2+R3i3=0
-u2+R5i5=0
i1+i3=5
0.5i1-i3+i5=0
i1-u2=10
u2+2i3+u4=0
-u4+3i5=0
实际上,对于不太复杂的含有无伴电流源(或受控电流源)支路的电路,如果读者熟悉KCL和KVL(特别要注意参考方向),用它直接求解本例是比较简便的。
根据KCL,由图2.2-3(a)可直接看出,i3=i1+5,i5=i1+5+0.5i1=1.5i1+5,即式(2.2-7)的关系,如图2.2-3(b)所示。
复习思考题、作业题
•P12:
•1.1(4);1.2(4);1.3(3);1.4(3)
•1.5(3);1.6(4);1.7(4);1.8(3)
•1.9
(2)
下次课
预习
要点
回路法和网孔分析法。
实施
情况及
分析
教学进展良好,大部分同学都能掌握主要的概念