电路基础教案1.docx

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电路基础教案1

教案首页

第__1__次（单元）课授课时间：

2006.2.27

课程名称

电路基础

专业班级

层次

高职

授课教师

职称

课型（大、小）

小

学时

2

授课题目（章、节）

第一章

授课方式

理论课（理论课；讨论课；实验课；实习/实训课；其他）

教材及主要参考书

电路基础

教学目的与要求：

1．深刻理解、牢固掌握电路的基本概念、基本定律和常用定理。

2.掌握直流电路中回路和支路概念，掌握KCL和KVL的基本应用，对支路电流法有深层次的应用。

教学过程设计（内容、时间安排、教学方法等）：

直流电路的概述部分安排大约30分钟；

支路电流部分安排1小时。

采用多媒体教学，老师授课。

教学重点、难点：

重点：

KCL、KVL，支路电流等解析方法。

难点：

采用这些定理进行电路的分析。

教研室审阅意见：

教研室主任签名：

年月日

第2章电阻电路分析

2.1图与电路方程

一、图

如前（1.3节）所述，当仅研究电路中各元件的相互连接关系时，一个二端元件可用一条线段来表示，称为支路；各支路的连接点画为黑点，称为节点（或结点），这样，就能画出与原电路图相对应的线形图或拓扑图，简称为图。

有时为了方便，也可把某些元件的串联组合（如数个电阻串联或电压源与电阻串联等）或并联组合（如数个电阻并联或电流源与电阻并联等）当作一条支路来看待。

这里用图论图论是研究点和线连接关系的一门学问，是数学的一个分支。

的一些知识来研究元件相互连接的规律性。

图是节点和支路（图论中分别常称为顶点和边）的集合。

每条支路的两端都必须连接到相应的节点上。

移去一条支路并不把它相应的节点移去；而移去一个节点，则应当把与该节点相连的全部支路都同时移去。

所以，图中不能有不与节点相连的支路，但可以有孤立的节点，如图2.1-1（a）所示。

全部节点都被支路所连通的图称为连通图，否则称为非连通图。

图2.1-1（a）是非连通图，由图可知，它由相互分离的四个部分组成，称其分离度ρ=4；图2.1-1（b）是连通图，其分离度ρ=1。

我们主要关心的是连通图。

全部支路都标有方向对于不同的问题，支路方向的含义也不同。

单向通行的道路、信号流图等，其中的方向表示只能按箭头方向运动，不能作反方向运动。

我们这里的方向是支路电流的参考方向。

的图称为有向图（如图2.1-1（b））,否则称为无向图。

如果有一个图G，从图G中去掉某些支路和某些节点所形成的图H，称为图G的子图。

显然，子图H的所有支路和节点都包含在图G中。

因此，子图可定义为，包含在图G内的图H称为图G的子图。

例如，图2.1-2（b）和（c）都是图（a）中图G的子图。

能够画在一个平面上，并且除端点外所有支路都没有交叉的图称为平面图，否则称为非平面图。

图2.1-3（a），无论把支路伸缩或是把支路拉伸到外侧，要想把该图画在平面上，而各支路都不交叉是不可能的，因而它是非平面图。

对于图2.1-3（b），只要将支路2和3拉伸到外侧，如图2.1-3（c），则各支路都不交叉，因而图（b）是平面图。

二、回路、割集、树

1.回路

与某一节点相连的支路数称为该节点的次数或度数。

如图2.1-4中，节点a的次数为3，节点b的次数为4。

在图中，从某一节点（可称为始点）出发，连续经过一些支路和节点，且各节点只经过一次（显然，其所经支路也只经过一次），最后到达另一节点（终点）的支路序列称为路径。

图2.1-4中支路序列{1}，{2，3}，{4，8，7}，{4，5，6，7}等都是节点a至c的路径。

显然，路径中始节点和终节点的次数为1，其余节点的次数为2。

一个闭合路径，即始节点和终节点为同一节点的路径，称为回路。

这样，始节点以及终节点的次数也为2。

因此，回路可定义为：

全部节点的次数均为2的连通子图称为回路。

图2.1-4中，支路集{1，3，2}、{1，3，5，4}、{2，5，4}、{2，3，7，8，4}等都是图G的回路。

在平面图中，构成回路的各支路围成一个区域。

在区域内部不包含支路和节点的回路常称为网孔。

图2.1-4中，{1，3，2}、{2，5，4}、{5，6，8}、{3，7，6}都是网孔。

支路集{1，7，8，4}称为外网孔，因为如果将平面图G画在球面上，则从另一侧看去，支路集{1，7，8，4}也将围成一个区域，且该区域中没有其它支路和节点。

2.割集

在连通图G中，这样的支路集S称为割集，若从图G中移去（或割断）属于S的所有支路，则图G恰好被分成两个互相分离的部分，但只要少移去其中的一条支路，则图仍然是连通的。

割集可定义为：

把连通图分割为两个连通子图所需移去的最少支路集。

图2.1-5中，支路集{1，2，4}、{2，3，6，5}、{4，5，6，3，1}、{4，5，6，7}等都是割集，如图中的虚线所示。

3.树

树是图论中一个非常重要的概念。

包含连通图G中的所有节点，但不包含回路的连通子图，称为图G的树。

图2.1-6中画出了图G（图（a）所示）的几种树（如图（b））。

可见，同一个图有许多种树。

图G中，组成树的支路称为树支，不属于树的支路称为连支。

例如图2.1-6中，若选树支为{4，5，6，7}，则支路{1，2，3，8}为连支。

一个有n个节点，b条支路的连通图G，其任何一个树的树支数

T=n-1（2.1-1）

对应于任一棵树的连支数

L=b-T=b-n+1（2.1-2）

这是因为，若把图G的n个节点连接成一棵树时，第一条支路连接2个节点，此后每增加1条新支路就连接上1个新节点，直到把n个节点连接成树，所以树支数比节点数少1。

例如2.1-6（a）的连通图G，共有5个节点，8条支路，其树支数T=4，连支数L=4。

由树以及回路、割集的定义可知，在连通图G中，由于树是连通的，因而任何割集至少包含1条树支；由于树不包含回路，因而任何回路至少包含1条连支。

4.基本回路和基本割集

在连通图G中，任意选定一个树，由于树连接了图G的全部节点（但不包含回路），因而在树上增加一条连支，此连支与其它树支就构成一个回路。

仅包含一条连支（其余为树支）的回路称为单连支回路或基本回路。

全部单连支回路组成了基本回路组。

对于有n个节点，b条支路的连通图，一个基本回路组中有且仅有L=b-n+1个基本回路。

图2.1-7（a）中，支路{2，3，5，8}是树，回路{1，3，2}、{2，5，4}、{5，6，8}和{3，7，8，5}都是基本回路。

在连通图G中，任意选定一个树，由于树是连通的，因而移去一条树支，此树支与移去的其它连支就形成一个割集仅包含一条树支（其余为连支）的割集称为单树支割集或基本割集。

全部单树支割集组成基本割集组。

对于有n个节点的连通图，一个基本割集组中有且仅有T=n-1个基本割集。

图2.1-7（b）中，支路集{2，3，5，8}是树，割集{1，2，4}、{1，3，7}、{4，5，6，7}和{8，6，7}都是基本割集。

在有向图中还应规定基本回路和基本割集的方向。

我们选定，基本回路的方向与该回路中连支的方向一致；基本割集的方向与该割集中树支的方向一致，如图2.1-8所示。

三、KCL和KVL的独立方程

设某电路的拓扑图如图2.1-9（a）所示，对其各节点和支路分别编号，支路的参考方向（即支路电流的方向，支路电压取关联参考方向）如图所示。

对于节点a、b、c、d可列出KCL方程（电流流出节点取“+”号，流入取“-”号）为

i1+i2+i4=0

-i2+i3+i5=0

-i1-i3+-i6=0

–i4–i5–i6=0

在以上方程组中，每一个支路电流都出现两次，其前面的符号一次为“+”，另一次为“-”，这是因为每一个支路都连接2个节点，支路电流必从一个节点流出，而从另一节点流入。

因此，将以上其中的任意3个方程相加，就得到另一个方程。

也就是说，式（2.1-3）中的4个方程中，最多有3个是相互独立的。

如果取图2.1-9（a）中的树为{4，5，6}，如图（b）所示，容易看出，与节点a、b、c相连的支路集{1，2，4}、{2，3，5}、{1，3，6}都是基本割集。

由于每个基本割集都包含一条其它基本割集所不包含的树支，因此，按KCL所列的基本割集的电流方程是互相独立的。

也就是说，图2.1-9（a）的方程式（2.1-3）中有3个方程是互相独立的。

对于有n个节点的连通图，有n-1个基本割集，因而根据KCL可列出n-1个独立方程。

由于按KCL列写基本割集电流方程需要选树和确定基本割集，手续较繁，因而在电路分析中，通常都列写节点电流方程。

可以证明，对于有n个节点的连通图，任选n-1个节点所列的KCL方程都是独立的。

这些方程所对应的节点称为独立节点，另外一个节点选为参考节点。

对于图2.1-9（a）的连通图，若选树支为{4，5，6}，如图2.1-10中实线所示，则支路{1，2，3}为连支（图中虚线所示）。

于是有基本回路{1，6，4}、{2，5，4}、{3，6，5}，将它们分别编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，选基本回路方向与连支方向一致。

按KVL，可列出回路电压方程（支路电压与回路方向一致取“+”号，支路电压与回路方向相反取“-”号）为

u1-u4+u6=0

u2-u4+u6=0

-u3-u5+u6=0

由于每个基本回路都包含一条其它基本回路所不包含的连支，因此，上述基本回路方程是互相独立的，即图2.1-10的基本回路方程式（2.1-4）的3个方程是互相独立的。

对于n个节点，b条支路的连通图，有L=b－n+1个基本回路，根据KVL可列出L=b-n+1个相互独立的电压方程。

在电路分析中，对于平面图，也常根据KVL列写网孔方程。

可以证明，平面电路中网孔数为b-n+1个，按KVL所列写的网孔电压方程也是相互独立的。

2.22b法和支路法

一、2b法

对一个具有b条支路和n个节点的电路，当以支路电压和支路电流为变量列写方程时，共有2b个未知变量。

根据KCL可列出（n-1）个独立方程；根据KVL可列出（b-n+1）个独立方程；根据元件的伏安关系，每条支路又可列出b个支路电压和电流关系方程。

于是所列出的2b个方程，足以用来求解b个支路电压和b个支路电流。

这种选取未知变量列方程求解电路的方法称为2b法。

下面通过一个示例来介绍它的具体步骤。

设有如图2.2-1（a）的电路，其各电源和电阻均已知。

我们把R1和受控源ri2的串联组合、R4与电压源的串联组合以及R6与电流源的并联组合各看作为一条支路。

这样，图2.2-1（a）便有4个节点，6条支路，其拓扑图如图（b）所示。

各支路电流与电压均为关联参考方向，图（a）所标示。

图2.2-1（b）的独立节点数为n-1=3。

选节点a、b、c为独立节点，根据KCL可列得电流方程为

i1+i3-i4=0

-i2+i3+i5=0

-i1–i3+i6=0

这样，共得到6个独立方程

u1=R1i1+ri2

u2=R2i2

u3=R3i3

u4=R4i4-uS4

u5=R5i5

u6=R6（i6+iS6）=R6i+R6is6

6条支路共列出6个方程，显然，它们是独立的。

这样，图2.2-1（a）的电路共有12个未知量，恰有12个独立方程。

求解方程式（2.2-1）、（2.2-2）和（2.2-3），就可求得各支路电压和电流。

二、支路法

如果以支路电流（或电压）为电路变量列出方程，求解支路电流（或电压），则称为支路电流（或电压）法。

下面主要介绍支路电流法。

以图2.2-1（a）为例。

将式（2.2-3）的各支路电压代入式（2.2-2）,消去各电压变量得

R1i1+ri2-R3i3-R2i2=0

R2i2+R5i5+R4i4-us4=0

R3i3+R6i6+R6is6-R5i5=0

整理后，可得

R1i1+（r-R2）i2-R3i3=0

R2i2+R4i4+R5i5=us4

R3i3+R6i6-R5i5=-R6is6

综上所述，支路电流法列写电路方程的步骤为：

（1）选定各支路电流的参考方向；

（2）对（n-1）个独立节点，按KCL列出电流方程；

（3）选定（b-n+1）个独立回路，指定回路绕行方向，根据KVL，按式（2.2-5）的形式列出电压方程。

支路电流法共有b个方程，能直接解得b个支路电流，这比2b法方便了许多。

不过支路电流法要求每一条支路的电压都能用支路电流来表示，否则就难以写成如式（2.2-5）的形式。

例2.2-1如图2.2-2的电路，求各支路电流。

解图2.2-2的电路中，如将电压源（受控电压源）与电阻的串联组合看作是1条支路，则该电路共有2个节点，3条支路。

用支路电流法可列出1个KCL方程，2个KVL方程。

选节点a为独立节点，可列出KCL方程为

－i1+i2+i3=0（2.2-6a）

选网孔为独立回路，如图所示。

可列出KVL方程为

３i1+i2=9

－i2+2i3=－2.5i1（2.2-6b）

或写为

2.5i1－i2+2i3=0（2.2-6c）

由式（2.2-6）的３个方程可解得i1=2A,i2=3A,i3=－1A。

例2.2-2如图2.2-3（a）的电路，求电流i1、i5和电压u2、u2。

解在图2.2-3（a）的电路中，我们把us与R1的串联组合看作是１条支路，把受控源和R5分别看作是２条支路。

这样，共有５条支路，３个节点。

因而可列出２个KCL方程和３个KVL方程选节点a和b为独立节点，可列出KCL方程为

-i1–i2+i3=0

-i3+i4+i5=0

考虑到i2=iS，i4=-0.5i1，将它们代入上式得

-i1+i3=iS

-0.5i1-i3+i5=0（2.2-7）

可见，由于电路中有无伴独立电流源和受控电流源存在，５个支路电流变量中，有的是已知量（iS），有的是非独立的（i4=-0.5i1），从而只剩下３个未知量i1、i3和i5。

不过电流源和受控电流源的端电压u2和u4无法用支路电流表示，因而只能当作未知量对待。

这样，仍是５个未知量。

选网孔为独立回路，并设电流源和受控源的端电压u2、u4为未知量，根据KVL可列出回路Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的电压方程为

R1i1-u2=us

u2+R3i3=0

-u2+R5i5=0

i1+i3=5

0.5i1-i3+i5=0

i1-u2=10

u2+2i3+u4=0

-u4+3i5=0

实际上，对于不太复杂的含有无伴电流源（或受控电流源）支路的电路，如果读者熟悉KCL和KVL（特别要注意参考方向），用它直接求解本例是比较简便的。

根据KCL，由图2.2-3（a）可直接看出，i3=i1+5，i5=i1+5+0.5i1=1.5i1+5，即式（2.2-7）的关系，如图2.2-3（b）所示。

复习思考题、作业题

•P12:

•1.1（4）;1.2（4）;1.3（3）;1.4（3）

•1.5（3）;1.6（4）;1.7（4）;1.8（3）

•1.9

（2）

下次课

预习

要点

回路法和网孔分析法。

实施

情况及

分析

教学进展良好，大部分同学都能掌握主要的概念