小学数学五年级上学期思维训练卷.docx

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小学数学五年级上学期思维训练卷

第一讲归一问题

（一）

为什么把有的问题叫归一问题？

我国珠算除法中有一种方法，称为归除法。

除数是几，就称几归；除数是8，就称为8归。

而归一的意思，就是用除法求出单一量，这大概就是归一说法的来历吧！

归一问题有两种基本类型。

一种是正归一，也称为直进归一。

如：

一辆汽车3小时行150千米，照这样，7小时行驶多少千米？

另一种是反归一，也称为返回归一。

如：

修路队6小时修路180千米，照这样，修路240千米需几小时？

正、反归一问题的相同点是：

一般情况下第一步先求出单一量；不同点在第二步。

正归一问题是求几个单一量是多少，反归一是求包含多少个单一量。

例1.一只小蜗牛6分钟爬行12分米，照这样速度1小时爬行多少米？

分析：

为了求出蜗牛1小时爬多少米，必须先求出1分钟爬多少分米，即蜗牛的速度，然后以这个数目为依据按要求算出结果。

解：

①小蜗牛每分钟爬行多少分米？

12÷6=2（分米）

②1小时爬几米？

1小时=60分。

2×60=120（分米）=12（米）

答：

小蜗牛1小时爬行12米。

练习与作业

1.一种钢轨，4根共重1900千克，现在有95000千克钢，可以制造这种钢轨多少根？

（损耗忽略不计）

2.王家养了5头奶牛，7天产牛奶630千克，照这样计算，8头奶牛15天可产牛奶多少千克？

3.三台同样的磨面机2.5时可以磨面粉2400千克，8台这样的磨面机磨25600千克面粉需要多少时间？

4.4辆大卡车运沙土，7趟共运走沙土336吨。

现在有沙土420吨，要求5趟运完。

问：

需要增加同样的卡车多少辆？

第二讲归一问题

（二）

例2．一个粮食加工厂要磨面粉20000千克。

3小时磨了6000千克。

照这样计算，磨完剩下的面粉还要几小时？

方法1：

分析通过3小时磨6000千克，可以求出1小时磨粉数量。

问题求磨完剩下的要几小时，所以剩下的量除以1小时磨的数量，得到问题所求。

解：

（20000-6000）÷（6000÷3）=7（小时）

例3.学校买来一些足球和篮球。

已知买3个足球和5个篮球共花了281元；买3个足球和7个篮球共花了355元。

现在要买5个足球、4个篮球共花多少元？

分析要求5个足球和4个篮球共花多少元，关键在于先求出每个足球和每个篮球各多少元。

根据已知条件分析出第一次和第二次买的足球个数相等，而篮球相差7-5＝2（个），总价差355-281＝74（元）。

74元正好是两个篮球的价钱，从而可以求出一个篮球的价钱，一个足球的价钱也可以随之求出，使问题得解。

解：

①一个篮球的价钱：

（355-281）÷（7-5）=37元；②一个足球的价钱：

（281-37×5）÷3＝32（元）；③共花多少元？

32×5＋37×4=308（元）；答：

买5个足球，4个篮球共花308元。

练习与作业

1.一项工程，8个人工作15时可以完成，如果12个人工作，多少小时可以完成？

2.一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行60千米，5时到达。

若要4时到达，则每小时需要多行多少千米？

3.修一条公路，原计划60人工作，80天完成。

现在工作20天后，又增加了30人，这样剩下的部分再用多少天可以完成？

4.一只小蜗牛6分钟爬行12分米，照这样速度1小时爬行多少米？

第三讲定义新运算

（一）

我们学过的常用运算有：

＋、－、×、÷等。

如：

2＋3＝5，2×3＝6，都是2和3，为什么运算结果不同呢？

主要是运算方式不同，实际是对应法则不同。

可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算。

当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。

只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算。

在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同。

例1.设a、b都表示数，规定a△b＝3×a—2×b，①求3△2，2△3；②这个运算“△”有交换律吗？

③求（17△6）△2，17△（6△2）；

分析解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：

用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍。

解：

①3△2＝3×3-2×2＝9-4＝5，2△3＝3×2－2×3＝6－6＝0。

②由①的例子可知“△”没有交换律。

③要计算（17△6）△2，先计算括号内的数，有：

17△6＝3×17-2×6＝39；再计算第二步，39△2＝3×39-2×2＝113，所以（17△6）△2＝113。

对于17△（6△2），同样先计算括号内的数，6△2＝3×6-2×2＝14，其次17△14＝3×17－2×14＝23，所以17△（6△2）＝23。

练习与作业

1.对于任意数a，b，定义运算“*”：

a*b=a×b-a-b。

求12*4的值。

2.对于任意数a，b，定义运算“*”：

a*b=a×b-a-b。

求13*5的值。

3.a、b都表示数，规定a△b＝3×a—2×b，求3△2；

4.设a、b都表示数，规定a△b＝3×a—2×b，求2△3；

第四讲定义新运算

（二）

例2.定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；②求12※（3※4），（12※3）※4；③这个运算“※”有交换律、结合律吗？

④如果3※（5※x）＝3，求x。

解：

①5※7＝5×7－（5＋7）＝35-12＝23，7※5＝7×5－（7＋5）＝35-12＝23。

②要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：

3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以12※（3※4）＝43。

对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※3）※4＝59。

③由于a※b＝a×b－（a＋b）；b※a＝b×a－（b＋a）＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交换律），所以有a※b＝b※a，因此“※”有交换律。

由②的例子可知，运算“※”没有结合律。

④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－5；3※（5※x）＝3※（4x－5）＝3（4x－5）－（3＋4x－5）＝12x－15－（4x－2）＝8x－13，那么8x－13＝3，解出x＝2。

练习与作业

1.规定：

6*2=6＋66=72，2*3=2＋22＋222=246，1*4=1＋11＋111＋1111=1234。

求7*5。

2.规定a*b=（b＋a）×b，求（2*3）*5。

3.有一个数学运算符号“

”，使下列等式成立：

，

，

，

，求

5.定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b），求5※7，7※5；

第五讲周期性问题

（一）

在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现。

如：

人调查十二生肖：

鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪；一年有春夏秋冬四个季节；一个星期有七天等。

像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题，我们称为简单周期问题。

这类问题一般要利用余数的知识来解决。

在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，如果正好有个整数周期，结果为周期里的最后一个；如果不是从第一个开始循环，利用除法算式求出余数，最后根据余数的大小得出正确的结果。

例.某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期几？

分析与解：

因为7

4=28，由某年二月份有五个星期日，所以这年二月份应是29天，且2月1日与2月29日均为星期日，3月1日是星期一，所以从这年3月1日起到这年6月1日共经过了31+30+31+1=93（天）。

因为937=13…2，所以这年6月1日是星期二。

练习与作业

1.某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期几？

2.1989年12月5日是星期二,那么再过十年的12月5日是星期几？

3.按下面摆法摆80个三角形,有几个白色的？

……

4.节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯.也就是说,从第一盏白灯起,每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯,小明想第73盏灯是什么颜色的灯？

第六讲周期性问题

（二）

解答周期问题的关键是发现规律、找出周期，找准一个完整的变化周期后，然后用总量除以周期。

若正好有整数个周期，那么结果为周期里的最后一个；若包含整数个周期多几个，则为下一个周期里的第几个；如果不是从第一个开始循环，那么就要从总量里去掉不参加循环的个数后，再继续算。

例.时针现在表示的时间是14时正，那么分针旋转1991周后，时针表示的时间是什么时间？

分针旋转一周为1小时，旋转1991周为1991小时。

一天24小时，1991

24=82……23，1991小时共82天又23小时。

现在是14时正，经过82天仍然是14时正，再过23小时，正好是13时。

[注]在圆面上，沿着圆周把1到12的整数等距排成一个圈，再加上一根长针和一根短针，就组成了我们天天见到的钟面。

钟面虽然是那么的简单平常，但在钟面上却包含着十分有趣的数学问题。

周期现象就是其中的一个重要方面。

练习与作业

1.把分数

化成小数后，小数点第110位上的数字是什么？

2.循环小数

与

.这两个循环小数在小数点后第几位首次同时出现在该位中的数字都是7？

3.1992年1月18日是星期六，再过十年的1月18日是星期几？

4.黑珠、白珠共102颗，穿成一串，排列如下图：

○●○○○●○○○●○○○……

5.这串珠子中，最后一颗珠子应该是_____色的，这种颜色的珠子在这串中共有_____颗。

第七讲页码和数字串

当你拿到这一本新书时，也许你迫不及待做的第一件事便是翻看它的总页码。

大家都知道，每本书都要编页码，下面是几道关于书本页码的问题。

例1.第七册数学课本共131页。

在这本书的页码中，试问

（1）共用了多少个数字？

（2）数字1在页码中共出现了多少次？

分析：

（1）从1到131按数的位数分，可以分为：

一位数、两位数、三位数，它们分别有1个、2个、3个数字。

一位数：

1—9页，有9个数，共有9个数字；两位数：

10—99页，有90个数，共有180个数字；三位数：

100—131页，有32个数，共有96个数字。

所以，编印这本书的页码有多少个数字就好算了。

（2）数字1出现的次数，就是它在各个数位上出现的次数的和。

个位上：

每10个连续页码，出现十次“1”，由131+10=13…1，可见共出现13+1=14（次）“1”；十位上：

每百个连续页码，出现十次“1”，由131÷100=1……31，余下的31个数中含110～119，又在十位上出现了十次“1”，所以共出现20次“1”；百位上：

由100—131共出现了100，101，102，…，131，计32次“1”。

所以，这本书的页码中，“1”出现的次数也好算了。

练习与作业

1.排印一本100页的书的页码，共需要多少个数码？

2.排印一本200页的书的页码，共需要多少个数码？

3.排印一本256页的书的页码，共需要多少个数码？

4.一本书有200页，问：

数码1在页码中出现多少次？

5.一本书有300页，问：

数码2在页码中出现多少次？

第八讲牛吃草问题

有这样的问题.如：

牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周.那么它可供21头牛吃几周？

这类问题称为“牛吃草”问题。

解答这类问题，困难在于草的总量在变，它每天，每周都在均匀地生长，时间愈长，草的总量越多.草的总量是由两部分组成的：

①某个时间期限前草场上原有的草量；②这个时间期限后草场每天（周）生长而新增的草量.因此，必须设法找出这两个量来。

可以看出23头牛9周的总草量比27头牛6周的总草量多，多出部分相当于3周新生长的草量.为了求出一周新生长的草量，就要进行转化.27头牛6周吃草量相当于27×6＝162头牛一周吃草量（或一头牛吃162周）.23头牛9周吃草量相当于23×9=207头牛一周吃草量（或一头牛吃207周）.这样一来可以认为每周新生长的草量相当于（207-162）÷（9-6）=15头牛一周的吃草量。

需要解决的第二个问题是牧场上原有草量是多少？

用27头牛6周的总吃草量减去6周新生长的草量（即15×6=90头牛吃一周的草量）即为牧场原有草量。

所以牧场上原有草量为27×6-15×6=72头牛一周的吃草量（或者为23×9-15×9=72）。

牧场上的草21头牛几周才能吃完呢？

解决这个问题相当于把21头牛分成两部分.一部分看成专吃牧场上原有的草.另一部分看成专吃新生长的草.但是新生的草只能维持15头牛的吃草量，且始终可保持平衡（前面已分析过每周新生的草恰够15头牛吃一周）.故分出15头牛吃新生长的草，另一部分21-15=6（头）牛去吃原有的草.所以牧场上的草够吃72÷6=12（周），也就是这个牧场上的草够21头牛吃12周.问题得解。

例2.一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？

分析与解答这类问题，都有它共同的特点，即总水量随漏水的延长而增加.所以总水量是个变量.而单位时间内漏进船的水的增长量是不变的.船内原有的水量（即发现船漏水时船内已有的水量）也是不变的量.对于这个问题我们换一个角度进行分析。

如果设每个人每小时的淘水量为“1个单位”.则船内原有水量与3小时内漏水总量之和等于每人每小时淘水量×时间×人数，即1×3×10＝30.

船内原有水量与8小时漏水量之和为1×5×8=40。

每小时的漏水量等于8小时与3小时总水量之差÷时间差，即（40-30）÷（8-3）=2（即每小时漏进水量为2个单位，相当于每小时2人的淘水量）。

练习与作业

1.一牧场上的青草每天都匀速生长。

这片青草可供27头牛吃6周或供23头牛吃9周。

那么，可供21头牛吃几周？

2.牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。

这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。

问：

可供25头牛吃几天？

3.一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？

4.有一水池，池底有泉水不断涌出。

要想把水池的水抽干，10台抽水机需抽8时，8台抽水机需抽12时。

如果用6台抽水机，那么需抽多少小时？

5.一牧场上的青草每天都匀速生长。

这片青草可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周。

那么可供21头牛吃几周？

6.有一水池，池底有泉水不断涌出。

要想把水池的水抽干，10台抽水机需抽8时，8台抽水机需抽12时。

如果用6台抽水机，那么需抽多少小时？

7.有一水池，池底有泉水不断涌出。

用10部抽水机20时可以把水抽干；用15部同样的抽水机，10时可以把水抽干。

那么，用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？

8.牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长。

这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。

这个牧场上的草可供30头牛吃多少天。

第十讲图形的分割与组合

例1.把下面的图形剪成两块，然后分别拼成一个正方形。

解：

关键是把每个图中不是直角的部分进行剪拼成直角，拼法如下图。

例2.下面的图形剪两刀，可以拼成一个正方形。

想一想，怎么剪？

解：

剪法如下图所示：

沿虚线剪开拼成

沿虚线剪开拼成

也可以沿虚线剪开拼成

练习与作业

1.请将图1分成四个大小相等、形状相同的图形。

2.请将图2分成四个大小相等、形状相同的图形。

3.请将图3分成四个大小相等、形状相同的图形。

4.请将图4分成四个大小相等、形状相同的图形。

5.请将图8分成五个大小相等、形状相同的图形。

第十一讲三角形的面积

（一）

用直线组成的图形，都可以划分成若干个三角形来计算面积。

三角形面积的计算公式是：

三角形面积=底×高÷2。

这个公式是许多面积计算的基础.因此我们不仅要掌握这一公式，而且要会灵活运用。

例1.右图中BD长是4，DC长是2，那么三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍呢？

解：

三角形ABD与三角形ADC的高相同。

三角形ABD面积=4×高÷2。

三角形ADC面积=2×高÷2。

因此三角形ABD的面积是三角形ADC面积的2倍。

注意：

三角形的任意一边都可以看作是底，这条边上的高就是三角形的高，所以每个三角形都可看成有三个底，和相应的三条高。

练习与作业

1.如下左图中，已知BD长是2，DC长是3，E是AD的中点，如果三角形ABD面积是5，那么三角形DEC面积是多少？

2.如上右图所示，BC长为5，求画阴影线的两个三角形的面积之和。

3.如下左图，长方形的长是8，宽是6，A和B是宽的中点，求长方形内阴影部分的面积。

4.如前页下右图，已知四条线段的长度，并且有两个直角，求四边形ABCD（阴影部分）的面积。

第十二讲三角形的面积

（二）

例1.右图中长方形的长是20，宽是12，求它的内部阴影部分面积。

解：

ABEF也是一个长方形，它内部的三个三角形阴影部分高都与BE一样长。

而三个三角形底边的长加起来，就是FE的长。

因此这三个三角形的面积之和是FE×BE÷2，它恰好是长方形ABEF面积的一半。

同样道理，FECD也是长方形，它内部三个三角形（阴影部分）面积之和是它的面积的一半。

因此所有阴影的面积是长方形ABCD面积的一半，也就是20×12÷2＝120。

通过方格纸，我们还可以从另一个途径来求解。

当我们画出中间两个三角形的高线，把每个三角形分成两个直角三角形后，图中每个直角三角形都是某个长方形的一半，而长方形ABCD是由这若干个长方形拼成。

因此所有这些直角三角形（阴影部分）的面积之和是长方形ABCD面积的的一半。

练习与作业

1.如图，在5×8的长方形内有一个阴影三角形，计算这个三角形的面积。

2.如图，ABCD是长方形，其中AB＝8，AE=6，ED=3.并且F是线段BE的中点，G是线段FC的中点。

求三角形DFG（阴影部分）的面积。

3.在下图的平行四边形ABCD中，E，F分别是所在边的中点。

问：

与△BFC面积相等的三角形有哪些？

4.如图的△ABC中，CE=2AE，BD=3DC，已知△DEC的面积是4cm2，求△ABC的面积。

第十三讲格点与面积

图形内的格点数与它周界上的格点数的一半的和（N+L/2）与它的面积S的差永远恰好是1。

例1.如下图，计算下列各个格点多边形的面积。

分析：

本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了。

解：

第

（1）图是正方形，边长是4，所以面积是4×4=16（面积单位）。

第

（2）图是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5×3=15（面积单位）。

第（3）图是三角形，底是5，高是4，所以面积是5×4÷2=10（面积单位）。

第（4）图是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5×3=15（面积单位）。

第（5）图是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是（3+5）×3÷2=12（面积单位）。

第（6）图是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是（3＋6）×4÷2=18（面积单位）。

练习与作业

1.如下图，计算下列各个格点多边形的面积。

2.如下图（a），计算这个格点多边形的面积。

3.如右图，计算这个格点多边形的面积

第十四讲双人对弈

在对抗性的游戏中，人人都想取胜，如果你能利用数学中的原理和方法，正确、合理地选择“作战”策略，那么你就能在一些“双人对弈”的游戏中，立于不败之地，做一名“常胜将军”。

例1.两人轮流报数，但报出的数只能是1至8的自然数，同时把所报数一一累加起来，谁先使这个累加和达到80，谁就获胜。

问怎样才能确保获胜？

分析与解这个问题可以倒着想，要想使总和达到80，应该最后给对方留下多少个数呢？

由于每个人报的数最大是8，最小是1，因此对方最后一次报完数后，总和最大是79，最小是72，所以最后一次应该给对方留下9个数，也就是说要先达到80，就必须先达到71。

如何抢到71这个数呢？

采用同样的分析方法可知，应先达到62，依此类推，可以得到每次报数应占领的“制高点”是：

80，71，62，53，44，35，26，17，8。

因此获胜的策略是：

（1）先报8；

（2）每次对方报a（1≤a≤8），你就报9-a。

这样，每次你都能占领一个“制高点”，以确保获胜。

当然，如果对方一定要先报数，那么你可以利用对方不懂得这个秘诀的条件，去占领下一个“制高点”，从而确保获胜。

练习与作业

1.两人轮流报数，但报出的数只能是1至8的自然数，同时把所报数一一累加起来，谁先使这个累加和达到79，谁就获胜。

问怎样才能确保获胜？

2.两人轮流报数，但报出的数只能是1至6的自然数，同时把所报数一一累加起来，谁先使这个累加和达到79，谁就获胜。

问怎样才能确保获胜？

3.两人轮流报数，但报出的数只能是1至3的自然数，同时把所报数一一累加起来，谁先使这个累加和达到65，谁就获胜。

问怎样才能确保获胜？

4.两人轮流报数，但报出的数不得超过5，至少是1，两人把所报的数一一累加起来，谁先报到50谁获胜，谁必胜。

（填先报者或后报者）