初一 第三讲一元一次方程的应用题.docx

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初一第三讲一元一次方程的应用题

一元一次方程应用题

归类汇集：

行程问题，工程问题，和差倍分问题（生产、做工等各类问题），调配问题，

分配问题，配套问题，增长率问题数字问题，方案设计与成本分析等问题。

一、列方程解应用题的一般步骤（解题思路）

（1）审—审题：

认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系）．

（2）设—设出未知数：

根据提问，巧设未知数．

（3）列—列出方程：

设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系

列出方程．

（4）解——解方程：

解所列的方程，求出未知数的值．

（5）答—检验，写答案：

检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，

检验后写出答案．（注意带上单位）

知识点1.和、差、倍、分问题：

（1）倍数关系：

通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现.

（2）多少关系：

通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.

两数和＝较大的数+较小的数，较大的数＝较小的数×倍数±增（或减）数；

（3）此类题既可表示运算关系，又可表示相等关系，要结合题意特别注意题目中的关键词语的含义，如相等、和差、几倍、几分之几、多、少、快、慢等，它们能指导我们正确地列出代数式或方程式。

增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量

【例题1】：

某粮库装粮食，第一个仓库是第二个仓库存粮的3倍，如果从第一个仓库中取出20吨放入第二个仓库中，第二个仓库中的粮食是第一个中的

。

问每个仓库各有多少粮食？

【练习1】：

民航规定：

乘坐飞机普通舱旅客一人最多可免费携带20千克行李，超过部分每千克按飞机票价的1.5％购买行李票。

一名旅客带了35千克行李乘机，机票连同行李费共付了1323元，求该旅客的机票票价。

【练习2】：

某饮料店的A种果汁比B种果汁贵1元，小明和他的四位朋友共要了2杯A种果汁和3杯B种果汁，一共花了17元，问这两种果汁的单价分别是多少？

知识点2.数字问题

（1）要搞清楚数的表示方法：

一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9）则这个三位数表示为：

100a+10b+c.

（2）数字问题中一些表示：

两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示。

【例题2】：

一个两位数，个位数字是十位数字的4倍，把个位数字与十位数字对调，得到的两位数比原来大54，求原数。

【练习1】：

有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49，求原数。

【练习2】：

一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数。

知识点3.等积变形问题：

（1）“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为：

①形状面积变了，周长没变；②原料体积＝成品体积.

（2）常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．

①圆柱体的体积公式：

V=底面积×高＝S·h＝

r2h②长方体的体积：

V＝长×宽×高＝abc

【例题3】：

如图所示，小明将一个正方形的纸片剪去一个宽为4厘米的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5厘米的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每个长条的面积是多少？

知识点4.劳力调配问题：

这类问题要搞清人数的变化，即调配前后总量不变，调配后双方有新的倍比关系；常见题型有：

（1）既有调入又有调出；

（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；

（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变：

【例题4】．某厂一车间有64人，二车间有56人。

现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半。

问需从第一车间调多少人到第二车间？

【例题5】：

甲队原有工人68人，乙队原有工人44人，现又有42名工人调入这两队，为了使乙队人数是甲队人数，应调往甲乙两队各多少人？

【练习1】：

甲队人数是乙队人数的2倍，从甲队调12人到乙队后，甲队剩下来的人数是原乙队人数的一半还多15人。

求甲、乙两队原有人数各多少人？

【练习2】：

某个小组中的男女生共15人，若女生减少3人则男生的人数是女生的人数的2倍，问这个小组男女生的人数各为多少？

知识点5.工程问题：

工程问题中的三个量及其关系为：

工作量＝工作效率×工作时间工作效率＝工作量÷工作时间

工作时间＝工作量÷工作效率完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1

【例题6】：

一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？

【例题7】：

一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池？

【练习1】：

某工程由甲、乙两队完成，甲队单独完成需16天，乙队单独完成需12天。

如先由甲队做4天，然后两队合做，问再做几天后可完成工程的六分之五？

【练习2】：

有一个水池，用两个水管注水。

如果单开甲管，2小时30分注满水池，如果单开乙管，5小时注满水池。

如果甲、乙两管先同时注水20分钟，然后由乙单独注水。

问还需要多少时间才能把水池注满？

【练习3】：

一项工程甲单独做需要10天，乙需要12天，丙单独做需要15天，甲、丙先做3天后，甲因事离去，乙参与工作，问还需几天完成？

【练习4】：

一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，现在由甲做4小时，剩下的部分由甲、乙合作，剩下的部分需要几小时完成？

知识点6.行程问题：

（1）行程问题中的三个基本量及其关系：

路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间

（2）基本类型有

　　　　①相遇问题；各段路程之和等于总路程

　　　　②追及问题；常见的还有：

相背而行；行船问题；环形跑道问题.

快行距＋慢行距＝原距快行距－慢行距＝原距

③航行问题顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度

逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度

抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．

相遇类型

【例题8】甲、乙两站间的路程为450千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶65千米；一列快车从乙站开出，每小时行驶85千米。

（1）两车同时开出，相向而行，多少小时相遇？

（2）快车先开30分钟，两车相向而行，慢车行驶多少小时两车相遇？

【练习1】：

王强和赵文从相距2280米的两地出发相向而行，王强每分行60米，赵文每分行80米，王强出发3分钟后赵文出发，几分钟后两人相遇？

【练习2】：

两辆车从相距360千米的两地出发相向而行，甲车先出发，每小时行60千米，1小时后乙车出发，每小时行40千米，乙车出发几小时两车相遇？

【练习3】：

两村相距35千米，甲乙二人从两村出发，相向而行，甲每小时行5千米，乙每小时行4千米，甲先出发1小时后，乙才出发，当他们相距9千米时，乙行了多长时间？

追击问题：

甲、乙二人中，慢者所行路程或时间有提前量的同向追击问题

⑴甲走的路程－乙走的路程＝提前量⑵二人所用的时间相等或有提前量

【例题9】：

甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。

（1）慢车先开出1小时，快车再开。

两车相向而行。

问快车开出多少小时后两车相遇？

（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？

　　（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？

　　（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？

　　（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？

【练习1】姐姐步行速度是75米/分，妹妹步行速度是45米/分。

在妹妹出发20分钟后，姐姐出发去追妹妹。

问：

多少分钟后能追上？

【练习2】甲、乙两人从同地出发前往某地。

甲步行，每小时走4公里，甲走了16公里后，乙骑自行车以每小时12公里的速度追赶甲，问乙出发后，几小时能追上甲？

【练习3】一列慢车从A地出发，每小时行60千米，慢车开出1小时后，快车也从A地出发，每小时速度为90千米，快车经过几小时可追上慢车？

顺水逆水问题

基本关系运用流水问题是研究船在流水中的行程问题，因此，又叫行船问题。

流水问题有如下两个基本公式：

顺水速度=船速+水速   

（1）逆水速度=船速-水速 

（2）

水速=船速-逆水速度   （3） 船速=逆水速度+水速 （4）   

船速=（顺水速度+逆水速度）÷2（5）   

水速=（顺水速度-逆水速度）÷2   （6）

【例题11】：

一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？

【例题12】一架飞机飞行在两个城市之间，风速为24千米/时.顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时.求飞机在无风时的速度及两城之间的飞行路程.

【练习1】一艘轮船航行于两地之间,顺水要用3小时,逆水要用4小时,已知船在静水中的速度是50千米/小时,求水流的速度.

【练习2】汽船从甲地顺水开往乙地，所用时间比从乙地逆水开往甲地少1.5小时。

已知船在静水的速度为18千米/小时，水流速度为2千米/小时，求甲、乙两地之间的距离？

知识点7商品销售问题：

（1）商品利润＝商品售价－商品成本价=商品标价×折扣率—商品进价

（2）商品利润率＝

×100%

（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量

（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量

（5）商品售价=商品标价×折扣率（商品打几折出售，就是按原价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原价的80%出售．）

【例题13】：

一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？

【练习1】：

某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种皮鞋进价60元一双，八折出售后商家获利润率为40%，问这种皮鞋标价是多少元？

优惠价是多少元？

【练习2】：

一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？

【练习3】：

一商店将每台彩电先按进价提高40%标出售价，然后在广告中宣传将以八折的优惠价出售，结果每台赚了300元，那么每台彩电的进价是多少元？

配套问题：

【例题16】：

某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）？

【例题17】：

机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？

【练习1】.某车间加工机轴和轴承，一个工人每天平均可加工15个机轴或10个轴承。

该车间共有80人，一根机轴和两个轴承配成一套，问应分配多少个工人加工机轴或轴承，才能使每天生产的机轴和轴承正好配套。

【练习2】、用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身15个，或制盒底42个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有108张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒？

方案选择问题

（一）阶梯水价、电价问题

【例题20】.岳池县城某居民小区的水、电、气的价格是:

水每吨1.55元,电每度0.67元,天然气每立方米1.47元.某居民户在2006年11月份支付款67.54元,其中包括用了5吨水、35度电和一些天然气的费用,还包括交给物业管理4.00元的服务费.问该居民户在2006年11月份用子多少立方米天然气?

【例题21】.下面是两种移动电话计费方式表

方式一

方式二

月租费

50元/月

0

本地通话费

0.2元/分

0.6元/分

（1）若某人一个月内在本地通话100分，选择哪一种方式比较合算？

（2）若某人一个月内在本地通话150分，选择哪一种方式比较合算？

（3）你认为如何选择会更加合算些？

【练习1】.为了鼓励居民节约用水，某市自来水公司对每户月用水量进行计费，每户每月用水量在规定吨数以下的收费标准相同；规定吨数以上的超过部分收费标准相同，以下是小明家1—4月份用水量和交费情况：

月份

1

2

3

4

用水量（吨）

8

10

12

15

费用（元）

16

20

26

35

根据表格中提供的信息，回答以下问题：

（1）求出规定吨数和两种收费标准；

（2）若小明家5月份用水20吨，则应缴多少元？

（3）若小明家6月份缴水费29元，则6月份用水多少吨？

【练习2】：

某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦时，则超过部分按基本电价的70%收费。

（1）某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求a．

（2）若该用户九月份的平均电费为0.36元，则九月份共用电多少千瓦时？

应交电费是多少元？

（二）出租车车费计算

【例题22】．我要到离家12公里的工美大厦买福娃，为了尽快到达目的地，决定乘坐出租车.出租车3公里起步价10元，行驶3公里以后，每公里收费2元（不足1公里按1公里计算；不计等候时间.）如果我计划打车总费用不超过26元钱，请你帮我算一算我乘坐出租车能不能直接到达工美大厦？

【练习1】．某地的出租车收费标准是：

起步价10元（即行驶距离不超过4千米都需付10元），超过4千米以后，每增加1千米加收1.2元（不足1千米按1千米计算）。

某人乘这种出租车下车时交付了16元车费，那么他搭乘出租车最多走了多少千米（不计等候时间）？

（三）、方案设计与成本分析：

【例题23】.我省某地生产的一种绿色蔬菜，在市场上若直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售每吨获利7500元。

当地一家农工商企业收购这种蔬菜140吨，该企业加工厂的生产能力是：

如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨，如果进行细加工，每天可以加工6吨，但两种加工方式不能同时进行。

受季节条件限制，企业必须在15天的时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕，企业研制了三种可行方案。

方案一：

将蔬菜全部进行粗加工；

方案二：

尽可能多的对蔬菜进行精加工，来不及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售；

方案三：

将一部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好用15天。

你认为哪种方案获利最多？

为什么

【例题24】.牛奶加工厂现有鲜奶8吨，若在市场上直接销售鲜奶（每天可销售8吨），每吨可获利润500元；制成酸奶销售，每加工1吨鲜奶可获利润1200元；制成奶片销售，每加工1吨鲜奶可获利润2000元．该厂的生产能力是：

若制酸奶，每天可加工3吨鲜奶；若制奶片，每天可加工1吨鲜奶；受人员和设备限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．

请你帮牛奶加工厂设计一种方案，使这8吨鲜奶既能在4天内全部销售或加工完毕，又能获得你认为最多的利润．

【练习1】育才中学需要添置某种教学仪器,方案1:

到商家购买,每件需要8元;方案2:

学校自己制作,每件4元,另外需要制作工具的月租费120元,设需要仪器x件.

（1）试用含x的代数式表示出两种方案所需的费用;

（2）当所需仪器为多少件时,两种方案所需费用一样多?

（3）当所需仪器为多少件时,选择哪种方案所需费用较少?

说明理由.

【练习2】.小明想在两种灯中选购一种，其中一种是10瓦（即0.01千瓦）的节能灯，售价50元，另一种是100瓦（即0.1千瓦）的白炽灯，售价5元，两种灯的照明效果一样，使用寿命也相同（3000小时内）节能灯售价高，但较省电，白炽灯售价低，但用电多，电费0.5元/千瓦·时

（1）照明时间500小时选哪一种灯省钱？

（2）照明时间1500小时选哪一种灯省钱？

（3）照明多少时间用两种灯费用相等？

【练习3】.根据下面的两种移动电话计费方式表，考虑下列问题

方式一

方式二

月租费

30元／月

0

本地通话费

0.30元／分钟

0.40元／分钟

（1）一个月内在本地通话200分钟，按方式一需交费多少元？

按方式二呢？

（2）对于某个本地通话时间，会出现按两种计费方式收费一样多吗？