中考数学题型复习题型七几何图形的相关证明及计算类型一倍长中线练习.docx

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中考数学题型复习题型七几何图形的相关证明及计算类型一倍长中线练习

类型一倍长中线

针对演练

1.已知：

点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E，F，点O为AC的中点．

（1）当点P与点O重合时如图①，求证OE＝OF；

（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE＝30°时，如图②、图③的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？

请写出你对图②、图③的猜想，并选择一种情况给予证明．

第1题图

2.在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，在等腰Rt△CDE中，∠CDE＝90°，DE＝DC，连接AD，F是线段AD的中点．

（1）如图①，连接BF，当点D和点E分别在边BC和AC上时，若AB＝3，CE＝2，求BF的长；

（2）如图②，连接BE、BD、EF，当∠DBE＝45°时，求证：

EF＝ED.

第2题图

3.在等腰Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CF⊥AB交AB于点F，点D在AC上，连接BD，交CF于点G，过点C作BD的垂线交BD于点H，交AB于点E；

（1）如图①，∠ABD＝∠CBD，CG＝1，求AB的长；

（2）如图②，连接AH、FH，∠AHF＝90°，求证：

HB＝AH.

第3题图

4.已知，在▱ABCD中，连接对角线AC，∠CAD的平分线AF交CD于点F，∠ACD的平分线CG交AD于点G，AF、CG交于点O，点E为BC上一点，且∠BAE＝∠GCD.

（1）如图①，若△ACD是等边三角形，OC＝2，求▱ABCD的面积；

（2）如图②，若△ACD是等腰直角三角形，∠CAD＝90°，求证：

CE＋2OF＝AC.

第4题图

5.（2017重庆江北区模拟）如图，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，其中∠ACB＝∠BDE＝90°，AC＝BC，BD＝ED，连接AE，点F是AE的中点，连接DF.

（1）如图①，若B、C、D共线，且AC＝CD＝2，求BF的长度；

（2）如图②，若A、C、F、E共线，连接CD，求证：

DC＝DF.

第5题图

6.（2017重庆南岸区模拟）在△ABC中，点D是BC上的一点，点E是△ABC外一点，且∠AEB＝90°，过点C作CF⊥AF，垂足为F，连接DE，DF.

（1）如图①，点D在AE上，D是BC中点，∠BAE＝30°，∠CAE＝45°，AB＝2，求AC的长；

（2）如图②，点D不在AE上，连接AD，延长CF至点G，连接GD且GD＝AD，若BC平分∠ABE，∠G＝∠DAB.求证：

DE＝DF.

第6题图

答案

1.解：

（1）∵AE⊥PB，CF⊥BP，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，

在△AEO和△CFO中，

∴△AOE≌△COF（AAS），

∴OE＝OF；

（2）图②中的结论为：

CF＝OE＋AE；

图③中的结论为：

CF＝OE－AE.

选图②中的结论如下：

如解图①，延长EO交CF于点G，

第1题解图①

∵AE⊥BP，CF⊥BP，

∴AE∥CF，

∴∠EAO＝∠GCO，

在△EOA和△GOC中，，

∴△EOA≌△GOC（ASA），

∴EO＝GO，AE＝GC，

在Rt△EFG中，

∴EO＝OG，

∴OE＝OF＝GO，

∵∠OFE＝30°，

∴∠OFG＝90°－30°＝60°，

∴△OFG是等边三角形，

∴OF＝GF，

∵OE＝OF，

∴OE＝FG，

∵CF＝FG＋CG，∴CF＝OE＋AE；

选图③的结论证明如下：

如解图②，延长EO交FC的延长线于点G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，

第1题解图②

∴AE∥CF，

∴∠AEO＝∠G，

在△AOE和△COG中，，

∴△AOE≌△COG（AAS），

∴OE＝OG，AE＝CG，

在Rt△EFG中，∵OE＝OG，∴OE＝OF＝OG，

∵∠OFE＝30°，

∴∠OFG＝90°－30°＝60°，

∴△OFG是等边三角形，

∴OF＝FG，

∵OE＝OF，∴OE＝FG，

∵CF＝FG－CG，

∴CF＝OE－AE.

2.

（1）解：

在等腰Rt△CDE中，

∵∠CDE＝90°，DE＝DC，CE＝2，

∴DE＝DC＝2.

∵AB＝BC＝3，

∴BD＝1，在Rt△ABD中，AD＝＝＝.

∵AF＝DF，

∴BF＝AD＝.

（2）证明：

如解图，延长EF到点N，使得FN＝EF，连接BN，AN，延长DE交AB于点M，在△AFN和△DFE中，

∴△AFN≌△DFE（SAS），

∴AN＝DE＝DC，∠FAN＝∠FDE，

∴DM∥AN，

∴∠OMB＝∠BAN.

∵∠MOB＋∠OMB＝90°，∠DOC＋∠OCD＝90°，∠MOB＝∠DOC，

∴∠OMB＝∠OCD，

∴∠BAN＝∠BCD.

在△BAN和△BCD中，，

∴△BAN≌△BCD（SAS），

∴∠ABN＝∠CBD，BN＝BD，

∴∠DBN＝∠CBA＝90°.

∵∠DBE＝45°，

∴∠EBN＝∠EBD.

∵BE＝BE，BN＝BD，

∴△BEN≌△BED（SAS），

∴DE＝EN＝2EF，∴EF＝ED.

第2题解图

3.解：

（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CF⊥AB，

∴FC＝BF，

又∵CE⊥BD，

∴∠GCH＝∠GBF，

∴△FCE≌△FBG（ASA），

∴GF＝EF，

∵∠ABD＝∠CBD，BH＝BH，∠BHC＝∠BHE，

∴△BHC≌△BHE（ASA），

∴BC＝BE，

设GF＝x，则EF＝x，BF＝CF＝x＋1，

∴BC＝EF＋BF＝2x＋1，

∵CF2＋BF2＝BC2，

∴2（x＋1）2＝（2x＋1）2，解得x1＝，x2＝－（舍去）．

∴BC＝2x＋1＝＋1，

∴AB＝BC＝2＋.

第3题解图

（2）如解图，延长HF至点M，使HM＝AH，连接AM.

∵∠AHF＝90°，

∴∠HAM＝∠HMA＝45°，AM＝AH.

∵CE⊥BD，CF⊥AB，∠CGH＝∠BGF，

∴∠CHG＝∠BFG，

∴△CHG∽△BFG，

∴＝，

∵∠CGB＝∠FGH，

∴△GBC∽△GFH，

∴∠GHF＝∠GCB＝∠45°.

∴∠GHF＝∠FMA.

∵AC＝BC，CF⊥AB，∴AF＝BF，

∵∠HFB＝∠AFM，

∴△HFB≌△MFA（AAS），

∴BH＝AM，∴BH＝AH.

4.解：

（1）∵△ACD为等边三角形，

∴∠CAD＝∠ACD＝60°.

∵AF、CG分别平分∠CAD、∠ACD，

∴∠CAF＝∠CAD＝×60°＝30°，∠ACG＝∠DCG＝×60°＝30°，且AF⊥CD，CD＝2CF，

∴∠CAO＝∠ACO＝30°，

∴AO＝CO＝2.在Rt△OCF中，

∵∠DCG＝30°，

∴OF＝OC＝×2＝1，

∴CF＝＝＝，

∴AF＝AO＋OF＝2＋1＝3，CD＝2×＝2，

∴S四边形ABCD＝CD·AF＝2×3＝6；

（2）如解图，延长OF到H，使FH＝OF，连接HD，

∴OH＝OF＋FH＝2OF.

第4题解图

∵△ACD为等腰直角三角形，AF平分∠CAD，

∴CF＝DF，AF⊥CD，

又∵∠CFO＝∠DFH，

∴△CFO≌△DFH（SAS），

∴∠OCF＝∠HDF，

∴CG∥HD，

∴∠AOG＝∠H，∠AGO＝∠ADH.

在Rt△OCF中，∠OCF＋∠COF＝90°，在Rt△ACG中，∠ACG＋∠AGC＝90°，

∵CG平分∠ACD，

∴∠ACG＝∠FCG，

∴∠COF＝∠AGC，

∴∠AOG＝∠AGC，

∴AO＝AG，∠H＝∠ADH，

∴AH＝AD，

∴AH－AO＝AD－AG，即OH＝GD，

∴2OF＝GD.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴∠BAC＝∠ACD.

∵∠BAE＝∠DCG，

∴∠BAC－∠BAE＝∠ACD－∠DCG，即∠EAC＝∠ACG，

∴AE∥CG，

∴四边形AECG为平行四边形，

∴EC＝AG.

在Rt△ACD中，AC＝AD，

∵AG＋GD＝AD，

∴CE＋2OF＝AC.

5.解：

（1）∵AC＝CD＝2，

∴DB＝DE＝4.

如解图①，过A点作AH⊥DE，垂足为H，则四边形AHDC是边长为2的正方形，

∴AH＝2，HE＝2＋4＝6，

在Rt△AHE中，AE2＝AH2＋HE2＝22＋62＝40，

在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2＝22＋22＝8，

在Rt△BDE中，BE2＝BD2＋DE2＝42＋42＝32，

∴AB2＋BE2＝AE2，

∴∠ABE＝90°，

∵BF是斜边中线，

∴BF＝AE＝.

第5题解图①

（2）如解图②，延长DF至M，使MF＝DF，连接AM，CM.

第5题解图②

∵F是AE中点，

∴AF＝EF，

∵∠AFM＝∠DFE，

∴△AMF≌△EDF（SAS），

∴AM＝DE＝BD，∠MAF＝∠DEF.

又∵∠BCE＝∠BDE＝90°，

∴∠CBD＝∠DEF，

∴∠MAC＝∠CBD，

∵AC＝BC,AM＝BD，

∴△MAC≌△DBC（SAS），

∴CM＝CD，∠ACM＝∠BCD，

∴∠MCD＝∠ACB＝90°，

∴△DCM是等腰直角三角形，

又∵DF＝FM，

∴CF⊥DM，∴DF＝CF，

∴DC2＝2DF2，∴DC＝DF.

6.证明：

（1）∵D是BC中点，

∴BD＝CD.

∵CF⊥AE，

∴∠CFA＝∠CFD＝90°.

∵∠AEB＝90°，

∴∠AEB＝∠CFD.

在△BDE和△CDF中，

∵∠E＝∠CFD，∠EDB＝∠FDC，BD＝CD，

∴△BDE≌CDF（AAS）．∴CF＝BE.

∵∠AEB＝90°，∠BAE＝30°，AB＝2，

∴BE＝1，∴CF＝1.

∵∠CFA＝90°，∠CAE＝45°，

∴AC＝CF＝.

第6题解图

（2）如解图，∵BC平分∠ABE，∴∠1＝∠2.

∵∠CFE＝∠BEF＝90°，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3.

在△ABD和△GCD中，

∵∠4＝∠G，GD＝AD，∠1＝∠3，

∴△ABD≌△GCD（AAS）．

∴BD＝CD.

延长FD交BE于点H.在△BDH和△CDF中，

∵∠2＝∠3，BD＝CD，∠HDB＝∠FDC，

∴△BDH≌△CDF（ASA），

∴DH＝DF，∴DF＝HF.

∵∠HEF＝90°，

∴DE＝HF＝DF.

即DE＝DF.