计算机辅助几何设计论文.docx
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计算机辅助几何设计论文
计算机辅助几何设计期末论文
姓名
班级
学号
、Coons曲面
1、基本概念
假定参数曲面片方程为，P（u,v）,u,v_[0,1]参数曲线P（u,0）,P（u,1）,
P（0,v）,P（1,v）称为曲面片的四条边界,P（0,0）,P（0,1）,P（1,0）,P（1,1称为曲面片的四个角点。
P（u,v）的u向和V向求偏导矢有：
龄心畔I檢小譽
分别称为u线上和v线上的切矢。
边界线P（u,0）上的切矢为：
ap（u,v）
同理，Pu（u,1）,Pv（0,v）,Pv（1,v）也是边界线上的切矢
曲面示意图
边界曲线P（u,0）上的法向（指参数v向）偏导矢:
恥,0）■警L
称为边界曲线的跨界切矢，同理，Pv（u,1）,Pu（0,v）,Pu（1,v）也是边界曲线的
跨界切矢
dv
/＞（0,0）=^
Oil
矢量。
n、护尸（心
CflfCV
称为混合偏导矢或扭矢，它反映了Pu对v的变化率或Pv对u的变化率。
同样,
称为角点的扭矢，显然，曲面片的每个角点都有这样的扭矢。
2、曲面表示法与记号
1）
曲面上的点（x,y,z）可表示为双参数u和w的函数平P（u,w）:
2）令wwo，则Pu,w0是曲面上一条以u为参数的曲线，称为u向线或u线wo的值由0变化到1，可得到一组u向线，由此构成整张曲面片，类似地，参数u由0变化到1,可得到一组w向线，同样构成了整张曲面片。
3）曲面片的四条边界曲线为P（u,0）,P（u,1）,P（0,w和P（1,w）。
4）曲面片的四个角点为P（0,0）,P（0,1）,P（1,0）和P（1,1）.
3、插值四个角点的双线性曲面
给定四个角点P（0,0）,P（0,1）,P（1,0和P（1,1）,则可按下式定义一双线性曲面Q（u,w）:
Qu,wP0,01u1wP0,11uwP1,0u1wP1,1uW（〔“
显然上式满足给定的约束条件：
Q0,0P0,0,Q0,1P0,1,Q1,0P1,0,Q1,1P1,1
4、线性插值两条边界的曲面
给定两条边界P（u,0）和P（u,1），可在其间构造一线性曲面Q1u,w:
显然，Qiu,0Pu,0,Qiu,1
Pu，1。
类似地，可构造插值与另两边界P（0,w）
和P（1,w）的线性曲面Q2u，w:
Q2u,wP0,w1up1,wu
上述两式就是用Coons方法定义的直纹面。
5、双线性Coons曲面
如果给定四条在空间围成封闭曲边四边形的参数曲线，P（u,0）,P（u,1）,
P（u,v）,u,v_[0,1]，使
问题的解有无穷多个，我们来看一种最简单的情况。
首先，在u向进行线
性插值，可以得到以P（0,v）和P（1,v）为边界的直纹面P1（u,v）,，如3.5.2（a）
（u,v）=（1-«mV）+aP（l,v）,tf,ve[0,l]
如3.5.2（a）
再在v向进行线性插值，可以得到以P（u,O）和P（u,1）为边界的直纹P2（u,v）,
如图3.5.2（b）
巴（虬巧=（1-v）P（w?
O）+vP（wJ）,u,ve[0,1]
如果把和迭加，产生的新曲面的边界是除给定的边界外，迭加了一个连
接边界两个端点的直边。
为此，我们再构造分别过端点P（0,0）、P（0,1）及
P（1,0、P（1,1）的双线性曲面
pg二（17）[（1—巧玖0,0）+仃（0」）]卡呗7）P（l,0）+vP⑴）]
容易验证卩狰总W兄沁4■號琛匕次釘:
阖Ml便是所要求构造的曲面，称
之为双线性Coons曲面片。
可进一步改写成矩阵的形式:
■o>（u,0）g.
—1
P（w7v）=-[*11—wu\
mv）尸〔0®P（0?
l）
1-V
\
/（Xv）P（L0）P（口〔
V
■■J
观察，可以发现：
对曲面片满足边界条件的要求提高一阶，曲面方程中
的边界信息矩阵就要扩大二阶，并且要多用一对调和函数；边界信息矩阵的第一行与第一列包含着全部给定边界信息；余下的子方阵则包含着角点信息。
认识了这些规律后，就能容易地构造出满足更高阶边界条件的Coons曲面方程。
、Bezier曲面
1，双三次Bezier曲面
定义一张双三次Bezier曲面需16个控制顶点，式（2.1）为该顶点
A
SAB
SBA
B
SAD
TA
TB
SBC
V
SDA
TD
TC
SCB
D
SDC
SCD
C
（2.i）
V称为定义双三次Bezier曲面的特征多边形网格，双三次Bezier曲面的形成过程如下：
1）由式（2.1）中的四个列阵生成四条三次Bezier曲线Sou卢u,S2u和S3u,表示为
3223
S0uS1uS2uS3u1u331u2u31uu2u3V
u0,1（2.2）
2）给定任一u,设u5,50,1，则可在上述四条曲线上分别得到点SoUl,
S1u1，S2u1和S3u1，它们构成了一个新的多边形，该多边形在w向定义了
一条新的三次Bezier曲线Pui,w:
（2.3）
取任意一w，如wwi，wi°」，则可求得曲线Pui，w上的一个点Pui，wi
实际上，Pu1,w1就是曲面上与参数u1,w1对应的一个点。
3）当参数u和w在0到i上的区间上遍历时，就构成了整张双三次Bezier曲面我们可以将式（2.3）表示成更一般的形式，即
式（2.4）即为双三次Bezier曲面的表达式，对该表达式做适当推导，可得到有关双三次Bezier曲面的若干结论：
（1）,特征多边形网格的四个角点的A,B,C和D落在曲面的四角，其他顶点一般不在曲面上。
（2），多边形网格的四个边界多边形定义了曲面的四条边界。
⑶,网格的四个内部顶点TA,TB,TA和TD不影响边界曲线的形状，但影响曲面的跨界切失和跨界曲率，从而影响曲面的内部形状。
⑷,SBA,SAB,•等定义了角点处沿相应参数方向的切失。
2，有理Bezier曲面
有理Bezier曲面的表达式为
mn
Pu,w
i0j0BmiuBnjwWijVij
（2.5）
BmiuBnjwWij
式中m,n分别为曲面沿u,w方向的幕次；
Bmiu,i0,1，m为u向Bernstein基函数族;
Bnjw,j0,1
n为w向Bernstein基函数族；
Viji0,1,,m,j
0,1,,n，为特征多边形网格顶点；
Wji0,1,,m,j
0,1,,n为与顶点Vij对应的权因子。
三、B样条曲面
1,双三次B样条曲面的形成
双三次B样条曲面片包含16个顶点的特征网格定义，令网格为V:
Vi4
V24
V34
V44
网格V的任意行或任意列都构成一个特征多边形设首先按上述网格V中的行构造w向的曲线，则可得四条B样条曲线Qiw:
4
Qiwj1Bj,3wVj,i12,3,4（1.3）
式中Bj，3w为与顶点Vij对应的B样条基函数；Vij为控制顶点。
当参数w在［0,1］内取值wi时，则可分别在曲线QlW，Q2W，Q3W和Q4W上
得到四个点qi，q2，q3和q4。
若以该四个点作为新的特征多边形顶点再构造U
向的B样条曲面Pu，wi:
4
（3.2）
Pu,W|j1Bj,3uQjwi
则Pu，Wl为曲面片上的一条曲线，当u和w再［0,1］之间遍历时，就可得到一张双三次B样条曲面片。
由曲面片的形成过程，可以写出双三次均匀B样条曲面片的方程为
Pu,wUBVBTWT（33
式中
U
3u
2uu
11
…32‘
Wwww1；
?
V11
V12
V13
V14
V
V21
V22
V23
V24
V31
V32
V33
V34
V41
V42
V43
V44
13
3
1
1
36
3
0
B
6
30
3
0
14
1
0
2，二次有理B样条曲面二次有理B样条曲面片可表示为
Pu,w
i0j0Bi,2uBj,2wWijVj~~22
i0j0Bi,2uBj,2wWij
式中Bi，2u，Bj，2w分别是沿参数u和w方向的B样条基函数;
Vj和Wj分别为控制顶点网格及其权因子。
式（3.4）亦可表示为矩阵形式：
（3.5）显然，二次有理B样条曲面的四条边界P（u,O）,P（u,1）,P（O,w）和P（1,w）均为二次有理B样条曲线，每条u线和w线也都是二次有理B样条曲线。
四、细分曲面
细分方法就是根据给定初始多边形（网格），计算一个细化的多边形（网格）序列，此序列收敛到一张极限曲线（曲面）。
通过插入新点，并按一定的规则与已有的多边形（网格）点相连，得到一个新的细化多边形（网格）。
新点的位置由上一层多边形（网格）点按一定的几何规则计算得到。
细分方法主要特点可以归纳为：
1）任意拓扑结构的适应性（Arbitrarytopology）；
2）可伸缩性（Scalability）；
3）表达一致性（Uniformityofrepresentation）；
4）数值稳定性（Numericalsimplicity）；
5）模型简单（Modelsimplicity）；
6）实现简单性（Codesimplicity）等。
这里主要介绍Loop细分：
Loop细分格式是一种基于三角网格的细分曲面算法，该算法在每一次细分过程中将三角形面片一分为四，在三角网格的每条边上分裂出一个新顶点，称为e顶
点，原网格的顶点在变换之后称为v顶点，重新连接e顶点和v顶点便得到细分1次后的4个新三角形面片。
为了进行更加逼真和细致的建模，Hoppe等对Loop
格式进行了分段细化。
本文中针对作物果实特征，利用分段思想，在Loop细分
规则的基础上扩充了3条规则，对尖锐顶点和折痕顶点采用与内部顶点不同的规则进行细分。
对Loop细分规则的描述如下：
1）对内部边V0，V设共享此边的2个三角形面为V0、V1、V2和V0、V、Vs，
2）
图1Loop细分规则
点。
对扩充的规则描述如下:
1）
对尖锐顶点V，为了在细分之后仍突出其尖锐特征，适当增加了该顶点的权值，减小了其相邻顶点的权值（图2（a）），贝U相应的v顶点定义为
2）对折痕边（V°V1）,类似的，为了在细分之后仍然有折痕特征，非折痕边上的
17
Vv—VoV1—V
点权值都设为0ov顶点定义为168（图2（b））;e顶点定义为
⑻尖锐哲顶点（b）折痕卽顶点（c）折痕€顶点
图2扩充规则
实例：
玉米果实形态模拟
玉米果实的建模包括玉米棒和玉米粒2部分。
1）玉米棒。
设玉米棒为由很多网格构成的多面体，玉米粒就种植于这些网格上，网格的疏密决定了玉米粒的大小和多少。
根据玉米棒的大致形状，将其分为上
部、中部、下部，建立初始控制网格（图3（a））。
对其具有尖锐特征的底端采用扩充后的尖锐v顶点细分规则；上部、中部、下部之间连接处折痕上的点采用折痕v顶点和折痕e顶点的细分规则，以保留折痕特征；其他部分采用一般的Loop细分规则。
需要补充的是，初始网格顶部的小方块是为了模拟玉米棒顶端的凸起，由于比较小，所以不用严格的细分，与玉米棒主体的细分分开进行。
经过2次细分之后，形成玉米棒网格模型（图3（b））。
图3玉米棒初始控制网格（a）和2次细分后的网格模型（b）。
2）玉米粒。
玉米粒的建模借助于球体和圆柱。
首先创建一个球体，然后用一个
平面将球体截为一个球冠；再创建一个与球冠相连接的圆柱，用2个平面从两
侧将球冠和圆柱截下，从而形成一个玉米粒的形状。
所有的玉米粒都可以用这
一模型，但是其横截面长宽比例各自不同。
3）将玉米粒依附到玉米棒上。
每一部分玉米粒的长宽比例不尽相同，定义如下:
floatUPSEEDSCALE=115f；//上部
floatMIDSEEDSCALE=115f;//中部
floatLOWSEEDSCALE=112f;//下部
记录每一颗玉米粒底面的坐标和垂直于底面的向
图4玉米果实
五、优缺点分析
1、Bezier曲面与有理Bezier曲面
1）Bezier样条曲线为外形设计提供了灵活直观的方法，但对（n+1）个控制点，需
要n阶Bernstein多项式，当n较大时，特征多边形对曲线控制减弱，曲线修改和使用都不便。
2）如果使用低次多项式分段实现，光滑连接所需要的条件要求比较高。
3）另外，如果改变任一个控制点位置，整个曲线都受到影响，缺乏对曲线形状进行局部修改的灵活性。
有理Bezier与Bezier曲线相比，除了可以调节曲线的控制顶点外，还可以调节其权因子的大小来改变曲线的形状；因而具有更强的造型功能。
2、B样条曲面与有理B样条曲面
B样条曲线的优点：
修改一个角点只影响该角点所在位置前后三段曲线的形状。
B样条曲面的不足：
不能精确表示常用的二次曲面：
如球面、圆柱面、圆锥面等。
有理B样条曲面：
采用参数曲面表达复杂物体表面时，需要对参数曲面片进行裁剪、缝合等处理，手续繁琐复杂且容易产生误差。
3、细分
1）由于细分过程中新点的计算是线性的，因而计算效率高。
2）可以很好的控制任意给定的拓扑结构，同时又不失高效性。
3）通过改变细分规则的系数即可达到特殊效果。
并且可以控制边界曲线的变化。
1
Vv-V。
V1
2（图2（c））o
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