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高等数学毕业论文范文

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篇一：

数学归纳法原理及其在代数中的应用

数学归纳法是一种非常重要的证明方法，它可以用来证明与n个正整数有关的命题，通过“递推”的方法，用“有限”来解决“无限”的问题，实现由特殊到一般的转化。

数学归纳法证明的一般步骤是：

1on1是对命题适当的第一个正整数n1，证明n=n1时命题成立；2o假设n=k（或n≤k，n∈N*，k≥n1）时命题成立，证明n=k+1时命题也成立。

运用数学归纳法解题时，以上两个步骤缺一不可，其中步骤1o是整体的奠基步骤，步骤2o是数学归纳法的递推步骤，反映了无穷递推的关系。

数学归纳法在代数中有着广泛的应用，在高等代数中的应用尤为突出，这和高等代数的内容体系密切相关，因为高等代数中的许多定理和习题都与行列式、矩阵的阶数n或多项式的次数n或向量空间V的维数n有关。

中学阶段，学生已接触过数学归纳法，且能用其解决一定的实际问题，该阶段把数学归纳法简单的概括为：

“1对，假设n对，那么n+1也对”。

然而，到了高等教育阶段，对许多刚接触到高等代数的同学来说，并不知晓数学归纳法原理的本质，甚至感到陌生和抽象。

因此，现在流行的诸多高等代数教材中，一般都在第一章介绍第一、第二数学归纳法，但这些教材没有给出第二数学归纳法的证明，缺少与第二数学归纳法有关的例题与习题，也没有给出最小数原理、第一、第二数学归纳法三者之间的关系。

本文将证明第二数学归纳法原理，介绍最小数原理、第一、第二数学归纳法三者之间的关系，分别利用两种归纳法解决若干高等代数中常见的问题，以便于帮助学生对两种数学归纳法比较、理解和运用，同时对教师的教学也有一定的启发。

2学习者的困惑

学习者理解数学归纳法思想内涵时，往往会有“不放心”的感觉，认为数学归纳法只是一种形式，采不采用这种方法论证对结果影响不大。

在日常教学调查中发现，学习者理解数学归纳法时产生的疑问集中体现在以下三个方面：

（1）学习者不能真正理解数学归纳法中的“n=1时命题成立”，怀疑是不是需要再多验证几个数。

实际上，当n=1时命题成立，说明该命题可以进一步递推求证，而且在后面的步骤中，n=k及n=k+1时命题也成立，自然可以说明对一切正整数，命题都成立。

因此，多验证几个正整数的想法，在整个命题递推过程中是多余的。

（2）学习者对“=k（或n≤k）时命题成立”存在疑惑，他们认为该条件本身就是一种假设，用假设去递推n=k+1时命题成立缺乏实际意义。

产生该疑惑的主要原因是：

不明确证明的目的，没有把数学归纳法的两个步骤综合起来考虑。

事实上，假设中的k是任意的正整数，而在第一步中已经证明k=1时成立，则说明k是存在的，至少可以取1。

因此该假设具有实际意义，并且在此基础上进一步归纳，便可以建立递推的实际依据，利用此依据对命题进行一一递推，最终可以完成命题对一切正整数都成立的论证。

（3）学习者对n=k+1的认识不够，认为第二步中的k可取任意正整数，当然也可以取k+1，若直接取值k+1，则不需要递推即可证明命题。

产生这种疑惑主要原因是对“任意”的理解不够。

 k虽然可以取任意正整数，但它始终是一个有限的数，一旦确定取值，它就是一个确定的数，就会存在后继，k+1即为它的后继，此时k和k+1是两个不同的数，而一个有限的数k对命题成立，并不能说明它的后继k+1也能使命题成立，所以任意一个正整数k对命题成立，其后续k+1对命题也成立，这样才能保证取遍所有的正整数对命题都成立。

以上三种分析可知，要正确理解数学归纳法的逻辑原理，需要认识到归纳法的各个步骤是有机的整体，并且每一步都有实际意义，且不可缺少、分割和随意更改。

3数学归纳原理及证明

最小数原理 正整数集合N*的任意一个非空子集合S必含有一个最小数。

证明S中任意取一个正整数m，令S1、S2是S的两个子集。

其中S1是S中全部大于m的正整数构成的集合，S2是S中所有不大于m的正整数构成的集合。

易知S2是元素个数不超过m的有限非空集合，故S2中必有一个最小数q。

又因为S1中的数全部大于m，自然也大于q，所以q是S中的最小数。

第一数学归纳法设有一个与正整数n有关的命题。

若：

（1）当n=1时，命题成立；

（2）若n=k时命题成立，则n=k+1时命题也成立，则该命题对于一切正整数n都成立。

第二数学归纳法设有一个与正整数n有关的命题。

若：

（1）当时n=1，命题成立；

（2）若1

证明 假设对一切正整数命题不都成立，令所有使命题不成立的数组成的集合为S，则S⊂N*且S≠Ø。

由最小数原理知，当n=h时命题不成立，显然h≠1，而当1

（2）知，n=h时命题也成立，所以h∉S，这与h是S中最小的数相矛盾。

从以上介绍及证明易知，最小数原理、第一、第二数学归纳法三者之间联系密切，由最小数原理可以推导出两个数学归纳法原理，而第二数学归纳法成立也能推导出第一数学归纳法成立。

4数学归纳法的若干应用

4.1在矩阵中的应用

例1 设数域F上的n阶矩阵A的特征值λ1，λ2，…，λn全在F中，则存在F上的可逆矩阵P，使P-1AP是上三角矩阵。

特别，任一矩阵均复相似于某个上三角矩阵。

分析 根据数学归纳法原理证明步骤，首先要完成奠基性论证，即n=1时命题是否成立。

n=1时A为一阶矩阵，P取一阶单位矩阵，即可使P-1AP是上三角矩阵，所以n=1时命题成立。

第二步在奠基性论证的基础上进行归纳，假设命题对任意n-1阶矩阵A1成立，即存在n-1阶可逆矩阵Q，使Q-1A1Q是上三角矩阵，构造分块矩阵（λ0*A1）（λ*0A1），令矩阵A为n维列向量空间V的线性变换σ，ξ1≠0为σ的在某个特征值下的特征向量，以ξ1为基础扩充成V的一组基ξ1，ξ2，…，ξn，则σ在该基下的矩阵为（λ0*A1）（λ*0A1），即σ（ξ1，ξ2，⋯，ξn）=（ξ1，ξ2，⋯，ξn）（λ0*A1）σ（ξ1，ξ2，⋯，ξn）=（ξ1，ξ2，⋯，ξn）（λ*0A1），所以存在F上的可逆矩阵T，使T−1AT=（λ0*A1）Τ-1AΤ=（λ*0A1），故R−1T−1ATR=（100TQ）−1（λ0*A1）（100TQ）=（λ0*Q−1A1Q），R-1Τ-1AΤR=（10Τ0Q）-1（λ*0A1）（10Τ0Q）=（λ*0Q-1A1Q），令P=TR，即可证明命题对n也成立。

因此本题只需假设n-1成立，递推n也成立即可，用第一数学归纳法。

证明 1on=1时结论显然成立。

2o假设对一切n-1阶矩阵结论成立，下对n阶矩阵A进行证明。

将A看成是F上的n维列向量空间V的线性变换σ，设λ是A的一个特征值，则存在ξ1≠0，有σ（ξ1）=λξ1，将ξ1作为V的一个基向量，并将它扩充成V的一组基ξ1，ξ2，…，ξn，则σ在该组基下的矩阵为（λ0*A1）（λ*0A1），其中A1是n-1阶矩阵。

故存在F上的可逆矩阵T，使T−1AT=（λ0*A1）Τ-1AΤ=（λ*0A1），由于A1是n-1阶矩阵，由归纳假设，存在F上的n-1阶可逆矩阵Q，使Q-1A1Q是上三角矩阵。

令R=（10T0Q），RR=（100ΤQ），R是n阶可逆矩阵。

若令P=TR，则P−1AP=R−1T−1ATR=（100TQ）−1（λ0*A1）（100TQ）=（λ0*Q−1A1Q），Ρ-1AΡ=R-1Τ-1AΤR=（10Τ0Q）-1（λ*0A1）（10Τ0Q）=（λ*0Q-1A1Q），所以命题成立。

4.2在多项式中的应用

例2F[x]的每一个n（n>0）次多项式f（x）都可以分解成F[x]的不可约多项式的乘积。

分析 本题奠基性论证n=1时，命题显然成立。

在第二步归纳的过程中发现，仅仅假设n=k时命题成立是不够的，这是因为论证过程中会出现1≤n0）用第二数学归纳法。

证明 1o当n=1时，命题显然成立，此时可认为f（x）是一个不可约因式的乘积f（x）=f（x）。

2o假设对多项式f（x）的次数k（k

f（x）=f1（x）f2（x），

显然f1（x）和f2（x）的次数都小于f（x）的次数n，由归纳假设知f1（x）和f2（x）都可以写成不可约因式的乘积的形式，从而f（x）可以分解成不可约多项式的乘积。

综上，由第二数学归纳法原理知命题的正确。

4。

3在行列式中的应用

例3 证明n阶行列式

证明 令

1o n=2时，有

命题成立．

2o假设n≤k-1时命题成立，则n=k时，把dk按最后一行展开得

 即，当n=k时命题成立．

综上，由第二数学归纳法原理知，对任意的n∈N*，命题都成立．

本题利用了数学归纳法和直接递推法，第二步按最后一行展开得递推公式

利用该公式逐级递推，可求出d2和d1，然后利用d2、d1逐级代回，即可求出dk．这种数学归纳法与递推法相结合的方法求高阶行列式，能有效提高学习者对行列式的认识，为今后的学习带来非常有益的帮助．

4.5在线性变换中的应用

例5设F[x]表示数域F上一元多项式的全体，D：

F[x]→F[x]是F[x]到自身的映射，它满足以下条件：

这里

．证明：

D（f）=f′是f的导数．

证明由

（2）知

所以D

（1）=0，从而

 再由数学归纳法，证明

1o当m=1时，由（3）可证该命题成立．

2o假设m=k-1时成立，即

当m=k时，有

综合1o、2o可知，m为一切正整数时，D（xm）=mxm-1都成立．

再证D（axm）=amxm-1．由条件

（1）和D（xk-1）=（k-1）xk-2得

对

，有

，故

本文仅以几例分别说明第一、第二数学归纳法在高等代数中的应用，通过以上几例可得如下规律：

当一个命题与正整数n有关，且只需要假设n=k时命题成立，就能证明n=k+1时命题成立，则选择第一数学归纳法；若需要假设1≤n≤k时命题成立，才能证明n=k+1时命题成立，则选择第二数学归纳法，其中第二数学归纳法多用于命题中含n的部分存在递推关系式、形式复杂、次数较高等类型的问题．在高等代数中能用到数学归纳法的命题、习题比比皆是，事实上，数学归纳法的应用贯穿于整个高等代数课程，只要遇到其它方法不容易解决的问题，都可以尝试用数学归纳法来求解．

4.4在向量空间中的应用

例4设U1，U2，…，Um是数域F上n维向量空间Vn的子空间，且维数都小于n，求证：

Vn中必存在向量x不属于以上m个子空间中．

证明不妨令

显然当dimUi中有零空间时，把其去掉，不影响命题结论．

1o m=2时，由

 故存在

对此α，若

，则命题得证．现设

，必另有

，若

，命题得证，若

，此时有

可证

，否则，如

，因为

，所以

，这与（3）矛盾，所以

，同理可证

，所以当m=2时命题成立．

2o假设m=s-1时成立，即存在

如果

，则命题证毕．若

，则存在

现考虑以下s个向量组

其中必有一个向量不属于U1，U2，…，Us-1中的任何一个，否则（5）中必有两个向量同时属于一个Uj（1≤j≤s-1）中．所以其差mα（0

，这与（4）矛盾．所以（5）中必有一个向量，不妨设为

，且

同时可证

．否则

，则

，所以

，即

，这与

矛盾．所以有

综合（6）、（7）即证命题．

篇二：

命题逻辑联结词完全性证明——数学归纳法的应用

1两种数学归纳法的比较

第一，数学归纳法的步骤。

（1）基础步骤当n=1时，这个命题为真。

（2）归纳步骤假设当n=k时，这个命题为真，那么当n=k+1时，这个命题也为真。

第二，数学归纳法的步骤。

（1）基础步骤当n=1时，这个命题为真。

（2）归纳步骤假设当n=1，…，k时，这个命题为真，那么当n=k+1时，这个命题也为真。

数学归纳法的两个步骤缺一不可。

前一步骤是基础，后一步骤是核心。

归纳步骤中要能表明由前一步得到后一步，环环相扣，以至对每一个自然数都能成立。

将第一数学归纳法基础步骤中的“当n=1时，这个命题为真”，推广为“当n=1时，这个命题为真；当n=2时，这个命题都为真”。

此时归纳步骤中假设当n=k时，这个命题都为真，来证明当n=k+1时，这个命题也为真。

这就是我们对第一数学归纳法的推广。

下文将说明在有些时候这个推广是必要的。

第一，数学归纳法基础步骤中的“当n=1时，这个命题为真”是要证明的，归纳步骤中假设当n=k时，这个命题也为真，来证明当n=k+1时，这个命题也为真。

而第二数学归纳法基础步骤中的“当n=1时，这个命题为真”是要证明的。

归纳步骤中假设当n=2，…，k时，这个命题都为真，来证明当n=k+1时，这个命题也为真。

它们之间的区别在于第一数学归纳法假设步骤中仅仅是“假设当n=k时，这个命题为真”。

而第二数学归纳法假设步骤中是“假设当n=2，…，k时，这个命题都为真”。

2命题逻辑联结词的完全性证明

联结词组是完全的定义为：

这组联结词能够定义其他所有的逻辑联结词。

命题集合的归纳定义方式，基础部分：

原子命题属于命题集合；归纳部分：

假设

属于命题集合，则

属于命题集合。

定理：

是完全的联结词组。

下面先利用推广后的第一数学归纳法对联结词函数的元的个数进行归纳证明。

证明：

基础步骤，当n=1时，有四种联结词函数。

这四个联结词函数可以由这组联结词表示出来：

于是命题为真。

下面接着证明当n=2时，命题为真。

（这就是推广后的第一数学归纳法与第一数学归纳法不同的地方）

当n=2时，有十六种函数。

首先，

用这组联结词表示：

。

其次，对于任意一个二元联结词函数，它可以由这组联结词表示出来：

第一步，利用真值表写出它对应的极小项；第二步，将极小项中的

用这组联结词表示。

现在任取一个二元逻辑连接词函数

，如果它的真值表为：

。

于是，它对应的极小项可以写出，再将极小项中的和用这组联结词表示。

这个二元逻辑连接词函数

即为下式：

。

其他二元联结词照此步骤也能由这组联结词表示出来。

归纳步骤：

假设当n=k时，命题为真，来证明当n=k+1时，命题为真。

任给一个k+1元的联结词函数

，就存在一元联结词函数和二元联结词函数，使得这个k+1元的联结词函数可以表示为

。

于是由基础步骤和归纳假设可以得出它由这组联结词表示，于是定理得证。

下面再利用第二数学归纳法对联结词函数的元的个数进行归纳证明。

证明：

基础步骤，当n=1时，有四种联结词函数。

这四个联结词函数可以由这组联结词表示出来：

于是命题为真。

归纳步骤：

假设当nk时，命题为真，来证明当n=k+1时，命题为真。

任给一个k+1元的联结词函数

，就存在一元联结词函数和二元联结词函数，使得这个k+1元的联结词函数可以表示为

。

于是由基础步骤和归纳假设可以得出它由这组联结词表示，于是定理得证。

注：

用第二数学归纳法的归纳步骤中含有“假设当n=2，…，k时，这个命题都为真”，而“当n=2时，这个命题都为真”就是假设有的条件，这与上面的推广的第一数学归纳法不同，那里是直接证明“当n=2时，这个命题为真”。

所以我们对第一数学归纳法中基础步骤的推广是有意义的，因为用第一数学归纳法又没有要求证明“当n=2时，这个命题为真”，而在证明归纳步骤时候又需要“当n=2时，这个命题为真”。

数学归纳法可以证明与自然数n有关的命题，可是要证明的命题有时候很难联想到与自然数n有关。

要证明当n=2时命题为真时，利用其前一步“当n=1时，这个命题为真”没办法证得，于是可以在数学归纳法的基础步骤中增加当n=2时命题成立具体的证明；本文对命题逻辑联结词的完全性用推广的第一数学归纳法和第二数学归纳法两种方法给出证明。