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冬季教材

专题一和倍问题

一.基础知识

已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题是和倍问题。

和倍问题的主要特征是已知两个数的“和”与两个数中以一个数为一倍数，另一个数是这个数的几倍而构成两数和与两数倍数的已知条件为特征的应用题。

在解答这类应用题时，往往把一个较小的数作为标准数1份，再根据其他各数与较小数（标准数）的倍数关系，求出份数的和，最后用下面两个关系式求出大、小数。

即：

和÷（倍数＋1）＝标准数（小数）

标准数×倍数＝另一个几倍的数（大数）

为了帮助理解题意，寻找解题途径，常利用画线段图的方法来表示数量之间的关系。

二.例题选讲

【例1】甲班和乙班共有图书320本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲、乙两班各有图书多少本？

【分析与解】根据题意，画线段图如下：

从上图可以看出，如果把乙班的图书本数看作1份，那么甲班的图书本数就是3份，两班图书的总数就是1＋3＝4（份）。

利用除法求出1份（即求1倍的数量）是多少，接着再求3份（即3倍数）是多少。

320÷（1＋3）＝80（本）………………………………乙班

80×3＝240（本）（或320－80＝240本）……………甲班

答：

甲班有图书240本，乙班有图书80本。

【例2】师傅和徒弟3小时共做零件72个，师傅每小时做的零件个数是徒弟的3倍，师傅和徒弟每小时各做零件多少个？

【分析与解】先用72÷3求出师徒二人每小时做零件的总个数，再按和倍问

题的解法解答。

72÷3＝24（个）

24÷（3＋1）＝6（个）

6×3＝18（个）

答：

徒弟每小时做6个，师傅每小时做18个。

【例3】水果店共运来苹果和梨400箱，运来的苹果的箱数比梨的3倍多40

箱，水果店运来苹果和梨各有多少箱？

【分析与解】把梨的箱数看作“1倍数”，由于苹果的箱数比梨的3倍多，要

想让苹果的箱数正好是梨的3倍，需要减去40箱，那么苹果和梨的总数也要减去40箱。

（400－40）÷（1＋3）＝360÷4＝90（箱）

90×3＋40＝310（箱）或400－90＝310（箱）

答：

水果店运来梨90箱，苹果310箱。

【例4】小红和小明都是集邮爱好者，小红集了86张邮票，小明集了40张邮票。

小红送给小明几张后，小明的邮票数是小红的2倍？

【分析与解】小红送给小明几张邮票后，两人邮票的总数不变，始终是86

＋40＝126（张），以小红剩下邮票的张数为标准，126张是小红剩下张数的2＋1＝3（倍）。

先求出小红剩下邮票的张数，再求出小红送给小明邮票的张数。

（86＋40）÷（1＋2）＝42（张）

86－42＝44（张）

答：

小红送给小明44张后，小明的邮票数是小红的2倍。

【例5】甲、乙、丙三个油桶共装油450千克，甲桶的油是丙桶的3倍，乙桶的油是丙桶的5倍。

甲、乙、丙三个油桶各装油多少千克？

【分析与解】把丙桶油看作1份数，那么甲桶油是3份，乙桶油是5份，三

桶油的总份数就是1＋3＋5＝9（份），又知道3桶油共450千克，这样可以先求出丙桶油的重量，进而求出另外两桶油的重量。

丙桶油的重量：

450÷（1＋3＋5）＝50（千克）

甲桶油的重量：

50×3＝150（千克）

乙桶油的重量：

50×5＝250（千克）

答：

甲桶装油150千克，乙桶装油250千克，丙桶装油50千克。

三.巩固练习

1.某校三、四年级共有学生120人，三年级的人数是四年级的2倍。

三、四年级各有学生多少人？

2.两数的和是400，商是7，这两个数各是多少？

3.三年级一班原来有学生50人，开学时又传来1名女生，这时班级女生人数是男生的2倍。

三年级一班原来有女生多少人？

4.一个长方形，周长是30厘米，长是宽的2倍，这个长方形的长和宽各是多少？

5.学校买来篮球和足球共27个，其中篮球的个数比足球的2倍少3个。

学校买来篮球和足球各有多少个？

6.学校买来篮球和足球共27个，其中篮球的个数比足球的2倍多3个。

学校买来篮球和足球各有多少个？

7.弟弟有课外书20本，哥哥有课外书25本，哥哥给弟弟多少本后，弟弟的书是哥哥的2倍？

8.甲、乙、丙三个数的和是120，甲数是乙数的3倍，丙数是乙数的2倍，甲、乙、丙三个数各是多少？

第八讲差倍问题

一.基础知识

已知两个数的差以及两数之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题是差倍问题。

在解答差倍问题时，我们一般先确定什么为1份数。

然后找到两数之差及差对应的份数（即1倍数），再用差除以它所对应的份数，求出1份数。

基本公式：

差

（倍数-1）＝1份数（较小数）

小数

倍数＝大数

同和倍问题一样，解差倍问题时，画线段图仍是一种十分简单适用的方法。

二.例题选讲

【例1】小宇比小玉的课外书多64本，小宇的课外书是小玉的3倍。

小宇和小玉各有课外书多少本?

【分析与解】根据题意，作线段图如下：

已知“小宇的课外书是小玉的3倍”，这说明把小玉的图书看作1份，小宇比小玉多3-1＝2（份）.又知道小宇课外书的本数是小玉的3倍,可见这64本刚好是2份,这样能求出1份是多少本书,即能求出小玉有多少本书,进而可求出小宇有多少本书。

（1）小玉课外书的本数？

（本）

（2）小宇课外书的本数？

（本）或64+32＝96（本）

答:

小宇有课外书96本,小玉有32本。

【例2】某班同学订阅的《儿童画报》比《红领巾》杂志的5倍少4份,《儿童画报》比《红领巾》杂志多订32份.这个班两种杂志各订了多少份?

【分析与解】如果《儿童画报》再多订4份，那么两种杂志就相差（32+4）份。

已知《红领巾》杂志的（5-1）倍是（32+4）份，可以求出这个班订阅的两种杂志分别是多少。

（1）订《红领巾》杂志的份数？

（32＋4）÷（5－1）＝9（份）

（2）订《儿童画报》的份数？

9<5-4＝41（份）或9+32＝41（份）

答：

订《红领巾》杂志9份，订《儿童画报》41份。

【例3】兰兰今年18岁，她的爸爸今年46岁，几年前爸爸的年龄是兰兰的3倍？

【分析与解】兰兰和她的爸爸相差46-18＝28（岁），这个差是不变的，几年

前还是相差28岁。

当爸爸的年龄是兰兰的3倍时，爸爸仍比兰兰大28岁。

把那一年兰兰的年龄看作1份，爸爸和兰兰年龄相差3-1＝2（份），这2份

恰好是28岁，这样就能求出兰兰那一年几岁。

（1）兰兰几年前的年龄？

（46－18）÷（3－1）＝14（岁）

（2）18-14＝4（岁）

答：

4年前爸爸的年龄是兰兰的3倍。

【例4】有两根同样长的铅笔，第一根用去12厘米，第二根用去2厘米后，第二根的长度是第一根的2倍，两根铅笔原来各有多长？

【分析与解】当第一根用去12厘米，第二根用去2厘米后，两根铅笔相差

12-2＝10（厘米），而这时第二根的长度是第一根的2倍，即相差的10厘米相当于第一根剩下的2倍。

第一根剩下的长度？

（12－2）÷（2－1）＝10（厘米）

原铅笔的长度？

10+12＝22（厘米）

答：

两根铅笔原来长22厘米。

【例5】一根铜线长24厘米，一根铝线长18厘米，把这两根金属线剪掉同样长，使剩下的铜线长度恰好是铝线长度的4倍，各剪去多少厘米？

【分析与解】两根金属线的长度总是相差24—18＝6（厘米）

铝线剩下的长度？

（24－18）÷（4－1）＝2（厘米）

剪去的长度？

18-2＝16（厘米）

答：

各剪去16厘米。

【例6】甲、乙两个数，如果甲数加上320就等于乙数了。

如果乙数加上460就等于甲数的3倍，两个数各是多少？

【分析与解】根据题意作线段图如下：

从上图可以看出：

320加上460的和相当于甲数的3-1＝2倍。

（320＋460）÷2＝390……甲数

390+320＝710……乙数

答：

甲数是390，乙数是710。

三.巩固练习

1．一只大象的体重比一头牛重4500千克，一只大象的重量是一头牛的10倍，一只大象和一头牛的重量各是多少千克？

2．甲数除以乙数商是7，甲数减去乙数的差是24，甲、乙两数各是多少？

3．有大小两个整百数，大数是小数的4倍，这两个数最高位上数的差是6，问这两个整百数各是多少？

4．有两块布，白布比红布的6倍还多3米，红布比白布短28米。

这两块布

各长多少米？

5．有两块布，白布比红布的6倍还少3米，红布比白布短27米。

这两块布

各长多少米？

6．甲箱的弹子数是乙箱的4倍，如果从甲箱取出30个放入乙箱，则两箱弹子数相等，两箱原来各有弹子多少个？

7．两筐重量相等的苹果，从甲筐取出7千克，乙筐装上19千克，这时乙筐的重量是甲筐重量的3倍，两筐原来各有苹果多少千克？

8．四年级有500人，三年级有380人，从两个年级中各分出数量相等的同学去植树，剩下的人数四年级恰好是三年级的3倍，四年级剩下多少人？

9．爷爷今年72岁，孙子今年12岁，几年后爷爷的年龄是孙子的5倍？

几年前爷爷的年龄是孙子的13倍？

10．有甲、乙两桶酒，如果甲桶倒入8千克酒，两桶酒就一样重，如果从甲桶取出3千克倒入乙桶，乙桶的酒就是甲桶的3倍，甲、乙两桶原来各有酒多少千克？

专题三　和差问题

一.基础知识

和差问题是已知大小两个数的和与两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。

解决和差问题的关键，是要弄清两个数的和与差，当“和”与“差”比较隐蔽时，常常需要通过条件的转化才能得到。

因此，解答这类应用题时我们可以选择大数或者小数作为标准数，然后进行思考。

基本公式有：

大数＝（和＋差）÷2，小数＝和－大数；

小数＝（和－差）÷2，大数＝和－小数。

二.例题选讲

【例1】计算机兴趣小组有学生45人，男生比女生多3人，这个兴趣小组男、女生各有多少人？

【分析与解】男生比女生多3人，若男生减少3人，则总人数减少3人，

变为45－3＝42人，这时男生和女生人数同样多，假设女生为一份，那么两份就是总人数42人，从而可以求出女生人数。

想一想：

女生与男生人数一样，此题该怎样解答呢？

女生人数：

（45－3）÷2＝21（人）

男生人数：

21+3＝24（人）

答：

这个兴趣小组男生有24人，女生有21人。

【例2】吕超期末考试语文数学的平均分数是94分，数学比语文

多8分。

吕超语文、数学各得了多少分？

【分析与解】用语文数学的平均分乘以2可以求出语文、数学的总成绩，即

大小两数之和，又知大小两数之差是8，利用和差问题的公式可以求出语文、数学的分数。

数学分数（94×2+8）÷2＝98（分）

语文分数98－8＝90（分）

答：

向超语文得了90分，数学得了98分。

【例3】图书馆的书架上、下层共存书230本，如果从下层拿出15本放入上层，两层书架上书的本数就同样多。

求上、下层原来各存书多少本？

【分析与解】根据题目中“如果从下层拿出15本放入上层，两层书架上书的

本数就同样多”，可以知道下层书架上的书比上层书架的多2个15本，即大、小两数之差是30。

上层书架上原存书的本数：

（230－15×2）÷2＝100（本）

下层书架上原存书的本数：

230－100＝130（本）

答：

上层书架上原存书100本，下层书架上原存书130本。

【例4】甲，乙两个汽车站停有汽车78辆，从甲站开出6辆汽车到乙站后，乙车站就比甲车站多2辆汽车。

甲、乙两个车站原来各有多少辆汽车？

【分析与解】根据题目中“从甲站开出6辆汽车到乙站后，乙车站就比甲车站多2辆汽车”可以知道甲车站原来比乙车站多6×2－2＝10（辆）车。

甲车站比乙车站多的辆数：

6×2－2＝10（辆）

甲车站原有汽车的辆数：

（78+10）÷2＝44（辆）

乙车站原有汽车的辆数：

44－10＝34（辆）

答：

甲车站原来有44辆汽车，乙车站原来有34辆汽车。

【例5】某公司将8750元奖金分给有创造发明的三名优秀技术人员。

第一名比第二名多得2500元，第二名比第三名多得1250元，三名技术人员各得奖金多少元？

【分析与解】根据题意，作线段图如下：

这题也是和差问题，它从两个数扩展到3个数。

以第三名为标准，第二名减少1250元，第一名减少1250+2500＝3750元，总和减少1250＋3750＝5000元，即总和为8750－5000＝3750元，3750元相当于第三名钱数的3倍，求出第三名得到的钱数，从而可以求出第一名，第二名的钱数。

第三名得到的奖金：

（8750－1250－3750）÷3＝1250（元）

第二名得到的奖金：

1250+1250＝2500（元）

第一名得到的奖金：

2500+2500＝5000（元）

答：

从第一名到第三名，这三名技术人员得到的奖金分别为5000元，2500元和1250元。

三.巩固练习

1.两根绳子共长36米，第一根比第二根长8米，两根绳子各长多少米?

2.两个连续双数的和是34，这两个双数各是多少？

3.父亲今年44岁，儿子今年8岁，当两人年龄和为60岁时，父亲年

龄多大？

4.师徒两人合做2小时，共生产零件110个，师傅每小时比徒弟多生产5

个，师徒两人每小时各生产零件多少个？

5.丁丁家共有鸡，鸭250只，卖了23只鸡又买进15只鸭后，鸡和鸭的只数相等，丁丁家原来有鸡和鸭各多少只？

6.甲、乙两个仓库共存小麦360吨，如果从甲仓库调20吨小麦到乙仓

库，两个仓库所存的小麦就相等，求原来两个仓库各存小麦多少吨？

7.粮仓运来面粉和大米共5000千克，运来的面粉比大米多20袋，每袋

重50千克，粮仓运来面粉、大米各多少千克？

8.甲乙共有58本连环画，甲给乙5本后，乙比甲还少4本，甲、乙原来

各有连环画多少本？

9.甲，乙两筐共有桃135千克，从甲筐取出20千克放入乙筐，结果甲

筐的桃比乙筐的桃多5千克，求两筐原各有桃多少千克？

10.把90米长的一条绳子分成三段，要使后一段比前一段多3米，求三段长度各是多少米？

专题四　和、差、倍应用题综合训练

一.基础知识

和倍问题方法：

和÷倍数和＝一倍数

差倍问题方法：

差÷倍数差＝一倍数

和差问题方法：

（和＋差）÷2＝大数

（和－差）÷2＝小数

二.例题选讲

【例1】小明和小红共有图书76本，小红的图书本数是小明的3倍。

小明和小红各有图书多少本？

【分解与解】此题和倍基础题可以利用公式求出一倍数；再求出几倍数。

如图

（1）小明有图书多少本？

76÷（1＋3）＝19（本）

（2）小红有图书的本数？

19×3＝57（本）

答：

小明有图书19本，小红有图书57本。

【例2】小明和小红为希望工程捐款，小明比小红少捐30元，小红捐的款是小明的3倍。

小明和小红各捐款多少元？

【分析与解】例2是差倍基础题，利用差找到差所对应的倍数求出一倍数。

（1）小明捐款的钱数？

30÷（3－1）＝15（元）

（2）小红捐款的钱数？

15×3＝45（元）

答：

小明捐款15元，小红捐款45元。

【例3】小明和小红共有图书45本，小红的图书比小明少3本。

两人各有图书多少本？

【分析与解】和差问题通常是假设两个量同样多后，补齐差量（或去掉差量）求出一倍数，。

（1）小明的本数：

（45＋3）÷2＝24（本）

（2）小红的本数：

（45－3）÷2＝21（本）

答：

小红有图书21本，小明有24本。

【例4】少先队员开展植树活动，共种杨树、柳树和槐树600棵，其中杨树的棵数比柳树棵数的2倍少80棵，槐树的棵数比柳树棵数的3倍多20棵。

求这三种树各种多少棵？

【分析与解】三个量之间的关系，我们要找到标准中的标准。

在这里就是柳树的棵数。

把杨树和槐树转化为和柳树棵数有关的量。

（1）柳树棵数：

（600-20＋50）÷（1＋2＋3）

＝660÷6

＝110（棵）

（2）杨树棵数：

110×2－80＝140（棵）

（3）槐树棵数：

110×3＋20＝350（棵）

答：

柳树有110棵,杨树140棵,槐树350棵。

【例5】小朋友为庆祝六一儿童节做花，红花的朵数比黄花多41朵，红花的朵数比黄花朵数的3倍少35朵。

红花和黄花各有多少朵？

【分析与解】此题是变化的差倍问题具体关系如下图。

通过观察图，我们可以清楚的发现（41＋35）对应着2倍。

（1）黄花的朵数：

（41＋35）÷（3－1）

＝76÷2＝38（朵）

（2）红花的朵数：

38×3－35＝79（朵）

答：

黄花有38朵，红花有79朵。

【例6】小明有存款560元，小华有存款340元，小明给小华一些钱后，小华的存款是小明的2倍，小明给了小华多少钱？

【分析与解】我们可以计算出小明和小华一共的钱数，且在后面的交换过程

中总钱数不变，所以我们可以利用交换后的倍数关系求出交换后小明的钱数，再与交换前小明的钱数进行比较就可以求出小明给小华多少钱。

（1）交换后小明的钱数：

（560＋340）÷（2＋1）

＝300（元）

（2）小明给小华的钱数：

560－300＝260（元）

答：

小明给了小华260元。

【例7】小明有存款56元，小华有存款34元，如果两个人取出同样多的钱后，小明的存款是小华的3倍。

那么取款后两个人各有存款多少元？

【分析与解】因为两人取的钱数相同，所以两人之间的差不变，也就转化成一个标准的差倍问题。

（1）小华取款后的钱数

（56－34）÷（3－1）

＝22÷2

＝11（元）

（2）小明的存款

11×3＝33（元）

答：

取款后，小华存款11元，小明存款33元。

【例8】小明的图书是小华的3倍，后来小明捐出图书26本，小华捐出图书6本，这时两人剩下的图书本数相等。

那么两人原有图书多少本？

【分析与解】例8看起来十分复杂，但画出下面的线段图后，我们可以发现它也是差倍问题。

（1）小华的图书本数

（26－6）÷（3－1）

＝20÷2＝10（本）

（2）原小华的图书本数

10＋6＝16（本）

（3）原小明的本数

16×3＝48（本）

答：

小华原有图书16本，小明有48本。

【例9】甲、乙两人各有书若干本，如果甲给乙45本，那么两人的书的本数相等；如果乙给甲45本，那么甲的本数是乙的2倍，甲、乙两人原来各有书多少本？

【分析与解】因为甲给乙45本两人就同样多说明两人原来相差90本，而乙给甲45本后，甲是乙的2倍，说明这时相差90＋45×2＝180（本）,正好对应现在的乙。

（1）现在乙的本数：

45×2＋45×2＝180（本）

（2）原来乙的本数：

180＋45＝225（本）

（3）原来甲的本数：

225＋90＝315（本）

答：

甲原有315本，乙有225本。

【例10】甲、乙两校共有学生900人，甲校调入乙校62人，甲校还比乙校多54人。

问甲、乙两校原来各有多少人？

【分析与解】甲校调入乙校62人，甲校还比乙校多54人，可以理解为甲校比乙校多62×2＋54＝178（人）从而转化为和差问题。

（1）甲校原有人数：

（900＋62×2＋54）÷2＝539（人）

（2）乙校原有人数：

（900－62×2－54）÷2＝361（人）

答：

甲校有539人，乙校原有361人。

三.巩固练习

1.兄、弟二人去钓鱼，共钓了60条鱼，哥哥钓的鱼是弟弟的3倍，两人各钓了多少条鱼？

2.某工厂男职工人数比女职工多48人，又知男职工人数是女职工人数的4倍，这个工厂男女职工各有多少人？

3.甲、乙两个仓库共有粮食120吨，乙仓比甲仓少20吨，甲、乙两仓原来各有粮食多少吨？

4.甲、乙、丙三数之和是183，乙比丙的2倍少4，甲比丙的3倍多7。

三个数各是多少？

5.小朋友为庆祝六一儿童节做花，红花比黄花多41朵，红花比黄花的3倍多15朵。

红花和黄花各有多少朵？

6.同学们参加科技活动，第一小组24人，第二小组20人。

要使第一小组的人数是第二小组人数的3倍，第二小组要调多少人到第一小组？

7.同学们参加科技活动，第一小组44人，第二小组20人。

如果两班调走同样多的人后，每小组的人数是第二小组人数的5倍，问从第二小组调走多少人？

8.两根同样长的电线，第一根用去31米，第二根用去19米，结果所余米数第二根是第一根的4倍。

两根电线原来长度多少米？

9.师傅生产的零件的个数是徒弟的6倍，如果每人再生产20个，那么师傅生产零件的个数是徒弟的4倍。

师傅和徒弟原来各生产零件多少个？

10.甲、乙两筐共有桃135千克，从甲筐取出20千克放入乙筐，结果甲筐的桃比乙筐的桃少5千克。

求两筐原有桃各多少千克？

专题五　典型应用题的综合应用

一.基础知识

我们在解决典型的归一和归总问题时，最重要的是抓住题目中的不变量。

二.例题选讲

【例1】后勤王老师买5盒粉笔用了15元，照这样计算，买20盒粉笔一共用多少元钱?

【分析与解】

这是道正归一应用题，要想求买20盒粉笔一共用多少元钱，要先求出一盒粉笔多少元钱，也就是求“单一量”。

解法一：

①平均一盒粉笔多少元钱?

列式：

15÷5=3（元）

②买20盒粉笔一共用多少元钱?

3×20=60（元）

答：

买20盒粉笔一共用60元钱。

解法二：

已知：

买5盒粉笔用了15元。

求：

买20盒粉笔用了?

元。

因此先求20盒粉笔是5盒粉笔的多少倍，然后，可以求出买20盒粉笔一共用多少元钱。

20盒粉笔是5盒粉笔的多少倍?

列式：

20÷5=4

②买20盒粉笔一共用多少元钱?

15×4=60（元）

答：

买20盒粉笔一共用60元钱。

【例2】10个工人2小时做机器零件300个，如果人数缩小了2倍，时间增加了6小时，可做零件多少个？

【分析与解】

此题的关键是理解“人数缩小了2倍”和“时间增加了6小时”这两个条件，通过分析我们可以知道在每人每小时做机器零件的个数不变的条件下，现在的人数是（10÷2＝5），而时间是（6+2＝8），就可以求出一共可以做零件多少个？

1个工人1小时做零件的个数

300÷10÷2＝15（个）

现在的人数：

10÷2＝5（人）

现在的工作时间：

2＋6＝8（小时）

做零件的个数：

15×5×8＝600（个）

综合算式：

300÷10÷2×（10÷2）×（2+6）＝600（个）

答：

可以制作机器零件600个

【例3】东方厂加工一批零件，原计划每天加工100个，30天完成任务，实际上，每天比原计划多加工20个，这样比原计划提前几天完成任务?

【分析与解】例3是一道较复杂的归总问题，解题关键在于问话的变化，要求比原计划提前几天完成任务。

先要知道实际用的天数，再和原来计划的天数进行比较。

（1）一共要加工零件多少个？

100×30＝3000（个）

（2）实际每天加工的个数？

100＋20＝120（个）

（3）实际用的天数？

3000÷120＝25（天）（4）实际比计划提前的天数？

30－25＝5（天）

答：

实际比计划提前5天。

【例4】某机械厂加工一批零件，9名工人每天工作8小时，20天可以完成任务，为提前4天完成